培优专题04 整式加减的实际应用
（题型突破·举一反三）
题型01 销售问题
题型02 周长问题
题型03 面积问题
题型04 行程问题
题型05 数字问题
题型06 整除问题
题型07 日历问题
题型08 幻方问题
题型09 方案选择问题
题型10 分段计费问题
▌题型01 销售问题
【典例1】（24-25 七年级上·河南周口·期末）某商店销售一种商品，在“双十一”期间开展了线上，线下两种
促销活动，某一天的线上销售情况统计如下：
单件利润／元
销量／件
第1单
a
2
第2 单
b
4
第3单
c
4
(1)这一天线下的销售总利润比线上销售总利润少
3
5
a
b
c
+
+
元，这天线下的销售总利润多少元？
(2)若线下销售的总件数比线上的总件数少5件，求线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润
多多少元？
【答案】(1)这天线下的销售总利润为
a
b
c
+
-
元
(2)这天线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多1
3
5
5
b
c
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 元
【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，
（1）根据“线下的销售总利润=线上销售总利润-
3
5
a
b
c
+
+
”列式并化简即可；
（2）分别表示出线上销售每件商品的平均利润和线下每件商品的平均利润，然后相减即可；
正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，得：
2
4
4
3
5
a
b
c
a
b
c
+
+
-
+
+
2
4
4
3
5
a
b
c
a
b
c
=
+
+
-
-
-
a
b
c
=
+
- ，
∴这天线下的销售总利润为
a
b
c
+
-
元；
（2）依题意，得：
2
4
4
10
5
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
1
2
2
1
1
1
5
5
5
5
5
5
a
b
c
a
b
c
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
2
2
1
1
1
5
5
5
5
5
5
a
b
c
a
b
c
=
+
+
-
-
+
1
3
5
5
b
c
=
+
∴线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多1
3
5
5
b
c
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 元．
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）随着春节越来越近，人们迎新年的氛围愈加浓厚，许多零售商
店都上架了新的纪念品，某零售商店购进一款新的纪念品共600 件，已知此款纪念品的进价为每件10元，现
采用两种销售方式，线下门店销售定价每件a元，需要支付实体门店租赁费用4000 元：线上网店销售定价
每件b 元(利润=销售额-成本)．
(1)用含a的式子表示该商店在线下门店出售完600 件纪念品的利润：；
用含b 的式子表示该商店在线上网店出售完600 件纪念品的利润：；
(2)在（1）的情况下，若
5
a
b
=
+ ，请判断选择哪种销售方式比较好．
【答案】(1)
600
10000
a -
元；
600
6000
b -
元
(2)线上网店销售
【分析】本题考查列代数式及代数式的加减运算和大小比较，核心是掌握利润的计算公式：利润=销售额-总
成本．
（1）根据线下销售的“销售额-进价-租赁费用”列式得到线下利润，根据线上销售的“销售额-进价”列式得到线
上利润；
（2）将
5
a
b
=
+ 代入线下利润表达式，通过作差法比较线下与线上利润的大小，进而判断哪种销售方式更
优．
【详解】（1）解：线下门店出售600 件纪念品的利润为
600
600 10
4000
600
10000
a
a
-
´
+
=
-
元；
线上网店出售600 件纪念品的利润为
600
600 10
600
6000
b
b
-
´
=
-
(元)；
故答案为：
600
10000
a -
元；
600
6000
b -
元；
（2）解：∵
5
a
b
=
+ ，
∴在线下门店出售完600 件纪念品的利润为
600
5
10000
600
3000 10000
600
7000
b
b
b
+
-
=
+
-
=
-
(元)，
∵
600
6000
600
7000
600
6000
600
7000
1000
0
b
b
b
b
-
-
-
=
-
-
+
=
>
，
∴线上网店的利润大于线下门店的利润，
答：选择线上网店销售方式比较好．
【变式2】（25-26 七年级上·云南昭通·期末）某电子厂生产一批蓝牙耳机套装，每套套装由耳机主体和充电
盒组成，生产过程中涉及以下成本和销售信息：
①生产每个耳机主体的硬件成本为a元，生产每个充电盒的硬件成本为b 元；
②生产每个耳机主体需要支付工人组装工资20 元，生产每个充电盒需要支付工人组装工资10 元；
③该批蓝牙耳机套装的固定设备检测费用为3000 元，无论生产多少套都需支付．
(1)用含, ,
a b n 的代数式表示生产n套蓝牙耳机套装的总成本（总成本＝硬件成本＋工人工资＋固定设备检测
费）；
(2)当每套蓝牙耳机套装的售价为
2
80
a
b
+
+
元，生产的150 套蓝牙耳机销售一空，用含,a b 的代数式表示
这批蓝牙耳机套装的总利润（总利润=总售价－总成本）．并化简；若
50,
30
a
b
=
=
，这批蓝牙耳机为该电
子厂带来的利润为多少元？
【答案】(1)
30
3000
a
b
n
é
ù
+
+
+
ë
û 元
(2)
150
4500
b +
元；9000 元
【分析】本题考查根据题意列代数式，并求代数式的值，理解题意是解题的关键；
（1）根据题意将硬件成本，工人工资，固定设备检测费相加即可；
（2）根据题意列出式子，化简并代入求值即可．
【详解】（1）解：每套硬件成本：1 个耳机主体硬件成本a元，1 个充电盒硬件成本b 元；
每套工人工资：1 个耳机主体组装工资20 元，1 个充电盒组装工资10 元；
固定设备检测费：3000 元（与生产数量无关）；
综上，总成本为：
20 10
3000
a
b
n
+
+
+
+
30
3000
a
b
n
=
+
+
+
答：生产n套蓝牙耳机套装的总成本为
30
3000
a
b
n
é
ù
+
+
+
ë
û 元．
（2）解：总利润为
150
2
80
30
150
3000
a
b
a
b
é
ù
´
+
+
-
+
+
´
+
ë
û
150
300
12000 150
150
4500
3000
a
b
a
b
=
+
+
-
-
-
-
150
4500
b
=
+
元，
当
50,
30
a
b
=
=
时，代入上式：
原式
150 30
4500
=
´
+
4500
4500
=
+
9000
=
（元），
答：若
50,
30
a
b
=
=
，该批蓝牙耳机套装销售了150 套时，该电子厂的利润为9000 元．
【变式3】（24-25 七年级上·重庆·期中）（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为
10
18
a +
米
的三角形护栏，其第一条边长为
7
4
a +
米，第二条边长比第一条边长少
2
3
a -
米，求该护栏第三边的边长；
（2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗单价为400 元．由于“双十一”
的到来，该商家为他提供了两种优惠．
若买桃树苗的数量小于等于5 棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗大于5 颗时，先缴纳订金500 元，则本
次购买的每棵树苗打八折．且在付尾款时，500 元订金还会将膨胀为800 元优惠券用于抵扣买桃树苗的
钱．若“十小八”总共购买
0
x x >
棵桃树苗，用含x 的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价´折扣）；
（3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200 公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4 元，利润为y
元．“十小八”卖了125 公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70 公
斤．最后还剩5 公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含y 的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+
利润）
【答案】（1）该护栏第三边的边长为
2
7
a
-
+
；（1）当0
5
x
<
£
时，360x ；当
5
x >
时，320
300
x -
；
（3）“十小八”卖桃子的总利润为
188
48
y -
元
【分析】本题考查整式的加减的实际应用，关键是根据题意列出代数式；
（1）将周长减去两条边长，即可求解；
（2）分两种情况，根据题意列出代数式，即可求解；
（3）将前两部分部分的利润相加，再减去无法销售的成本即可求解．
【详解】解：（1）该护栏第三边的边长为
10
18
7
4
7
4
2
3
a
a
a
a
é
ù
+
-
+
-
+
-
-
ë
û
10
18
7
4
7
4
2
3
a
a
a
a
=
+
-
+
-
+
+
-
10
18
7
4
7
4
2
3
a
a
a
a
=
+
-
-
-
-
+
-
2
7
a
= -
+ ；
答：该护栏第三边的边长为
2
7
a
-
+
；
（2）解：当0
5
x
<
£
时，他买桃树苗花的钱为400 0.9
360
x
x
´
=
；
当
5
x >
时，500 元订金还会将膨胀为800 元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱，
他买桃树苗花的钱为500
0.8
400
800
320
300
x
x
+
´
-
=
-
；
答：当0
5
x
<
£
时，他买桃树苗花的钱为360x 元；当
5
x >
时，为
200
320x
+
元；
（3）依题意，
125
70
4
0.9
70 4
5 4
y
y
´
+
´
+
´
-
´ - ´
125
63
252
280
20
y
y
=
+
+
-
-
188
48
y
=
-
．
答：“十小八”卖桃子的总利润为
188
48
y -
元．
▌题型02 周长问题
【典例2】（25-26 七年级上·江苏泰州·期中）如图，将6 个大小形状完全相同的小长方形A，B，C，D，E，
F 放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H 为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y．
(1)请用含x，y 的代数式分别表示空余部分G，H 的周长，直接写出化简后的结果：G 的周长为_______，H
的周长为_______；
(2)将空余部分G，H 的周长之和记为m，图形左上方A，B 组成的大长方形的周长记为n，则m，n 之间有
什么数量关系？请计算并加以说明．
【答案】(1) 4
2
x
y
-
，10y
(2)
2
m
n
=
，理由是：
4
2
10
4
8
m
x
y
y
x
y
=
-
+
=
+
，
2
2
2
4
n
x
y
x
y
=
+
=
+
，
4
8
2 2
4
x
y
x
y
+
=
+
Q
，
2
m
n
\
=
．
【分析】本题考查了整式的加减、列代数式、长方形的周长，解题的关键是正确列出代数式．
（1）根据题意列得代数式并化简即可；
（2）根据题意列得代数式并化简，然后结合（1）中所求结果进行计算即可．
【详解】（1）解：G 的周长是：
2
2 2
4
2
x
x
y
x
y
x
y
+
-
=
-
=
-
，H 的周长是：
2 3
2
10
y
y
y
+
=
，
G
\
的周长为4
2
x
y
-
，H 的周长为10y ；
（2）略
【变式1】（23-24 七年级上·四川广安·期末）有4 张相同的长方形纸片，各边长如图1 所示（a
b
>
），将
它们拼成较大的长方形，共有如图2 的三种不同的方式．
(1)用含a，b 的式子表示：
方式一拼成的大长方形的周长
1
C ：______；
方式二拼成的大长方形的周长
2
C ：______；
方式三拼成的大长方形的周长
3
C ：______．
(2)试说明方式一拼成的大长方形的周长最大．
(3)如果这三种方式拼成的大长方形中有两个大长方形的周长相等，请求出a 和b 之间的数量关系．
【答案】(1)8
2
a
b
+
，2
8
a
b
+
，4
4
a
b
+
(2)
证明：
1
2
8
2
2
8
C
C
a
b
a
b
-
=
+
-
+
6
6
6
0
a
b
a
b
=
-
=
-
>
，
1
3
8
2
4
4
C
C
a
b
a
b
-
=
+
-
+
4
2
2
2
0
a
b
a
a
b
=
-
=
+
-
>
，
所以
1
2
C
C
>
，
1
3
C
C
>
，即
1
C 最大．
(3)
2
a
b
=
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，等式的性质，掌握等式的加减法法则和等式的性质是解答本题
的关键．
（1）根据长方形的周长公式列式即可；
（2）用作差法比较大小即可；
（3）由（2）可知只能是方式二和方式三的周长相等，据此列式求解即可．
【详解】（1）方式一拼成的大长方形的周长
1
C ：
2 4
8
2
a
b
a
b
+
=
+
；
方式二拼成的大长方形的周长
2
C ：
2 4
8
2
b
a
b
a
+
=
+
；
方式三拼成的大长方形的周长
3
C ：
2
2
4
4
a
b
a
b
+
=
+
故答案为：8
2
a
b
+
；2
8
a
b
+
；4
4
a
b
+
；
（2）略
（3）由（2），得
2
3
C
C
=
，即2
8
4
4
a
b
a
b
+
=
+
，
所以
2
a
b
=
．
【变式2】（25-26 七年级上·北京延庆·期末）数学课上，老师提出一道思考题，如图，在一个长方形中放入
三个正方形，从大到小正方形的边长分别为a
b
c
，，，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差
是多少？经过独立思考和小组讨论之后，小明代表本组汇报如下的解题思路：
可以先设重叠部分的小长方形的长与宽分别为x 和y ，再用含a
b
c
x
，，，和y 的式子分别表示阴影部分的各
边长，算出右上角阴影部分周长和左下角阴影部分周长后求两者差即可得到答案
(1)请你结合小明说的思路，表示一下右上角阴影部分的周长为___________，左下角阴影部分的周长为
___________；
(2)右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是___________（用含b 的式子表示）．
【答案】(1)
2
4
2
2
a
b
x
y
+
-
-
，
2
2
2
2
a
b
x
y
+
-
-
(2)2b
【分析】本题考查的知识点是列代数式、整式加减的实际应用，解题关键是合理设未知数并用代数式准确地
表示各边的长．
（1）依题意，结合重叠部分的小长方形的长与宽分别为x 和y，再用a、b、c、x 和y 分别表示阴影部分的
各边长，根据整式的加减运算法则算出右上角阴影部分周长和左下角阴影部分周长，即可作答．
（2）结合（1）的结论进行列式，求出两者差即可得到答案．
【详解】（1）解：依题意，重叠部分的小长方形的长与宽分别为x 和y，如图所示：
则右上角阴影部分的周长为：
2
4
2
2
a
x
b
y
b
c
c
a
x
b
c
b
c
y
a
b
x
y
-
+
-
+
-
+ +
-
+
-
+
+ -
=
+
-
-
，
左下角阴影部分的周长为：
2
2
2
2
2
2
a
y
b
x
a
b
x
y
-
+
-
=
+
-
-
，
（2）解：依题意，右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差为：
2
4
2
2
2
2
2
2
2
a
b
x
y
a
b
x
y
b
+
-
-
-
+
-
-
=
．
故答案为：2b ．
【变式3】（24-25 七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b 的大小比较，有下面的方法：
若
0
a
b
-
>
，则a
b
>
；若
0
a
b
-
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
-
<
，则a
b
<
；我们把这种比较两个数大小的方法叫做
“作差法”．
(1)分别求出图1 中长方形A 的周长
A
C 和图2 中长方形B 的周长
B
C ；
(2)若a
b
>
，请用“作差法”比较
A
C ，
B
C 的大小；
(3)若
2
a
c
=
，
2
10
b
a
+
=
，直接写出图1 与图2 中长方形的周长之和______．
【答案】(1)
8
2
2
A
c
C
a
b
=
+
-
，
6
4
2
B
C
a
b
c
=
+
-
，
(2)
A
B
C
C
>
(3)60
【分析】本题考查了整式化简求值，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答．
（2）根据
8
2
2
A
c
C
a
b
=
+
-
，
6
4
2
B
C
a
b
c
=
+
-
，列式
2
2
B
A
b
C
C
a
-
=
-
，再结合a
b
>
，即可作答．
（3）根据
8
2
2
A
c
C
a
b
=
+
-
，
6
4
2
B
C
a
b
c
=
+
-
，列式由（1）得
6 2
2
4
A
B
C
C
a
b
a
c
+
=
+
+
-
，再把
2
a
c
=
，
2
10
b
a
+
=
代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，长方形A 的周长
3
2
2
8
2
2
A
C
a
b
a
b
c
a
b
c
=
-
+
+
-
´
=
+
-
，
长方形B 的周长
2
2
2
6
4
2
B
C
a
b
c
a
b
c
a
b
c
=
+
-
+
+
+
´
=
+
-
，
（2）解：由（1）得
8
2
2
A
c
C
a
b
=
+
-
，
6
4
2
B
C
a
b
c
=
+
-
，
则
B
A
C
C
-
8
2
2
6
4
2
a
b
c
a
b
c
=
+
-
-
+
-
8
2
2
6
4
2
a
b
c
a
b
c
=
+
-
-
-
+
8
2
2
6
4
2
a
b
c
a
b
c
=
+
-
-
-
+
2
2
a
b
=
-
，
∵a
b
>
，
∴
0
a
b
-
>
，
∴
2
2
2
0
A
B
C
C
a
b
a
b
-
=
-
=
-
>
，
∴
A
B
C
C
>
；
（3）解：由（1）得
8
2
2
A
c
C
a
b
=
+
-
，
6
4
2
B
C
a
b
c
=
+
-
，
∴
B
A
C
C
+
8
2
2
6
4
2
a
b
c
a
b
c
=
+
-
+
+
-
14
6
4
a
b
c
=
+
-
12
6
2
4
a
b
a
c
=
+
+
-
6 2
2
4
a
b
a
c
=
+
+
-
∵
2
a
c
=
，
2
10
b
a
+
=
，
∴
6 2
2
4
6 10
4
4
60
a
b
a
c
c
c
+
+
-
=
´
+
-
=
，
即
60
B
A
C
C
+
=
，
∴图1 与图2 中长方形的周长之和为60．
故答案为：60．
▌题型03 面积问题
【典例3】（25-26 七年级上·四川南充·期末）如图，①②两个正方形的边长分别为cm 6cm
a
、
．
(1)若
10
a =
，求阴影部分的面积；
(2)用含a的代数式表示阴影部分的面积；
(3)阴影部分的面积（记作S阴）和组合图形剩余部分的面积（记作S白）哪个大？大多少（用含a的代数式表
示）？
【答案】(1)
2
38cm ；
(2)
2
2
1
(
3
18)cm
2 a
a
-
+
(3) S
S
>
阴
白
，
2
6 cm
a
大
．
【分析】本题主要考查了正方形与三角形的面积计算及代数式的运算，熟练掌握面积公式和代数式的化简方
法是解题的关键．
（1）先计算两个正方形的总面积，再减去两个空白三角形的面积得到阴影面积．
（2）用含a的代数式表示总面积和空白三角形面积，作差得到阴影面积的表达式并带上单位．
（3）计算空白面积与阴影面积的差值，根据差值正负判断大小并求出差值．
【详解】（1）解：
2
2
2
10
6
100
36
136cm
S
=
+
=
+
=
总
，
2
1
1 10 10
50cm
2
S
=
´
´
=
空白
，
2
2
1
10
6
6
48cm
2
S
=
´
+
´
=
空白
，
∴
2
136
50
48
38cm
S
=
-
-
=
阴
；
（2）解：
2
2
2
2
6
36cm
S
a
a
=
+
=
+
总
，
2
2
1
1
cm
2
S
a
=
空白
，
2
2
1
6
6
3
18cm
2
S
a
a
=
+
´
=
+
空白
，
∴
2
2
1
36
3
18
2
S
a
a
a
=
+
-
-
+
阴
2
2
1
3
18(cm )
2 a
a
=
-
+
；
（3）解：
2
2
1
2
1
3
18 cm
2
S
S
S
a
a
=
+
=
+
+
白
空白
空白
，
2
2
1
1
3
18
3
18
2
2
S
S
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
-
=
+
+
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
阴
白
2
6 cm
a
=
；
0
a >
Q
，
S
S
\
>
阴
白
，
2
6 cm
a
大
．
【变式1】（25-26 七年级上·广东梅州·期中）据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员
位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动
车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生们对货
车(如图1)的盲区面积进行探究，得到货车盲区的部分分布图(如图2)，盲区1，2 的面积相同，都是
2
3
2 ab
a
+
，盲区3 的面积是
2
2
4
ab
a
-
+
，盲区4 的面积是
2
a ．
(1)用含a，b 的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）．
(2)若
2,
1
a
b
=
= ，求图中盲区的总面积．
【答案】(1)
2
7a
ab
+
(2)30
【分析】本题考查整式加减中的实际应用，化简求值，正确的计算是解题的关键：
（1）将所有面积相加即可得出结果；
（2）将
2,
1
a
b
=
= ，代入（1）中结果进行计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
4
3
2
2
4
7
2 ab
a
ab
a
a
ab
a
ab
a
a
a
ab
æ
ö
+
+ -
+
=
+
-
+
=
+
ç
÷
è
ø
+
+
；
（2）当
2,
1
a
b
=
= 时，
2
2
7
7 2
2 1
30
a
ab
+
=
´
+ ´ =
．
答：图中盲区的总面积为30．
【变式2】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）项目式学习
【项目主题】探究包装盒的打包方式
【项目背景】学习了课本中“项目式学习2 ：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探
究．
【项目素材】春节临近，某电商平台需要定制一种上盖为双层的长方体外包装纸箱（如图1），上盖纸板面
积等于底面面积的2 倍，并且每个外包装纸箱刚好能装入两个同样大小的小包装盒（如图2 ），设装入时不
留空隙，且纸箱厚度忽略不计．已知每个小包装盒的长、宽、高分别为a，b ，c，且a
c
=
，b
a
<
．现有如
图2 所示的甲、乙两种放入纸箱的摆放方式．
(1)分别计算甲、乙两种摆放方式所需外包装纸箱的纸板面积；（用含a，b 的代数式表示）
(2)当
20
a
cm
=
，
12
b
cm
=
时，问电商平台应选择哪种摆放方式，所需纸箱的纸板面积较少？
【答案】(1)甲种摆放方式：
2
2
10
a
ab
+
；乙种摆放方式：
2
4
8
a
ab
+
(2)甲种摆放方式所需纸箱的纸板面积较少
【分析】本题考查了整式的加减的应用，根据题意列出正确的算式并正确计算是解题的关键．
（1）分别根据长方体的表面积公式，结合上盖纸板面积等于底面面积的2 倍，可得所需纸板面积，列出代
数式，即可求解；
（2）将两种摆放方式所需外包装纸板面积的作差，根据整式的加减运算法则进行化简，然后将
20
a
cm
=
，
12
b
cm
=
代入化简后的代数式，即可求解．
【详解】（1）解：甲种摆放方式：
2
2 2
3 2
ac
bc
ab
+ ´
+ ´
2
4
6
ac
bc
ab
=
+
+
2
2
4
6
a
ba
ab
=
+
+
2
2
10
a
ab
=
+
；
乙种摆放方式：
2
2 2
3 2
bc
ac
ab
+ ´
+ ´
2
4
6
bc
ac
ab
=
+
+
2
2
4
6
ba
a
ab
=
+
+
2
4
8
a
ab
=
+
；
（2）解：两种摆放方式所需外包装纸板面积的差为：
2
2
2
10
4
8
a
ab
a
ab
+
-
+
2
2
2
10
4
8
a
ab
a
ab
=
+
-
-
2
2
2
a
ab
= -
+
，
当
20
a
cm
=
，
12
b
cm
=
时，
2
2
2
a
ab
-
+
2
2 20
2 20 12
= - ´
+ ´
´
800
480
= -
+
320
0
= -
<
，
\甲种摆放方式所需纸箱的纸板面积较少．
【变式3】（25-26 七年级上·山东济南·期末）为了更好的开展劳动教育，学校打算在原有长为a，宽为b 的
长方形土地上设计一个长方形的小池塘和一个半圆形的蔬菜种植地，作为开心农场社团的劳动基地．张亮同
学为学校提供了如图所示的设计方案：小池塘的长m，宽n分别是,a b 的
1
2 ，种植地的直径为n．
(1)用含,a b 的式子表示下列各区域的面积：
①长方形土地的面积：_____；
②长方形小池塘的面积：_____；
③半圆形蔬菜种植地的面积：_____．
(2)劳动基地除小池塘和种植地外的地方都是绿地，学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上．若长
方形土地的长与宽之间满足
3
2
a
b
=
，请你判断张亮同学的设计方案是否符合要求，并说明理由．
(3)经过测量，可得
15
a =
米，
10
b =
米．假设学校采用了张亮的设计方案，为了保证安全，学校决定购入一
批围栏，将小池塘围起来，围栏单价为40 元/米．围栏连接处的耗材忽略不计，要想将小池塘都围起来，请
你计算学校需要花费多少钱？
【答案】(1)①ab ；②1
4 ab；③
2
1 π
32 b ；
(2)张亮的设计方案满足学校的要求，理由：
∵
3
2
a
b
=
，
∴长方形土地的面积为：
2
3
2
ab
b
=
，
长方形小池塘的面积：
2
3
3
2
1
1
4
4
8 b
b
b
a
b
´
=
=
´
，
半圆形蔬菜种植地的面积：
2
1 π
32 b ，
∴绿地面积为：
2
2
2
2
3
3
1
9
π
π
2
8
32
8
32
b
b
b
b
æ
ö
-
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
∵
2
2
2
2
9
π
1
3
9
π
3
12
π
8
32
2
2
8
32
4
32
b
b
b
b
-
æ
ö
æ
ö
-
-
´
=
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又∵12
π
0
-
>
，
∴
2
12
π
0
32
b
-
>
，
∴
2
2
9
π
1
3
8
32
2
2
b
b
æ
ö
-
>
´
ç
÷
è
ø
，
∴绿地面积占长方形土地面积的一半以上，
∴张亮的设计方案满足学校的要求；
(3)需要花费1000元.
【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，
（1）①根据长方形的面积公式列出代数式；②根据长方形的面积公式列出代数式；③根据圆的面积公式
列出代数式；
（2）先求出绿地面积为：
2
2
2
2
3
3
1
9
π
π
2
8
32
8
32
b
b
b
b
æ
ö
-
-
=
-
ç
÷
è
ø
，然后用作差法进行比较即可；
（3）求出小池塘周长，进而根据单价计算即可.
【详解】（1）解：①长方形土地的面积：ab ，
故答案为：ab ；
②∵小池塘的长m，宽n分别是a、b 的
1
2 ，即
1
2
m
a
=
，
1
2
n
b
=
，
∴长方形小池塘的面积：
1
1
1
2
2
4
mn
a
b
ab
=
×
=
，
故答案为：1
4 ab；
③∵半圆形的蔬菜种植地直径为n，且
1
2
n
b
=
，
∴半圆形蔬菜种植地的面积：
2
2
2
1
1
1
π
π
π
2
2
2
4
32
n
b
b
æ
ö
æ
ö
´
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故答案为：
2
1 π
32 b ；
（2）略
（3）解：∵
1
2
m
a
=
，
1
2
n
b
=
，
15
a =
米，
10
b =
米，
∴小池塘长
1
15
15
2
2
m =
´
=
米，宽
1 10
5
2
n =
´
=
米，
∴小池塘周长
15
2
5
25
2
æ
ö
=
´
+
=
ç
÷
è
ø
米，
∴需要花费25 40
1000
´
=
元.
▌题型04 行程问题
【典例4】（25-26 七年级上·江苏南通·期末）港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长
的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km h ，在海底隧道和主桥上行驶的平均
速度分别为72km h 和92km h ．请根据这些数据回答下列问题：
港珠澳大桥主体工程示意图
(1)直接写出汽车在主桥上行驶ht 的路程为______ km ；（用含t 的代数式表示）
(2)如果汽车通过海底隧道需要h
a ，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25 倍，请用
含a 的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长；
(3)如果汽车通过主桥需要h
b ，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h ，请用含b 的代数式表示主
桥与海底隧道的长度差．
【答案】(1)92t
(2)香港口岸到西人工岛的全长为192 km
a
(3)主桥与海底隧道的长度差为
m
2
k
0
10.8
b +
【分析】本题考查了整式的加减的应用．
（1）依据题意，利用路程=速度×时间进而可以列式计算得解；
（2）利用路程=速度×时间，计算即可得到答案；
（3）利用路程=速度×时间，列式求出主桥与海底隧道的长度相差，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：∵汽车在主桥上行驶的平均速度为92km h ，
∴汽车在主桥上行驶ht 的路程为92 km
t
，
故答案为：92t ；
（2）解：∵汽车通过海底隧道需要h
a ，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25 倍，
∴从香港口岸到东人工岛的时间是1.25 h
a ，
∴香港口岸到西人工岛的全长为：72
96 1.25
72
120
192 km
a
a
a
a
a
+
´
=
+
=
；
（3）解：∵汽车通过主桥需要h
b ，
∴在主桥上行驶路程是92 km
b
，
∵通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h ，
∴汽车在海底隧道行驶的时间是
0.15 h
b -
，
∴在海底隧道行驶路程为
72
0.15 km
b -
，
∴主桥与海底隧道的长度差为
92
72
0.15
92
72
10.8
20
10.8 km
b
b
b
b
b
-
-
=
-
+
=
+
．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北孝感·期中）下表是某品牌网约车的收费标准．
起步费
不超过3 公里为12 元
里程费
超过3 公里后超过部分2 元/ 公里
远途费
超过10 公里后超过部分0.4 元/ 公里
收费标准
时长费
超过10 分钟后超过部分0.6 元/ 分钟
例：乘车里程为20 公里，行车时间30 分钟，车费为：
12
2
20
3
0.4
20 10
0.6
30 10
62
+ ´
-
+
´
-
+
´
-
=
（元）
请回答以下问题：
(1)小华家到影院的路程是9公里，若乘该品牌网约车约需要15分钟，求所需车费多少元？
(2)小华乘该品牌网约车外出，行车里程为
10
a a >
公里，行车时间为
10
b b >
分钟，求所需车费多少元(用
含a、b 的代数式表示)？
(3)小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩，行车里程分别为17 公里、20 公里，若汽车在市区内
限速40公里/ 小时，小华比小明乘车时间多用了13分钟，请通过计算说明谁付的车费多？
【答案】(1)所需车费27 元
(2)所需车费
2.4
0.6
4
a
b
+
-
元
(3)小华付的车费多
【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数的混合运算，读懂题意，列出正确的代数式是解题的关键．
（1）根据题意列出算式，再根据有理数的运算法则计算即可；
（2）根据题意列出代数式，再根据整式的加减计算即可；
（3）分别计算小华与小明的车费，利用作差法比较即可．
【详解】（1）解：
12
2
9
3
0.6
15 10
27
+ ´
-
+
´
-
=
（元）
故所需车费27 元；
（2）解：
12
2
3
0.4
10
0.6
10
2.4
0.6
4
a
a
b
a
b
+
-
+
-
+
-
=
+
- ，
故所需停车费
2.4
0.6
4
a
b
+
-
元；
（3）解：
0
1
4
7
40
17
¸
=
（小时）
10
>
分钟
∴小华、小明乘车均超过10 分钟
设小华乘车时间为b 分钟，则小明乘车时间为
13
b -
分钟，
由（2）题的代数式可得：
小华的车费为：
2.4 17
0.6
4
36.8
0.6
b
b
´
+
-
=
+
元．
小明的车费为：
2.4 20
0.6
13
4
36.2
0.6
b
b
´
+
-
-
=
+
元．
因为
36.8
0.6
36.2
0.6
0.6
0
b
b
+
-
+
=
>
，
所以36.8
0.6
36.2
0.6
b
b
+
>
+
．
答：小华付的车费多．
【变式2】（25-26 七年级上·广东东莞·期末）两船从同一港口同时出发，甲船顺水航行，乙船逆水航行，已
知两船在静水中的速度都是50km h ，水流速度是km h
a
．
(1)甲船航速＝______ km h ，乙船航速＝______ km h （用含a 的代数式表示）．
(2)3h 后两船相距多远？
【答案】(1)
50
a
+
，
50
a
-
(2)3h 后两船相距300km
【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减运算的应用，掌握船顺流航行时的速度与逆流航行的速度公式
是解题的关键．
（1）根据顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速可得答案；
（2）根据行驶路程=行驶速度×行驶时间分别求得两船的行驶路程，然后求和即可．
【详解】（1）解：∵两船在静水中的速度都是50km h ，水流速度是km h
a
，
∴甲船的速度为
50
km/h
a
+
，乙船的速度为
50
km/h
a
-
；
故答案为：
50
a
+
，
50
a
-
；
（2）解：
3
50
50
a
a
´
+
+
-
3 100
= ´
300 km
=
，
所以3h 后两船相距300km ．
【变式3】（24-25 七年级上·山东聊城·期末）如图，在数轴上A 点表示有理数a，B 点表示有理数b ，已知
a，b 互为相反数，且a是多项式
2
5
6
15
x
x
-
-
-
的二次项系数．
(1)求a，b ；
(2)数轴上有两个动点P
Q
、
，动点P 从A 点出发，以每秒4 个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时
动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P 在点C 处追上点Q ，求点C 表
示的有理数c．
(3)在（2 ）的条件下，点P
Q
、
相遇之前，4PQ
PA
+
是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
5
a
-
=
，
5
b =
；
(2)35 ；
(3)是定值，40
【分析】本题考查了数轴，相反数，一元一次方程的应用，整式的加减，列代数式，掌握知识点的应用是解
题的关键．
（1）根据多项式的定义即可求出a的值，再由相反数的定义即可求出b 的值；
（2 ）设运动了t 秒，点P 追上点Q ，根据题意列出方程4
3
10
t
t
-
=
，然后求解即可；
（3）设运动时间为t 秒，则
10
t <
，由题知P 对应的数为5
4t
- +
，Q 对应的数为3
5
t +
，则
4
PA
t
=
，
10
PQ
t
=
- ，然后代入4PQ
PA
+
即可求解．
【详解】（1）解：因为a是多项式
2
5
6
15
x
x
-
-
-
的二次项系数，
所以
5
a
-
=
，
因为a，b 互为相反数，
所以
5
b =
；
（2）解：设运动了t 秒，点P 追上点Q ，则4
3
10
t
t
-
=
，
解得
10
t =
，
所以C 点表示的有理数c为5
3 10
35
+ ´
=
；
（3）解：4PQ
PA
+
为定值，理由，
设运动时间为t 秒，则
10
t <
，
由题知P 对应的数为5
4t
- +
，Q 对应的数为3
5
t +
，
所以
4
PA
t
=
，
10
PQ
t
=
- ，
所以
4
4 10
4
40
PQ
PA
t
t
+
=
-
+
=
，
所以4PQ
PA
+
为定值40．
▌题型05 数字问题
【典例5】（25-26 七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整
数，十位上的数字为a，个位上的数字为b （a
b
>
），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所
得新数的差等于a与b 的差的9倍．
回答问题：
(1)请证明小智的发现；
(2)已知一个三位正整数的百位上的数字为m，个位上的数字为n，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，
十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出m
n
-
的值．
【答案】(1)
证明：由题意可得：原数为10a
b
+ ，新数为10b
a
+
，
∵a
b
>
，
∴10
10
a
b
b
a
+
>
+
，
∴原数与新数的差为
10
10
9
9
9
a
b
b
a
a
b
a
b
+
-
+
=
-
=
-
，
∵a与b 的差为a
b
-
，
故原数与所得新数的差等于a与b 的差的9倍．
(2)6
【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能
运用求解．
（1）根据题意列出原数与新数之差进行计算；
（2）设十位上的数字为a，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设十位上的数字为a，
根据题意可得：原数为100
10
m
a
n
+
+
，新数为：100
10
n
a
m
+
+
，
两数之差为：
100
10
100
10
99
99
m
a
n
n
a
m
m
n
+
+
-
+
+
=
-
，
根据题意：99
99
594
m
n
-
=
，
∴
6
m
n
-
= ．
【变式1】（24-25 七年级上·陕西咸阳·开学考试）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等．若从
M 的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称
这个和为M 的“团结数”．如123 的“团结数”为12 13
21
23
31 32
132
+
+
+
+
+
=
．
(1)请求出427 的“团结数”；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等
（
0,
0
a
b
¹
¹
），若N 的“团结数”与N 之差为24，求N 的值．
【答案】(1)286
(2)284 或218
【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的运算，列方程解决数字问题，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）根据定义列出代数式求值即可；
（2）根据定义表示出“团结数”，根据两数之差列出方程，根据,a b 的取值要求进行求解即可．
【详解】（1）解：427 的“团结数”为42
47
24
27
74
72
286
+
+
+
+
+
=
；
（2）解：根据题意得，
20
20
10
2 10
10
2 10
200 10
24
a
b
a
a
b
b
b
a
a
b
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
=
，
整理得4
7
60
a
b
+
=
，
∵2, ,a b 各不相等（
0,
0
a
b
¹
¹
），且都为1 9
-
的整数，
∴当
8,
4
a
b
=
= 时，符合题意，此时，N 的值为200 10
200
80
4
284
a
b
+
+
=
+
+
=
；
当
1,
8
a
b
=
=
时，符合题意，此时，N 的值为200 10
200 10
8
218
a
b
+
+
=
+
+
=
；
∴N 的值为284 或218．
【变式2】（25-26 七年级上·四川眉山·期末）已知一个三位数，百位上数字比十位数字大1，十位数字比个
位数字大3．
(1)若这个三位数的百位上数字为m，请用m的代数式表示这个三位数；
(2)若将这个三位数的百位上数字与个位数字对调，求所得新数比原数小多少？
(3)若这个三位数是5 的倍数，求这个三位数．
【答案】(1)111
14
m -
(2)396
(3)430 或985
【分析】本题考查列代数式，整式的加减，代数式求值，正确表示出三位数是解题的关键．
（1）分别表示出十位上的数和个位上的数，再根据数的表示即可；
（2）先表示出新的三位数，再将原三位数减去新三位数即可；
（3）根据这个三位数是5 的倍数，得到个位上的数字
4
m -
为0 或5，分别求出m 的值，即可得到这个三位
数．
【详解】（1）解：这个三位数的百位上的数字为m，十位上的数字为
1
m - ，个位上的数字为
1 3
4
m
m
- -
=
-
，
∴这个三位数是
100
10
1
4
100
10
10
4
111
14
m
m
m
m
m
m
m
+
-
+
-
=
+
-
+
-
=
-
．
（2）解：新的三位数为
100
4
10
1
100
400 10
10
111
410
m
m
m
m
m
m
m
-
+
-
+
=
-
+
-
+
=
-
，
新数比原数的差为
111
14
111
410
111
14 111
410
396
m
m
m
m
-
-
-
=
-
-
+
=
．
（3）解：∵这个三位数是5 的倍数，
∴个位上的数字
4
m -
为0 或5，
当
4
0
m -
=
时，
4
m =
，
则这个三位数111
14
111 4 14
430
m -
=
´ -
=
；
当
4
5
m -
=
时，
9
m =
，
则这个三位数111
14
111 9 14
985
m -
=
´ -
=
．
∴这个三位数是430 或985．
【变式3】（25-26 七年级上·湖北襄阳·期末）有一种可计算6 10
～
之间整数相乘的手指算法．
例：计算7 8
´ 时，按图1 标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线
的下方，双手共有5 个手指，则以5 作为十位数字；在虚线的上方，左手有3 个手指，右手有2 个手指，取
两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为
10
5
3
5
2
3 2
56
é
ù
´
-
+
-
+ ´
=
ë
û
（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指
头数作为十位数字”）．
【学习算法】
（1）计算6 9
´
时，按上述方法，算法为：
54
=
；
【总结算法】
（2）设a，b 分别为6～10 中的任一整数．在计算×
a b 时，a 在左手，b 在右手，则虚线上方左手有 个手指，
右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为：
a b
=
× （用含a，b 的代数式表示）．
【探究拓展】
（3）若a，b 变为16
20
～
之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2 标记数字，并按相同方法画出虚
线．若在虚线的上方，左、右手分别有m 和n 个手指．则算法为：200 +
mn
a b
+
=
× （用含m，n 的代数式
表示）．
（4）若a 为6～10 之间整数，b 为16～20 之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3 标记数字，并按相
同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m 和n 个手指．则算法为：
a b
=
× （用含m，n 的代数
式表示）．
【答案】（1）
10
1
4
4 1
´
+
+ ´ ；
（2）(
)
10
a
-
，
10
b
-
，
10
a
b
+
-
，
10
10
10
10
a
b
a
b
+
-
+
-
-
；
（3）
20 10
m
n
-
-
；
（4）
10
10
10
10
m
n
m
n
+
-
+
-
-
【分析】理解新方法是解题关键．
【详解】解：（1）
10
1
4
4 1
54
´
+
+ ´ =
；
（2）设a，b 分别为6～10 中的任一整数．在计算×
a b 时，a 在左手，b 在右手，则虚线上方左手有(
)
10
a
-
个手指，右手有
10
b
-
个手指；虚线下方双手共有
10
a
b
+
-
个手指．则算法为：
10
10
10
10
a
b
a
b
+
-
+
-
-
（用含a，b 的代数式表示）；
（3）由题意得虚线的上方，左、右手分别有m 和n 个手指，则在虚线下方共有
10 m n
-
-
个手指，但因为
a，b 为16
20
～
之间整数，所以算法为：
200
20 10
m
n
mn
a b
+
-
-
+
=
× ；
（4）若在虚线的上方，左、右手分别有m 和n 个手指，下方则有左右手分别有
5
, 5
m
n
-
-
个手指，，但
因为a 为6～10 之间整数，b 为16～20 之间整数，则算法为：
10
10
10
10
m
n
m
n
a b
+
-
+
-
-
=
× ．
▌题型06 整除问题
【典例6】（25-26 七年级上·浙江温州·期末）综合与探究
【阅读材料】
一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9 整除，那么这个自然数就能被9 整除．比如：
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为x
y
、，通常记这个两位数为xy ．
即
10
9
xy
x
y
x
x
y
=
+
=
+
+
．
因为9x和
x
y
+
都能被9 整除，
所以
9x
x
y
+
+
就能被9 整除，
所以xy 能被9 整除．
【应用拓展】
(1)请参考以上阅读材料说明理由：设abc 是一个三位数，若
a
b
c
+
+
能被9 整除，则abc 就能被9 整除．
(2)若
9
4
m -
能被9 整除时，
3
m n也能被9 整除，则n的值为___________．
【答案】(1)
证明：∵
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
∴
99
9
abc
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
∵99a 能被9 整除，9b 能被9 整除，且
a
b
c
+
+
能被9 整除
∴
99
9
a
b
a
b
c
+
+
+
+
能被9 整除
∴abc 能被9 整除；
(2)2
【分析】本题考查了数的整除，整式的加减计算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
（1）参考阅读材料的思路，将三位数表示为含9 的倍数与各数位数字和的形式，依据整除的性质完成证明；
（2）先根据
9
4
m -
能被9 整除的条件确定m 的值，再利用三位数能被9 整除的数字和性质求出n 的值 ．
【详解】（1）略
（2）解：∵
9
10
9
m
m
=
+
∴
9
4
10
9
4
10
5
9
(
5)
m
m
m
m
m
-
=
+
-
=
+
=
+
+
∵
9
4
m -
能被9 整除，9m能被9 整除
∴
5
m + 能被9 整除
∵m 是两位数的十位数字，m 为1 到9 的自然数
∴
5
9
m +
=
解得
4
m =
∵
3
43
m n
n
=
，且43n 能被9 整除
∴4
3
n
+ +
能被9 整除
∵n 是0 到9 的自然数
∴ 7
9
n
+
=
解得
2
n =
答：n 的值为2．
【变式1】（25-26 七年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下面是华师版教材111 页的部分内容．
设abcd 是一个四位
数，如果a
b
c
d
+
+
+
可
以被3 整除，那么这个
数可以被3 整除．为什
么？
【特例验证】写出一个能被3 整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3
整除（填“能”或“不能”）．
【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整．
解：
1000
100
10
abcd
a
b
c
d
=
+
+
+
＝
99
9
a
b
b
c
c
d
+ +
+
+
+ +
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
，
显然999
99
9
a
b
c
+
+
能被3 整除．
因此如果a
b
c
d
+
+
+
能被3 整除，那么abcd 就能被3 整除．
【迁移运用】设abc 是一个三位数，如果a
b
c
+
+
能被9 整除，那么这个数可以被9 整除，为什么？请写出
证明过程．
【拓展提升】当五位数1035x 能被9 整除时，直接写出x 的值．
【答案】特例验证：1236（答案不唯一），12（答案不唯一），能；探究证明：999a ；
迁移运用：证明：
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
99
9
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
9 11a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
．
∵a
b
c
+
+
能被9 整除，
9 11a
b
+
能被9 整除，
∴abc 能被9 整除；
拓展提升：
0
x =
或
9
x =
【分析】此题考查整式加减的应用．
特例验证：根据一个四位数的各位数字和能被3 整除，这个四位数就能被3 整除的结论写出一个四位数即可；
探究证明：根据合并同类项法则解决即可；
迁移运用：把
100
10
abc
a
b
c
=
+
+ 化为
9 11a
b
a
b
c
+
+
+
+
即可证明；
拓展提升：根据五位数1035x 能被9 整除得出1
0
3
5
9
+
+ +
+
=
+
x
x 能被9 整除，进而求出结论．
【详解】特例验证：解：只要四位数的各个数位上的数字之和能被3 整除即可．
故能被3 整除的四位数为：1236（答案不唯一）；该数四个数位上的数字之和为12，显然该和能被3 整除．
故答案为：1236，12，能；
探究证明：
解：
1000
100
10
abcd
a
b
c
d
=
+
+
+
999
99
9
a
a
b
b
c
c
d
=
+
+
+
+
+
+
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
，
显然999
99
9
a
b
c
+
+
能被3 整除．
因此如果a
b
c
d
+
+
+
能被3 整除，那么abcd 就能被3 整除．
故答案为：999a ；
迁移运用：略
拓展提升：
解：∵五位数1035x 能被9 整除，
∴各位数字之和能被9 整除，即：1
0
3
5
9
+
+ +
+
=
+
x
x 能被9 整除．
∴x 能被9 整除．
∵x 是0
9
～的整数，
∴
0
x =
或
9
x =
．
【变式2】（25-26 七年级上·广东深圳·期末）小龙上小学时得知“如果一个数的各个数字之和能被3 整除，
那么这个数就能被3 整除”．于是他选取了一个三位数825，它的各个数字之和为8
2
5
15
+
+
=
，因为
15
3
5
¸
=
，所以825 应该能被3 整除．爱思考的小龙想到用两种方法进行说明．
方法1：计算验证
825
3
275
¸
=
方法2：分析说明
825
8 100
2 10
5
= ´
+ ´
+
8
99 1
2
9 1
5
= ´
+
+ ´
+
+
8 99
8
2 9
2
5
= ´
+ + ´ +
+
8 99
2 9
8
2
5
=
´
+ ´
+
+
+
3
8 33
2 3
3 5
= ´
´
+ ´
+ ´
因为8 33
2 3
´
+ ´ 为整数，5 为整数，
所以
3
8 33
2 3
´
´
+ ´
能被3 整除，3 5
´ 能被3 整除，所以825 能被3 整除．
(1)有一个三位数，它的百位数字是7，十位数字是4，请你选择一个合适的个位数字，使得这个三位数能被3
整除，并用方法2 说明理由；
(2)设abcd 是一个四位数，a，b，c，d 分别为对应数位上的数字，请说明若a
b
c
d
+
+
+
能被3 整除，则这个
数也可以被3 整除．
【答案】(1)
个位数字选1，
理由：个位数字选1，则这个三位数是741．（个位数字除了1，还可以选4 或7）
741
7 100
4 10 1
=
´
+ ´
+
7
99 1
4
9 1
1
=
´
+
+ ´
+
+
7 99
7
4 9
4 1
=
´
+
+ ´ +
+
7 99
4 9
7
4 1
=
´
+ ´
+
+
+
3
7 33
4 3
12
= ´
´
+ ´
+
3
7 33
4 3
3 4
= ´
´
+ ´
+ ´
因为7 33
4 3
´
+ ´ 为整数，4 为整数，
所以
3
7 33
4 3
´
´
+ ´
能被3 整除，3 4
´ 能被3 整除，
所以741 能被3 整除．
(2)
证明：1000
100
10
a
b
c
d
+
+
+
999
99
9
a
a
b
b
c
c
d
=
+
+
+
+
+
+
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
3 333
33
3
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
，
因为
3 333
33
3
a
b
c
+
+
能被3 整除，且a
b
c
d
+
+ +
可以被3 整除，
所以它们的和
3 333
33
3
a
b
c
a
b
c
d
+
+
+
+
+ +
可以被3 整除，
所以这个四位数可以被3 整除．
【分析】此题考查了整式加减的应用，有理数混合运算的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方
法是解题的关键．
（1）仿照例题得到3 与某数相乘即可得到结论；
（2）仿照例题得到3 与某数相乘即可得到结论．
【详解】（1）略
（2）略
【变式3】（23-24 八年级上·山西长治·阶段检测）设abc 是一个三位数，若a
b
c
+
+
可以被3 整除，则这个
三位数可以被3 整除．
证明：
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
99
9
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
9 11a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
．
9
Q
能被3 整除，
11a
b
+
是整数，
9 11a
b
\
+
可以被3 整除．
又
a
b
c
+
+
Q
可以被3 整除（已知），
\这个三位数可以被3 整除．
(1)请仿照上面的过程，证明：设abcd 是一个四位数，若a
b
c
d
+
+
+
可以被3 整除，则这个四位数可以被3
整除．
(2)已知一个两位数的十位上的数字比个位上的数字的2 倍大3，这个两位数能否被3 整除？如果能，请说明
理由；如果不能，请举例说明．
【答案】(1)见解析
(2)这个两位数能被3 整除．理由见解析
【分析】（1）将该四位数变形为
9 111
11
a
b
c
a
b
c
d
+
+
+
+
+ +
，由
9 111
11
a
b
c
+
+
能被9 整除，
a
b
c
d
+
+ +
能被3 整除可得出结论；
（2）设这个两位数的个位上的数字为m，表示出该两位数并化简为
3 7
10
m +
，继而判断能否被3 整除．
【详解】（1）解：证明：
1000
100
10
abcd
a
b
c
d
=
+
+
+
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+ + +
9 111
11
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
．
9
Q
能被3 整除，
111
11
a
b
c
+
+
是整数，
9 111
11
a
b
c
\
+
+
可以被3 整除．
又
a
b
c
d
+
+
+
Q
可以被3 整除（已知），
\这个四位数可以被3 整除．
（2）这个两位数能被3 整除．
理由：设这个两位数的个位上的数字为m，则十位上的数字为
2
3
m +
，
\这个两位数是
10 2
3
21
30
3 7
10
m
m
m
m
+
+
=
+
=
+
．
7,
,10
m
Q
都是整数，
7
10
m
\
+
为整数，
3 7
10
m
\
+
能被3 整除，
\这个两位数能被3 整除．
【点睛】本题考查了数的整除，列代数式，整式加减的应用，解题的关键是能够将相应的数用字母表示并计
算化简．
▌题型07 日历问题
【典例7】（24-25 七年级上·全国·单元测试）学习情境·日历如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈
出9 个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）
(1)图中圈出的9 个数的平均数是多少？直接写结果.
(2)若用正方形圈出此日历中的任意9 个数，位于中心位置的数是m，那么这9 个数的和是多少？
(3)若用正方形圈出此日历中的9 个数，这9 个数的和有可能是225 吗？试说明理由.
【答案】(1)14
(2)9m
(3)不可能，见解析
【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减，读懂题意，根据题意得出日历中的任意9 个数的代数式是解
本题的关键．
（1）直接计算图中圈出的9 个数的平均数即可；
（2）根据中间一个数为m，根据左右相差1，上下相差7，分别表示出其余8 个数，相加即可得到这9 个数
的和，9 个数的和除以即可得到这个数的平均数；
（3）用225
9
¸ ，结合日历上数的位置可得结果．
【详解】（1）解：9 个数的平均数为6
7
8 13 14 15
20
21
22
14
9
+
+ +
+
+
+
+
+
=
；
（2）解：∵中间的数为m，
∴剩下的8 个数分别为
1
m - ，
1
m + ，
7
m -
，
8
m - ，
6
m -
，
7
m +
，
6
m +
，
8
m + ，
∴这9 个数之和：
1
1
7
8
6
7
6
8
9
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
+
- +
+ +
-
+
- +
- +
+
+
+
+
+
=
；
（3）不可能，理由如下；
若这9 个数的和为225，
9
225
m =
，
则
25
m =
，
由图可知，25 是日历中第4 行的最后一个数，无以25 为中心位置的圈出9 个数的正方形，
所以不可能是225.
【变式1】（24-25 七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题．
(1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6 个数，请根据规律补全“阶梯框”；
(2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3 的倍数；
(3)在（1）的条件下， a 可能等于7 或26 吗？请说明理由．
【答案】(1)
如图所示：
7
a -
6
a -
1
a -
a
5
a +
6
a +
(2)是3 的倍数
(3)
不可能，理由：
根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当
7
a =
时，
7
0
-
=
a
，日期数字中不可能出现0；当
26
a =
时，
6
32
a +
=
，
7
a =
时，
7
0
-
=
a
，日期数字中不可能出现0；当
26
a =
时，
6
32
a +
=
，日期数字中不可能出
现32．
【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键．
（1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答；
（2）将6 个数相加即可解答；
（3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，
7
a =
时，
7
0
-
=
a
，日期数字中不可能出现0；当
26
a =
时，
6
32
a +
=
，日期数字中不可能；
【详解】（1）略
（2）解：
7
6
1
5
6
6
3
3 2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
-
+
-
+
- +
+
+ +
+
=
-
=
-
所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3 的倍数；
（3）略
【变式2】（25-26 七年级上·湖北襄阳·期末）如图1 是某年7 月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住
4 个数．
(1)若框住4 个数的和为74，求出框住4 个数中最大数；
(2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4 个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不
能，说明理由．
(3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4 个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数
式4
3
2
a
b
c
d
-
+ -
的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值．
【答案】(1)框住4 个数中最大数为22
(2)不能，理由：
假设框出的4 个数中最小的数为x，则另外三个数分别为
1,
6,
7
x
x
x
+
+
+
，
1
6
7
94
x
x
x
x
\ +
+ +
+
+
+
=
，
解得：
20
x =
，
∵数20 已经在该行的最左边，
则它的左下角不存在数，
故不能框出这样的4 个数，它们的和等于94；
(3)代数式4
3
2
a
b
c
d
-
+ -
的值不发生变化，始终为11
-
【分析】本题考查了一元一次方程的应用及整式加减的应用；
（1）观察图形，根据各数之间的关系，设框出的4 个数中最小的数为x，用含x 的代数式表示出另外三个数，
得出方程，进而解方程即可；
（2）设框出的4 个数中最小的数为x，用含的代数式表示出另外三个数，得出方程，进而解方程即可；
（3）先求出
1,
6,
7
b
a
c
a
d
a
=
+
=
+
=
+
，代入代数式求出结果，即可得出结论．
【详解】（1）解：设框出的4 个数中最小的数为x，则另外三个数分别为
1,
6,
7
x
x
x
+
+
+
，
1
6
7
74
x
x
x
x
\ +
+ +
+
+
+
=
，
解得：
15
x =
，
则框住4 个数中最大数为
7
22
x +
=
．
（2）略
（3）解：代数式4
3
2
a
b
c
d
-
+ -
的值不发生变化，始终为11
-
，理由如下：
如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4 个数为a、b、c、d，
则
1,
6,
7
b
a
c
a
d
a
=
+
=
+
=
+
，
4
3
2
a
b
c
d
\
-
+ -
4
3
1
6
2
7
a
a
a
a
=
-
+
+
+
-
+
4
3
3
6
2
14
a
a
a
a
=
-
- +
+
-
-
11
= -
，
则代数式4
3
2
a
b
c
d
-
+ -
的值不发生变化，始终为11
-
．
【变式3】（24-25 七年级上·广东江门·期中）数学活动−−探究日历中的数字规律
如图1 见2023 年11 月份的日历，小乐在其中画出一个3 3
´
的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置
如图2 所示的四个数“
b
c
a
d
+
-
+
”的值，探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图1 中
10
22
8
24
+
-
+
的结果为______；将图2 中3 3
´
的方框移动到图1 中的其他位置，
通过计算可以发现
b
c
a
d
+
-
+
的值均为______；
(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设a
x
=
，则
2
b
x
=
+
，
14
c
x
=
+
，d =______．
所以，
2
14
b
c
a
d
x
x
+
-
+
=
+
+
+
- （______）=______
(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1 中的日历．继续进行如下探究．
请从下列A，B 两题中任选一题作答．我选择______题．
A．在日历中用“Z 型框”框住位置如图3 所示的四个数．探究“
b
c
a
d
+
-
+
”的值的规律．写出你的结论．并
说明理由．
B．在日历中用“Y 型框”框住位置如图4 所示的四个数．探究“
b
c
a
d
+
-
+
”的值的规律，写出你的结论．并
说明理由．
【答案】(1)0，0；
(2)
16
x +
，
16
x
x
+
+
，0；
(3)
选择：A；
如图3 中，结论：(
)
(
)
0
b
c
a
d
+
-
+
=
．
理由：设a
x
=
，则
1
b
x
=
+ ，
8
c
x
=
+ ，
9
d
x
=
+
，
(
)
(
)
(
1
8)
(
9)
2
9
2
9
0
b
c
a
d
x
x
x
x
x
x
\
+
-
+
=
+ +
+
-
+
+
=
+
-
-
=
；
选择：B；
如图4 中，结论：(
)
(
)
5
b
c
a
d
+
-
+
= - ．
理由：设a
x
=
，则
2
b
x
=
+
，
8
c
x
=
+ ，
15
d
x
=
+
，
(
)
(
)
(
2
8)
(
15)
2
10
2
15
5
b
c
a
d
x
x
x
x
x
x
\
+
-
+
=
+
+
+
-
+
+
=
+
-
-
= - ．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用
参数解决问题．
（1）先计算括号，再计算减法可得结论；
（2）把
16
d
x
=
+
，代入计算即可；
（3）选A 时，如图3 中，结论：(
)
(
)
0
b
c
a
d
+
-
+
=
．设a
x
=
，则
1
b
x
=
+ ，
8
c
x
=
+ ，
9
d
x
=
+
，代入计算即
可；选B 时，如图4 中，结论：(
)
(
)
5
b
c
a
d
+
-
+
= - ．设a
x
=
，则
2
b
x
=
+
，
8
c
x
=
+ ，
15
d
x
=
+
，代入计算
即可．
【详解】（1）解：
10
22
8
24
32
32
0
+
-
+
=
-
=
．
将图2 中3 3
´
的方框移动到图1 中的其他位置，
通过计算可以发现
b
c
a
d
+
-
+
的值均为0，
故答案为：0，0；
（2）解：设a
x
=
，则
2
b
x
=
+
，
14
c
x
=
+
，
16
d
x
=
+
．
(
)
(
)
(
2
14)
(
16)
2
16
2
16
b
c
a
d
x
x
x
x
x
x
+
-
+
=
+
+
+
-
+
+
=
+
-
-
．
(
)
(
)
b
c
a
d
\
+
-
+
的值均为0．
故答案为：
16
x +
，
16
x
x
+
+
，0；
（3）略
▌题型08 幻方问题
【典例8】（25-26 七年级上·湖北荆门·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．把图1 的洛书
用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都
相等．如图3 是一个没有填完整的三阶幻方，那么正中间的方格中的数字为______；由三阶幻方可以衍生出
许多有特定规律的新幻方，在如图4 所示的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形
四个顶点上的数字之和相等，若
4
m
n
-
=
，a
b
c
d
- + -
= ______．
【答案】
1
0
【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意；设图3 三阶幻方第一排第一个数字为t，
中间的数字为e，则有
0
1
2
t
t
e
+ -
+ = + -
+
，然后问题可求解，设图4 的幻方中，每个小三角形的三个顶
点上的数字之和与中间正方形四个顶点上的数字之和都为S，则有：
,
,
,
a
S
m
x b
S
x
n c
S
y
n d
S
m
y
=
-
-
=
-
-
=
-
-
=
-
-
，进而问题可求解．
【详解】解：设图3 三阶幻方第一排第一个数字为t，中间的数字为e，则有
0
1
2
t
t
e
+ -
+ = + -
+
，
∴
1
e = ；
设图4 的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和与中间正方形四个顶点上的数字之和都为S，则有：
,
,
,
a
S
m
x b
S
x
n c
S
y
n d
S
m
y
=
-
-
=
-
-
=
-
-
=
-
-
，
∴
0
a
b
c
d
S
m
x
S
x
n
S
y
n
S
m
y
n
m
m
n
-
+
-
=
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
=
-
+
-
=
；
故答案为1；0．
【变式1】（23-24 七年级上·福建福州·期中）幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化，在如图所
示的图形中，每个字母分别代表不同的代数式，每个三角形的三个顶点上的代数式之和都与中间正方形四个
顶点上的代数式之和相等，若
2
1
A
n
=
- ，
4
1
C
n
=
+ ，
2
F
n
=
，则H = ____________．
【答案】4
2
n +
【分析】先表示
2
2
E
A
D
C
D
n
=
+
-
=
-
-
，
2
1
2
1
G
A
B
F
n
B
n
B
=
+
-
=
- +
-
=
- ，再利用H
A
B
D
G
E
=
+
+
-
-
可得答案．
【详解】解：∵
2
1
A
n
=
- ，
4
1
C
n
=
+ ，
2
F
n
=
，
∴A
B
D
C
B
E
F
D
G
+
+
=
+
+
=
+
+
，
2
1
4
1
2
2
E
A
D
C
n
D
n
D
n
\
=
+
-
=
- +
-
- =
-
-
，
2
1
2
1
G
A
B
F
n
B
n
B
=
+
-
=
- +
-
=
- ，
A
B
D
H
G
E
+
+
=
+
+
Q
，
H
A
B
D
G
E
\
=
+
+
-
-
2
1
1
2
2
n
B
D
B
D
n
=
- +
+
-
-
-
-
-
4
2
n
=
+
故答案为：4
2
n +
．
【点睛】本题考查幻方，整式的加减运算，解题的关键是根据幻方的特点，列方程得到
2
2
E
D
n
=
-
-
，
1
G
B
=
- ．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，
有只神龟从洛水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，
它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵列的数字之和均相等，这个和叫作幻
和．如图1 是由1，2，3，4，5，6，7，8，9 所组成的一个三阶幻方，其幻和为
1
2
3
9
3
15
+
+ +¼+
¸ =
．
(1)①如图2，设该三阶幻方中间的数字是x(其中x 为正整数)，请用含x 的代数式将图中的幻方填充完整；
②如图3 也是由1，2，3，4，5，6，7，8，9 所组成的一个三阶幻方，求x 的值．
(2)如图4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将3
- ，2，1
- ，0，1，2
- ，3，4
- 分别填入图中的圆圈内，使横、
竖以及内、外两圈上的4 个数字之和都相等．现已完成了部分填数．
①求“幻圆”的幻和；
②求a
b
+
的值．
【答案】(1)
①填充幻方如下：
②
4
x =
(2)①2
- ；②2
- 或3
【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
（1）①求出三阶幻方的幻和为
3
3
3
x
x
x
x
+ +
+
-
=
，再根据三阶幻方的特点填充即可；②根据幻方的特点
可得
8
5
7
x +
=
+
，即可求出x 的值；
（2）①求出所有数字的代数和，再除以2 即可得出答案；②结合“幻圆”的幻和求出
1
a = ，
1
d = - ，
1
b
c
+
= - ，再分类讨论b 的值，即可求出a
b
+
的值．
【详解】（1）解：①三阶幻方的幻和为
3
3
3
x
x
x
x
+ +
+
-
=
，
3
3
4
1
x
x
x
x
-
+
-
-
=
+ ，
3
2
2
x
x
x
x
-
-
-
=
+
，
3
1
3
4
x
x
x
x
-
-
-
-
=
+
②由题意得，
8
5
7
x +
=
+
，
解得
4
x =
．
（2）解：①
3
2 1 0 1 2
3
4
2
2
- +
- +
+ -
+ -
¸
= - ，
所以“幻圆”的幻和为2
- ；
②由题意得，3
2
4
2
a
-
+
-
= - ，2
0
2
a
d
- +
+
+
= - ，
3
4
2
b
c
+
+ -
= - ，
解得
1
a = ，
1
d = - ，
1
b
c
+
= - ，
当
2
c =
时，
3
b = - ；
当
3
c = - 时，
2
b =
；
所以
3
b = - 或
2
b =
，
则
1 3
2
a
b
+
= -
= - 或
1
2
3
a
b
+
= +
=
，
所以a
b
+
的值为2
- 或3．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏宿迁·期中）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源
于何处，如今有各种传说．图1 即洛书，数出图1 中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1 中的顺序把它们填
入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）．
【观察发现】
图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每行、
每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的3 倍．
【猜想验证】
猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3 倍．
说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9 个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n 表示，其中“中心数”
为e，将“幻方和”用字母s 表示．
由题意可知：
3
a
b
c
d
e
f
g
m
n
s
+
+
+
+ +
+
+
+
=
；
又因为
4
a
e
n
d
e
f
g
e
c
b
e
m
s
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+ +
=
；
即
3
4
a
b
c
d
e
f
g
m
n
e
s
+
+
+
+ +
+
+
+
+
=
；
所以3
3
4
s
e
s
+
=
，所以3e
s
=
，即“幻方和”是“中心数”的3 倍．
【解决问题】
利用上述结论解决问题：
(1)如图3，已知
3
b =
，
4
g =
，幻方的“中心数”
1
e = - ，则n 的值为 ；
(2)如图4，A、B、C、D、E、F 是含有字母t 的整式，E
t
= ，
3
2
C
t
=
+
．
①若幻方的“中心数”
2
2
D
t
=
+
，求整式F 和整式A（用含t 的式子表示）；
②若幻方的“中心数” D
m
=
，B
at
m
=
+
，且a、m 均为常数，求a、m 的值．
【答案】(1) 2
-
(2)①
2
4
F
t
=
+
；
2
A
t
=
；②
4
3
m =
，
7
a = -
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，解一元一次方程：
（1）根据题意可得
3
m
e
b
e
=
-
- ，据此可求出m，再根据
3
n
e
g
m
=
-
-
，求出n即可；
（2）①根据题意
3
F
D
C
E
=
-
-
，
3
A
D
D
F
=
-
-
，根据整式的加减计算法则求解即可；
②根据题意得出
3
A
D
B
C
=
-
-
，
3
F
D
C
E
=
-
-
，据此表示出F ，A ，再根据
3
A
D
F
D
+
+
=
列出方程，进
而得到a、m、t 的等式，再根据a、m均为常数求出a、m的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：
3
2
2
3
5
m
e
b
e
e
b
=
- -
=
-
= - -
= - ，
3
3
4
5
2
n
e
g
m
=
-
-
= - -
- -
= - ，
故答案为：2
- ；
（2）解：①由题意得：
3
3 2
2
3
2
F
D
C
E
t
t
t
=
-
-
=
+
-
+
-
6
6
3
2
2
4
t
t
t
t
=
+
-
-
- =
+
；
3
3 2
2
2
2
2
4
A
D
D
F
t
t
t
=
-
-
=
+
-
+
-
+
6
6
2
2
2
4
2
t
t
t
t
=
+
-
-
-
-
=
；
②由题意得：
3
3
3
2
A
D
B
C
m
at
m
t
=
-
-
=
-
+
-
+
3
3
2
2
2
3
m
at
m
t
m
a
t
=
-
-
-
-
=
-
-
+
，
3
3
3
2
F
D
C
E
m
t
t
=
-
-
=
-
+
-
3
3
2
4
3
2
m
t
t
t
m
=
-
-
- = -
+
-
，
3
A
D
F
D
+
+
=
Q
，
2
A
F
D
\
+
=
，即
2
2
3
4
3
2
2
m
a
t
t
m
m
-
-
+
-
+
-
=
，
化简得：
3
4
7
0
m
a
t
-
-
+
=
，
∵a、m均为常数，
3
4
0
m
\
-
=
且
7
0
a +
=
，
解得：
4
3
m =
，
7
a = - ．
▌题型09 方案选择问题
【典例9】（25-26 七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题
某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180 元，护腿板每个
定价40 元，商店提供两种优惠方案：
方案一：买1 个足球送1 个护腿板；
方案二：足球和护腿板都按定价的90%付款，该球队需购买足球35 个，护腿板x 个
35
x >
．
(1)方案一的总付款金额为___________元（用含x 的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________
元（用含x 的代数式表示并化简）；
(2)当
100
x =
时，哪种方案更省钱？计算说明理由；
(3)当
100
x =
时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用．
【答案】(1)
40
4900
x +
,
36
5670
x +
(2)方案一更省钱
(3)存在，混合采购方案为：用方案一购买35 个足球（获赠35 个护腿板），剩余65 个护腿板用方案二购买，
总费用为8640 元
【分析】本题考查列代数式，代数式求值，整式加减的应用，解题关键是正确理解题意列出代数式．
（1）分别根据方案一和方案二列式计算即可；
（2）将
100
x =
代入（1）中代数式求解并判断，即可解题；
（3）先用方案一购买35 个足球（获赠35 个护腿板），剩余65 个护腿板用方案二购买，计算出结果，再与
每一个方案的付款比较大小，选择最合算方案即可．
【详解】（1）解：由题知，方案一的总付款金额为：
35 180
40
35
6300
40
1400
40
4900
x
x
x
´
+
-
=
+
-
=
+
元，
方案二的总付款金额为
35 180
40
90%
36
5670
x
x
´
+
´
=
+
元；
故答案为：
40
4900
x +
，
36
5670
x +
；
（2）解：当
100
x =
时，
方案一的总付款金额为：40 100
4900
8900
´
+
=
（元），
方案二的总付款金额为：36 100
5670
9270
´
+
=
（元），
8900
9270
<
Q
，
\方案一更省钱；
（3）解：存在，用方案一购买35 个足球（获赠35 个护腿板），剩余65 个护腿板用方案二购买，
混合总费用为：
35 180
40
100
35
90%
8640
´
+
´
-
´
=
（元），
8640
8900
9270
<
<
Q
，
\存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35 个足球（获赠35 个护腿板），剩余65 个护腿板用
方案二购买，总费用为8640 元．
【变式1】（25-26 七年级上·河南信阳·期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置
绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50 盆．已知绿萝每盆原价18 元，多肉每盆10 元．花店提供两种采购方
案：
方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8 折；
方案二：绿萝每盆优惠3 元，多肉价格不变．
问题：
(1)若购买绿萝35 盆、多肉15 盆，两种方案的费用分别是多少？
(2)设购买绿萝x 盆（x 为整数，且10
50
x
£
£
），用含x 的整式分别表示两种方案的总费用；
(3)求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省
钱？
【答案】(1)方案一：750 元；方案二：675元
(2)方案一：
10
400
x +
元；方案二：
500
5x
+
元
(3)当购买绿萝20 盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20 盆时，方案二更省钱
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用：
（1）根据两种采购方案的方式解答即可；
（2）根据两种采购方案的方式解答即可；
（3）根据两种方案费用相同，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：方案一：费用为35 18 15 10 0.8
750
´
+
´
´
=
（元），
方案二：费用为
35
18
3
15 10
675
´
-
+
´
=
（元）．
（2）解：方案一：费用为
18
50
10 0.8
10
400
x
x
x
+
-
´
´
=
+
，
方案二：费用为
18
3
10 50
500
5
x
x
x
-
+
-
=
+
．
（3）解：根据题意得：10
400
500
5
x
x
+
=
+
，
解得
20
x =
．
当
20
x >
时，
10
400
500
5
5
100
0
x
x
x
+
-
+
=
-
>
，
所以当购买绿萝20 盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20 盆时，方案二更省钱．
【变式2】（25-26 七年级上·辽宁锦州·期中）某网店准备在“11.11”网购节期间实施一系列优惠活动回馈新老
客户，该店针对一款原价25 元/支的钢笔推出了两种优惠方案：方案一：每支按8 折销售；方案二：购买
20 支以内无优惠，当购买数量超过20 支但不超过50 支时，每多购买1 支，每支钢笔的单价就会减少0.2 元，
当购买数量超过50 支时，每支单价为18 元．
(1)购买数量为30 支时，方案二钢笔的单价为______元；
(2)王老师准备在该网店一次性购买x 支钢笔赠与学生留念（已知
20
x >
）．
①根据题意填表：（请用含x 的代数式表示）
方案
购买数量（支）
购买单价（元）
总金额（元）
方案一
x
____________
____________
20
50
x
<
£
____________
____________
方案二
50
x >
18
18x
②若王老师有一张满1100 减200 的优惠券，可与上述两种优惠方案同享，则当
60
x =
时，选择方案几购买
更划算？为什么？
【答案】(1)23
(2)
①填表如下：
方案
购买数量（支）
购买单价（元）
总金额（元）
方案一
x
20
20x
20
50
x
<
£
0.2
29
x
-
+
2
0.2
29
x
x
-
+
方案二
50
x >
18
18x
②选择方案一购买更划算，理由如下：
当
60
x =
时，
方案一：20 60
1200
´
=
（元），
1200
200
1000
-
=
（元）；
方案二：60 18
1080
´
=
（元），
∵1080
1000
>
，
∴选择方案一购买更划算．
【分析】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，用含x 的代数式表示相关的量．
（1）利用单价
25
0.2
=
-
´ 超过20 支的数量，即可求出结论；
（2）①根据方案一每支按8 折销售，可得单价，从而可得方案一购买的总金额，利用单价
25
0.2
=
-
´ 超过
20 支的数量，即可用含x 的代数式表示出方案二购买单价，再利用总金额=购买单价´购买数量，即可用含
x 的代数式表示出总金额；
②结合①和满1100 减200，分别求出方案一，方案二所需总金额，再比较即可得到答案．
【详解】（1）解：
25
0.2
30
20
-
´
-
25
0.2 10
=
-
´
25
2
=
-
23
=
（元），
答：购买数量为30 支时，方案二湖笔的单价为23 元；
故答案为：23；
（2）解：①方案一：购买单价为25
0.8
20
´
=
（元），购买x 支总金额为20x 元；
方案二：当20
50
x
<
£
时，购买单价为
25
0.2
20
0.2
29
x
x
-
-
= -
+
元，总金额是
2
0.2
29
0.2
29
x
x
x
x
-
+
= -
+
元，
②略
【变式3】（25-26 七年级上·上海·期末）某商场开展春节促销活动，方案如下：
方案一：单笔消费满100元减30元，满200 元减70 元，满300元减120元（每满100元对应减免金额递增，满
100元减30元，满200 元即减70 元，以此类推，减免金额上不封顶）；
方案二：单笔消费一律打8折（折后价四舍五入取整数）．
(1)若顾客甲单笔消费280 元，选择哪种方案更划算？说明理由；
(2)若顾客乙单笔消费x 元（x 为整数，且100
200
x
£
<
），选择方案一和方案二的减免金额相等，求x 的值；
(3)顾客丙单笔消费x 元（x 为整数，且200
300
x
£
<
），试比较选择哪种方案更划算．
【答案】(1)
选择方案一更划算
方案一：280
70
210
-
=
（元）
方案二：280 0.8
224
´
=
（元）
∵ 210
224
<
，
∴ 选择方案一更划算；
(2)
150
x =
(3)
设消费x 元（200
300
x
£
<
），方案一实付
70
x -
元，优惠70 元，方案二实付0.8x 元，优惠0.2x 元，
70
0.8
0.2
70
0
x
x
x
-
-
=
-
<
，
∴ 当200
300
x
£
<
时，选择方案一更划算．
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、列代数式，读懂题目信息，理解两种优惠方法是解题的关
键．
（1）计算两种方案的付款金额并比较．
（2）根据在100
200
x
£
<
时，按照选择方案一和方案二的减免金额相等列方程求解即可；
（3）分别表示出两种方案的费用，利用求差法比较两种方案更划算．
【详解】（1）略
（2）解：∵ 100
200
x
£
<
，方案一减免30 元，方案二减免
1 0.8
0.2
x
x
-
=
元
由题意得：0.2
30
x =
，
解得
150
x =
；
（3）略
▌题型10 分段计费问题
【典例10】（25-26 七年级上·山西长治·期末）为了节约用水，某地采用阶梯性用水收费的方式，其月阶梯
用水收费标准如下表：
阶梯
月用水量
收费标准
第一阶梯
不超过
3
6m
3.42 元/
3
m
第二阶梯
超过
3
6m ，不超过
3
9m
超过
3
6m 的部分4.52
元/
3
m
第三阶梯
超过
3
9m
超过
3
9m 的部分7.82
元/
3
m
(1)若某居民月用水
3
m
a
，用含a 的代数式表示下列问题：
①若该居民的用水量在第一阶梯，则该居民应缴费_____元；
②若该居民的用水量在第二阶梯，则该居民应缴费______元．
(2)若某居民1 月份用水
3
15m ，则该居民1 月份应该缴水费多少元？
【答案】(1)①3.42a ；②4.52
6.6
a -
(2)81
【分析】本题考查列代数式，（1）①利用月用水量乘以3.42 即可求解；②利用月用水量为
3
6m 的费用加
上月用水量超过
3
6m ，不超过
3
9m 的费用即可求解；
（2）利用月用水量为
3
6m 的费用加上月用水量超过
3
6m ，不超过
3
9m 的费用，再加上月用水量超过
3
9m 的
费用即可求解．
【详解】（1）①解：由题意得，该居民应缴费为3.42a 元，
故答案为：3.42a ；
②由题意得，该居民应缴费为
6 3.42
6
4.52
4.52
6.6
a
a
´
+
-
´
=
-
元，
故答案为：4.52
6.6
a -
；
（2）解：由题意得，6 3.42
3 4.52
6 7.82 = 81
´
+ ´
+ ´
元，
答：该居民1 月份应该缴水费81 元．
【变式1】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收
费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为
0.5 200
0.6
300
200
0.8
350
300
200
´
+
´
-
+
´
-
=
元）
月用电量（单位：度）单价（元/度）
不超过200 度的部分
0.5
超过200 度不超过
300度的部分
0.6
超过300度的部分
0.8
已知小明家上半年的用电情况如下表（以200 度为标准，超出200 度记为正、低于200 度记为负）：
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
40
-
15
+
25
-
30
-
21
+
28
+
根据上述数据，解答下列问题：
(1)小明家用电量最多的是 月份，这个月电费为 元；
(2)若小明家某月用电量为x 度
200
300
x
<
£
，请用含x 的代数式表示小明家该月的电费为 元；
(3)若小明家7 月份的用电量为320度，请求出小明家7 月份的电费．
【答案】(1)六，116.8
(2)
0.6
20
x﹣
(3)小明家7 月份的电费为176元
【分析】（1）根据正负数的意义可得出小明家用电量最多的月份，进而求出电费；
（2）根据阶梯价格列出代数式即可求解；
（3）根据“阶梯价格”，即可求解．
【详解】（1）解：观察表格数据可知，小明家用电量最多的是六月份，
这个月电费是200 0.5
28 0.6
100 16.8
116.8
´
+
´
=
+
=
（元）；
故答案为：六，116.8；
（2）解：当200
300
x
<
£
时，小明家该月的电费为：
200 0.5
200
0.6
0.6
20
x
x
´
+
-
´
=
-
元；
故答案为：
0.6
20
x -
；
（3）解：∵小明家七月份的用电量超过300度，
200 0.5
300
200
0.6
320
300
0.8
176
\
´
+
-
´
+
-
´
=
（元），
答：小明家7 月份的电费为176元．
【变式2】（25-26 七年级上·福建厦门·期中）为保护地球，节约资源，某市天然气采用阶梯收费，关注社情
的小明同学从市天然气公司看到这样一张价目表：
用气类别
年用气量
3
m
单价（元/
3
m ）
备注
第一档
年用气量
400
£
3.8
第二档
400 < 年用气量
1000
£
4.2
第三档
年用气量
1000
>
5
人口超过4 人的家
庭，每增加1 人，
第一、二档年用气
量上限分别增加
3
100m 、
3
200m
小明一开始看不明白，公司员工举了一个例子：
若某三口之家年用气
3
500m ，则收费
400 3.8
500
400
4.2
1940
´
+
-
´
=
元，小明恍然大悟．聪明的同学请跟
小明一起解决下列问题吧！
(1)填空：若某三口之家1 年用燃气
3
300m ，则应收费_______元；若另一个三口之家该年用燃气
3
420m ，则
应收费_______元；
(2)若某三口之家该年用燃气
3
m
400
1000
x
x
<
£
），则应收费多少元？（结果用含x 的最简代数式表示）
(3)若某三口之家和五口之家该年用气量均为
3
m (1000
1200
a
a
<
£
），则这两户人家燃气费用相差多少元？
（结果用含a 的最简代数式表示）
【答案】(1)1140，1604
(2)
4.2
160
x -
元
(3)
0.8
760
a -
元
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，整式加减的应用，熟练掌握相关运算法则，注意价
目表备注内容是解题关键．
（1）根据价目表计算即可；
（2）根据价目表列代数式即可；
（3）根据价目表，分别求出三口之家和五口之家的费用，再作差即可．
【详解】（1）解：若某三口之家1 年用燃气
3
300m ，则应收费300
3.8
1140
´
=
元，
若另一三口之家该年用燃气
3
420m ，则应收费
400 3.8
420
400
4.2
1604
´
+
-
´
=
元；
故答案为：1140，1604；
（2）解：若某三口之家该年用燃气
3
m
x
（其中400
1000
x
<
£
），
则应收费
400 3.8
400
4.2
4.2
160
x
x
´
+
-
´
=
-
元，
即应收费
4.2
160
x -
元；
（3）解：若某三口之家该年用气量均为
3
m
a
（其中1000
1200
a
<
£
），用气量达到第三档，
则应收费
400 3.8
1000
400
4.2
1000
5
5
960
a
a
´
+
-
´
+
-
´
=
-
元；
若某五口之家该年用气量均为
3
m
a
（其中1000
1200
a
<
£
），则第一档上限400 100
500
+
=
，第二档上限
1000
200
1200
+
=
，故用气量达到第二档，未达到第三档，
则应收费
500 3.8
500
4.2
4.2
200
a
a
´
+
-
´
=
-
，
5
960
4.2
200
0.8
760
a
a
a
-
-
-
=
-
，
即这两户人家燃气费用相差
0.8
760
a -
元．
【变式3】（24-25 七年级上·北京·期中）出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项
目
起步价
里程费
时长费
远途费
单价
13 元
（包含里程3 公里，包含时长
2 元/公
里
0.4 元/分
钟
0.6 元/公里
（超过20 公里后，加收
9 分钟）
远途费）
注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成．
例如，乘坐出租车，行车里程为25 公里，行车时间为30 分钟，则需付车费为：
13
2
25
3
0.4
30
9
0.6
25
20
64.4
+ ´
-
+
´
-
+
´
-
=
（元）．
(1)若小淇乘坐出租车，行车里程为10 公里，行车时间为20 分钟，则需付车费_____元．
(2)若小尧乘坐出租车，行车里程为a 公里，行车时间为
9
b b >
分钟．
①若3
20
a
£
£
，则小尧应付车费_____元；（用含a、b 的代数式表示，并化简）
②若
20
a >
，则小尧应付车费_____元．（用含a、b 的代数式表示，并化简）
(3)小淇与小尧各自乘坐出租车去市区内某景点（汽车市区内限速40 公里/小时），行车里程分别为19 公里
与22 公里，受路况情况影响，小淇反而比小尧乘车时间多用18 分钟，利用代数式的知识说明谁付的车费多．
【答案】(1)31.4
(2)①2
0.4
3.4
a
b
+
+
；②2.6
0.4
8.6
a
b
+
-
(3)见解析
【分析】（1）根据出租车计价规则列式计算即可；
（2）①若3
20
a
£
£
，应付车费=起步价+ 超过3 公里的里程费+超过9 分钟的时长费；
②若
20
a >
，应付车费=起步价+ 超过3 公里的里程费+ 超过9 分钟的时长费+ 超过20 公里后的远途费；
（3）根据题意分别计算两人的车费，再作比较．
【详解】（1）
13
2
10
3
0.4
20
9
31.4
+ ´
-
+
´
-
=
（元）；
（2）①当3
20
a
£
£
时，
13
2
3
0.4
9
2
0.4
3.4
a
b
a
b
+
-
+
-
=
+
+
（元）；
②当
20
a >
时，
6
1
.
3
2
3
0.4
9
6
2 6
0.4
8.
0.
20
a
a
b
a
b
+ ´
-
+
´
-
+
´
+
-
-
=
（元）；
（3）设小尧乘车时长为m分钟，则小淇乘车时长为(
18)
+
m
分钟．
小淇应付车费：2 19
0.4(
18)
3.4
0.4
48.6
m
m
´
+
+
+
=
+
（元），
小尧应付车费：2.6 22
0.4
8.6
0.4
48.6
m
m
´
+
-
=
+
（元），
因此，两人付费一样．
【点睛】本题考查有理数的混合运算的实际应用，列代数式、整式的加减运算的应用等知识，正确理解题意
是解题关键．
