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培优专题03 一元一次方程的构造
（题型突破·举一反三）
题型01 根据一元一次方程的定义构造
题型02 根据相反数、倒数的性质构造
题型03 根据同类项的概念构造
题型04 根据一元一次方程解的定义构造
题型05 根据一元一次方程解的情况构造
题型06 巧设辅助未知数构造
题型07 根据图形之间的等量关系构造
题型08 根据新定义构造
题型09 看错系数（错解复原）构造方程
题型10 根据表格信息构造一元一次方程
题型11 根据天平/实物等量关系构造方程
题型12 根据数轴上点的运动构造一元一次方程
▌题型01 根据一元一次方程的定义构造
【典例1】（24-25 七年级下·四川巴中·期中）如果
是一元一次方程，那么
______，则
______．
【变式1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）已知关于x 的方程
是一元一次方
程，则多项式：
的值是_________．
【变式2】（25-26 七年级下·河南洛阳·期中）已知
（k 是整数）是关于x 的一元一次方程，
当
______时，方程的解为正整数．
【变式3】（25-26 七年级上·陕西宝鸡·期末）若两个关于
的一元一次方程
与
的解相同，则
的值是_____．
▌题型02 根据相反数、倒数的性质构造
【典例2】（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）当
________时，代数式
与
互为相反数．
【变式1】（2026·河南安阳·二模）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代
数式互为相反数，则
的值为（ ）
A．14
B．8
C．
D．
【变式2】（25-26 七年级下·河南周口·期中）已知
与
互为相反数，则k 的值为（ ）
A．
B．11
C．
D．
【变式3】（25-26 七年级上·河北秦皇岛·阶段检测）若
的值与
互为倒数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（20-21 七年级上·重庆·期末）如果方程
与关于
的方程
的解互为倒数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
▌题型03 根据同类项的概念构造
【典例3】（25-26 七年级下·河南周口·期中）已知单项式
与
是同类项，则关于x 的方程
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）若合并同类项
与
的结果为0，则下列关于
、
、
的说法正确的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【变式2】（24-25 七年级上·河南驻马店·期末）多项式
合并同类项后不含
项，则
_____．
【变式3】（24-25 七年级上·全国·期末）若单项式
的次数是4，则m 的值是（ ）
A．
B．
C．3
D．2
【变式4】（24-25 七年级下·陕西榆林·开学考试）已知关于
，的多项式
与多项式
的次数相同，那么
的值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
▌题型04 根据一元一次方程解的定义构造
【典例4】（24-25 七年级上·河北石家庄·期末）已知
是方程
的解，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 七年级上·全国·期末）若
是关于x 的方程
的解，则代数式
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 六年级下·全国·单元测试）若不论
取什么数，关于
的方程
（
，
是常数）的解总是
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（25-26 六年级下·山东泰安·期末）关于
的方程
的一个解是
，则
____________．
▌题型05 根据一元一次方程解的情况构造
【典例5】（24-25 六年级上·上海·阶段检测）已知关于
的方程
无解，则
的值为______．
【变式1】（22-23 七年级下·吉林长春·阶段检测）关于
的方程
与
的解相同，则
的
值为_____．
【变式2】（25-26 七年级下·福建漳州·期中）已知方程
的解比关于x 的方程
的解小1，
则a 的值为____．
【变式3】（25-26 七年级下·河南驻马店·期中）若关于
的方程
的解为
，则关于
的方程
的解为________．
▌题型06 巧设辅助未知数构造
【典例6】（24-25 七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是
多少．设______，列方程为______．
【变式1】（24-25 六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，把圆分成若干等份，然后把它剪开，照图中的
样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了
，则圆的面积是_____．（
取
）
【变式2】（20-21 六年级下·上海徐汇·期末）长方形的长与宽之比为
，它的周长为56 厘米，它的面
积是______．
【变式3】（24-25 七年级上·广东清远·期中）观察图和所给表格回答．当图形的周长为
时，梯形的个
数为_____
梯形个数
1
2
3
4
5
．．．，
图形周长
5
8
．．．
▌题型07 根据图形之间的等量关系构造
【典例7】（24-25 七年级上·全国·随堂练习）几何直观 有一玻璃密封器皿如图①所示，测得其底面直径
为
，高
，内装蓝色溶液若干．如图②所示放置，测得液面高
：如图③所示放置，测得液面高
16 厘米．则该玻璃密封器皿的总容量为（ ）
A．
立方厘米
B．
立方厘米
C．
立方厘米
D．
立方厘米
【变式1】（24-25 七年级下·河南南阳·期中）如图，老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子
的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高
度是( )
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 七年级上·全国·期末）如图1，两个正方形分别由①、②两种规格小长方形纸片拼成，
现将它们放入一个长为
，宽为
的大长方形中，如图2，其中阴影部分恰好为正方形，则阴影部分的面积
为__________（用含
的代数式表示）．
【变式3】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）如图1 是甲、乙两个圆柱形水槽轴截面图，甲槽内水位高
度为
，乙槽内无水，现将甲槽内的水注入乙槽．如图2，若乙槽内放入高度为
的圆柱形铁块，当
甲槽内水位高度下降到
时，乙槽内水位刚好到达铁块高度；当甲槽内的水全部注入乙槽时，乙槽的水位
高度是
．若乙槽的底面积是
，则铁块的底面积为_____
．
▌题型08 根据新定义构造
【典例8】（26-27 七年级上·广东深圳·开学考试）对任意的数a，定义：
，已知
，则
_________．
【变式1】（25-26 七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中定义：若点
满足
，则称
点
为“等值点”．已知点
是“等值点”，则
________．
【变式2】（25-26 七年级上·辽宁丹东·期末）定义一种新运算：规定
，若
恒成立，则
______．
【变式3】（25-26 七年级上·河南新乡·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为10，我们就称这
两个方程为“十全十美方程”，例如：方程
与
是“十全十美方程”．
(1)若关于
的方程
与
是“十全十美方程”，求
的值；
(2)若关于
的方程
与
是“十全十美方程”，求关于
的方程
的解．
▌题型09 看错系数（错解复原）构造方程
【典例9】（25-26 六年级下·山东青岛·期中）小明解方程
时，去分母时方程右边的1 忘
记乘6，得到错误解
，则方程正确的解
_____．
【变式1】（24-25 七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“
”时，将“
”中的“ ”
抄漏了，得出
，则原方程正确的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）小琳在解关于x 的方程
时，把
“
”抄成了“
”，求得方程的解为
，求a 的值和原方程的解．
▌题型10 根据表格信息构造一元一次方程
【典例10】（25-26 七年级上·山东日照·期末）整式
的值随
取值的不同而不同，表格是当
取不
同值时整式
对应的值，则关于
的方程
的解为（ ）
－3
－2
－1
0
1
2
8
6
4
2
0
－2
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 七年级上·广西梧州·期末）将正整数从1 开始依次填入下表，带阴影的“H”型框在此
表格中移动，若“H”型框框住的七个数字之和为3017，那么这七个数中最小的数是___________．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，
背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九
宫格，将9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3 个数之和相等．右侧的
表格是一个未完成的幻方，则a 的值为_____．
【变式3】（24-25 七年级下·河南新乡·期中）为提高青少年体质，某地组织当地各校篮球队进行了联赛，
比赛的部分积分情况如表：
球队编号
比赛场次
胜场数
负场数
积分
10
6
4
16
10
3
7
13
10
0
10
10
…
…
…
…
…
根据表格数据，可知胜一场积___________分．某球队参加了10 场比赛，积分为15 分，则该球队的胜场数
为___________．
▌题型11 根据天平/实物等量关系构造方程
【典例11】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）已知
，
，
(
)．
【变式1】（2025 七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，
前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是___________
【变式2】（24-25 七年级下·河南南阳·期中）若
，则
的值是__________．
【变式3】（25-26 七年级上·上海·阶段检测）若
，则
______．
【变式4】（24-25 七年级上·新疆巴州·期末）如图，用两种方法在两个天平的左右两边分别放入“■”
“●”“▲”三种物体，两个天平都保持平衡若“■”与“●”的质量分别为x，y，则x，y 之间的数量关
系是________．
▌题型12 根据数轴上点的运动构造一元一次方程
【典例12】（24-25 七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有
三点，点
在数轴上对应的数为
，
点
对应的数为
，且
满足
，点
在数轴上对应的数为
，且
是方程
的
解．
(1)数轴上点
表示的数分别为_______、_______、_______；
(2)如图1，若动点
从
点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点
从点
出发，以
每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点
同时出发，经过多少秒时，
之间的距离恰好
等于
？
(3)如图2，若动点
同时从
出发，向右匀速运动，同时动点
从点
出发，向左匀速运动．已知点
的速度是个单位长度/秒，点
的速度是点
速度的
倍，点
的速度是点
速度的倍少个单位长
度．经过
秒时，
三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值．
【变式1】（24-25 七年级上·山西晋中·期末）综合与实践
已知数轴上有A、B、C 三点，点A 在数轴上对应的数为a，点B 对应的数为b，且a、b 满足
，点C 在数轴上对应的数为x，且x 是方程
的解
(1)数轴上点A、B、C 表示的数分别为________、________、________；
(2)如图1，若动点P 从A 点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q 从点B 出发，
以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，当t 为何值时，P、Q 之间的距离
恰好等于8 个单位长度？
(3)如图2，若动点P、Q 两点同时从A、B 出发，向右匀速运动，同时动点R 从点C 出发，向左匀速运动，
已知点P 的速度是点R 的速度的6 倍，点Q 的速度是点R 的速度2 倍少5 个单位长度/秒．经过5 秒时，P、
Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R 的运动速度．
【变式2】（24-25 七年级上·河北秦皇岛·期末）一点从数轴上表示
的点A 开始移动，第一次先向左移
动1 个单位，再向右移动2 个单位到达
点；第二次从
点先向左移动3 个单位，再向右移动4 个单位到达
点C；第三次从点C 先向左移动5 个单位，再向右移动6 个单位…
(1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点
与点
间的距离为 ．
(2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A 与点C 间的距离为 ．
(3)若第n 次移动后到达N 点则这个点在数轴上表示的数为 ；点
与点
间的距离为 ．
(4)若第
次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m 的值．
【变式3】（23-24 七年级上·山东济南·期末）已知数轴上有A、B、C 三点，点A 在数轴上对应的数为a，
点B 对应的数为b，且a、b 满足
，点C 在数轴上对应的数为x，且x 是方程
的根．
(1)数轴上点A、B、C 表示的数分别为 、 、 ；
(2)如图1，若动点P 从A 点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q 从点B 出发，
以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，经过多少秒时，P、Q 之间的距离
恰好等于4？
(3)如图2，若动点P、Q 两点同时从A、B 出发，向右匀速运动，同时动点R 从点C 出发，向左匀速运动，
已知点P 的速度是点R 的速度的6 倍，点Q 的速度是点R 的速度2 倍少5 个单位长度/秒．经过5 秒时，P、
Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R 的运动速度．
