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26.二次函数 数学活动
（教学设计）
1.教学内容
本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》数学活动，核心内容包含两大探究活动：一是数字
乘积最值探究，通过探究两个和为定值的数的乘积变化规律，建立二次函数模型求解最值；二是抛物线实
物建模探究，借助动手作图、实物观察，感知抛物线的形成特征，利用二次函数图象性质解决简单实物抛
物线问题.本节课是二次函数图象、性质及实际应用的综合拓展活动课.
2. 内容解析
本节课安排在二次函数整章新知学习结束后，是对二次函数概念、图象性质、最值应用、建模思想的总结
性、实践性拓展.此前学生已掌握二次函数解析式求解、图象绘制、增减性与最值计算、实际问题建模等核
心知识，本节课将抽象的函数知识与数字规律、几何作图、生活实物场景结合，实现知识的融会贯通.本节
课两大数学活动层层递进，从代数数字规律到几何图形建模，从纯数学理论探究到生活化实物应用，有效
突破学生“只会刷题、不会建模、不会实践”的思维短板.同时，强化数形结合、建模思想、特殊到一般的
数学核心思想，为后续高中函数综合应用、圆锥曲线学习奠定基础，是落实新课标“数学实践、学以致用”
理念的关键课时.本节课的特点：活动性、探究性、综合性强，无固定公式套路，要求学生自主观察、猜想、
建模、验证，重点培养学生的探究能力和数学应用意识.
基于以上分析，本节课的教学重点为探究和为定值的两个数的乘积最值规律，建立二次函数模型求解最值
问题；感知抛物线的几何特征，掌握简单实物抛物线问题的二次函数建模方法.
1. 教学目标
（1）能根据“和定积变”的数字规律，自主建立二次函数模型，熟练利用二次函数最值公式求解乘积最大
值.能通过动手作图感知抛物线的形成过程，掌握简单实物抛物线问题的建模方法，会利用二次函数图象性
质分析、解决基础几何与实际问题.系统梳理二次函数图象、增减性、最值的核心知识点，能灵活综合运用
知识解决探究性问题.
（2）经历观察猜想—列式建模—验证推理—归纳总结的完整探究过程，提升自主探究、合作交流、数学建
模的能力.通过代数探究与几何作图相结合的方式，深化数形结合思想的应用，掌握特殊到一般、转化的数
学思维方法.
（3）在自主探究和小组合作中体验数学规律的趣味性，增强学习数学的兴趣和自信心，感受数学与数字规
律、生活实物的紧密联系，体会数学的实用性和严谨性，培养主动探究、勇于实践的科学素养.
2.目标解析
目标1基于学生已掌握二次函数基础性质与最值计算，本节课侧重知识迁移与应用，不再局限于固定解析式
计算，而是让学生自主从实际情境、数字规律中提炼变量关系、建立函数模型，实现从“被动解题”到“主
动建模”的提升.
目标2通过两大探究活动，针对性培养学生的数据分析能力、动手实践能力、逻辑推理能力，突破学生综合
应用薄弱、建模思维欠缺的问题，契合九年级学生数学思维从具象向抽象进阶的发展需求.
目标3紧扣新课标数学核心素养，重点落实数学建模、直观想象、逻辑推理三大核心素养，让学生在实践探
究中理解数学本质，而非机械记忆知识，提升数学综合素养..
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九年级学生已系统学习二次函数的定义、三种解析式形式、图象开口、对称轴、顶点、增减性及最值计算，
掌握了二次函数解决简单实际问题的方法，具备开展本节课探究活动的知识储备.学生具备基础的观察、计
算、推理能力，但自主建模能力薄弱，面对无固定套路的探究性问题，难以快速提炼变量关系；同时数形
结合的综合应用不够熟练，难以将代数计算结果与几何图象、实际意义对应.学生习惯被动接受知识、机械
刷题，自主猜想、探究、归纳的意识不足，小组合作探究的效率有待提升，对“特殊到一般”的数学思想
运用不够灵活.相较于枯燥的习题课，学生对动手作图、规律探究类活动课兴趣更高，课堂参与积极性较强，
利于开展互动式、探究式教学.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是从数字规律、实物图形中自主提炼变量关系，准确建立二次函数
模型；结合数形结合思想，解释二次函数最值、图象特征对应的实际意义.
创设情景，引入新课
情境提问：同学们，我们已经完整学完二次函数整章知识，知道二次函数可以解决生活中的最值、轨迹问
题.今天我们通过两个趣味数学活动，探究隐藏在数字和图形中的二次函数规律.
抛出问题：若两个数的和为10，这两个数的乘积是固定值吗？什么时候乘积最大？引发学生思考、口算猜
想.
导入课题：本节课我们通过自主探究、动手实践，用二次函数知识破解数字规律和抛物线图形奥秘——二
次函数数学活动.
（设计意图：通过简单的数字问题创设情境，衔接学生已有知识，激发学生探究好奇心，快速聚焦课堂主
题；同时为本节课“和定积最值”核心探究内容做铺垫，自然引入新课.）
探究点1 和定数乘积的最值探究
活动1.和为定数，哪个数的积最大？
自主计算，初步猜想
给定两个正整数和为10，学生分组计算：1×9、2×8、3×7、4×6、5×5、6×4……记录乘积结果，观察
变化规律，猜想规律.
规律：和为定值的两个数，两数越接近，乘积越大，两数相等时乘积最大.
建模推理，验证猜想
设其中一个数为 x ，则另一个数为 10-x ，设两数乘积为 y ，列出函数关系式：
y=x(10-x)=-x²+10x （ x>0 ， 10-x>0 ，即 0<10 ）
引导学生分析函数：二次项系数<0 ，抛物线开口向下，函数有最大值.
根据顶点公式，当
5
2
b
x
a
= −
=
时，
2
max
4
25
4
ac
b
y
a
−
=
=
，验证猜想成立.
规律归纳，推广结论：若两个正数的和为定值 m ，设一数为 x ，另一数为 m-x ，乘积 y=-x²+mx ，当
2
2
b
m
x
a
= −
=
，即两数相等时，乘积取得最大值.
（设计意图：遵循“特殊计算—猜想规律—一般建模—推理验证”的探究流程，让学生完整经历数学探究
过程，掌握从具体数字到一般规律的推理方法，强化二次函数建模与最值计算能力，渗透特殊到一般、建
模的数学思想.）
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探究点2 抛物线图形建模探究
活动2 刹车距离与刹车时车速的关系
动手作图，感知图形：指导学生按照教材步骤作图：取一条直尺，固定一端点，将细绳一端固定于定点，
细绳长度大于直尺固定点到动点的距离，移动细绳端点，绘制出平滑曲线，观察曲线形状，感知抛物线轨
迹特征.
解决问题：由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”，
为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表:
刹车时车速/(km/h)
40
48
56
64
72
80
刹车距离/m
17
22.4
27.9
35.3
43.4
52.8
(1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲
线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象.
(2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式.
(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车
的刹车距离约为70m，已知这条高速公路限速100km/h.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断:在事故
发生时，汽车是否超速行驶?
解决问题活动过程：①把6组坐标 (40,17)(48,22.4)(56,27.9)(64,35.3)(72,43.4)(80,52.8) 在平面直角
坐标系描点，用平滑曲线连接.
观察猜测图象特征：
图象从左向右上升，上升速度越来越快，曲线开口向上，符合二次函数（抛物线）特征，排除一次、反比
例函数.
结论：该变量关系近似二次函数.
②求二次函数解析式
设二次函数一般式：y=ax²+bx+c，选取三组差距较大、代表性强的数据：(40,17)、(64,35.3)、(80,52.8)，
代入列三元一次方程组：
1600a
40b
c
17
4096a
64b
c
35.3
6400a
80b
c
52.8
+
+
=
+
+
=
+
+
=
分步消元计算：
2式−1式：2496a+24b=18.3 ①
3式−2式：2304a+16b=17.5 ②
联立①②化简求解，近似得：
a≈0.0083,b≈-0.099,c≈7.7
解析式：y=0.0083x²-0.099x+7.7
验证：代入x=56，y≈0.0083×56²-0.099×56+7.7≈28.2，与实测27.9误差极小，模型成立.
③判断车辆是否超速（刹车距离70m，限速100km/h）
已知y=70，代入解析式解方程，求出车速x，和100比较.
解方程：0.0083x²-0.099x+7.7=70
整理：0.0083x²-0.099x-62.3=0
两边同乘10000得：83x²-990x-623000=0
用求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
−
−
=
，舍去负根（车速不能为负），计算得：x≈93.8km/h
∵ 93.8<100
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结论：该车没有超速.
归纳总结：解决问题思路：
1. 建模思想：散点拟合，根据图象形状选择二次函数模型；
2. 待定系数法：三点代入求二次函数近似解析式；
3. 函数与方程转化：已知函数值解方程求自变量，结合实际舍去负根；
4. 实际应用：利用二次函数模型解决交通安全测速问题.
易错提醒：
1. 不能随便选2个点求解析式，三点才能确定二次函数；
2. 车速是正数，一元二次方程负根必须舍去；
3. 本题是实测数据拟合，解析式为近似式，计算结果存在微小误差属正常.
（设计意图：通过动手作图让学生直观感知抛物线形成过程，突破抽象认知；搭配贴合教材活动的典型例
题，巩固二次函数解析式求解核心知识，实现实践操作与理论计算结合，落实数形结合思想，突破实物建
模的教学难点.）
典型例题
例1.用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，求长方形面积的最大值.
【分析】长方形面积=长×宽，长+宽=18（定值），构建二次函数，开口向下，顶点处面积最大.
【详解】设长方形长为xcm，则宽为(18-x)cm，面积为ycm²，依题意得
y=x(18-x)=-x²+18x
a=-1<0，函数有最大值。
顶点横坐标：
9
2
b
x
a
= −
=
宽：18-9=9
最大面积：y=9²=81
答：长和宽都为9cm（正方形）时，面积最大为81平方厘米.
例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如
图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，
B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：
s / m
0 9
12
15 18
21
…
h / m 0
4.2 4.8 5
4.8
4.2 …
(1)根据表中数据预测足球落地时，s =______m；
(2)求h关于s的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功，若一次
防守中，守门员位于足球正下方时，
24m
s =
，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函
数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
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（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入(
)
12,4.8 可求出参数，由此可解答；
（3）把
24
s =
代入二次函数解析式求出h，再与最大防守高度比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知，
9
s =
时和
21
s =
时，h相等，
12
s =
时，
18
s =
时，h相等，
抛物线关于
15
s =
对称，
当
0
s =
时，
0
h =
，
30
=
s
时，
0
h =
；
（2）由（1）知，抛物线关于
15
s =
对称，设
2
(s 15)
5
h
a
=
−
+
，
把(
)
12,4.8 代入上述解析式，
2
(12 15)
5
4.8
−
+
=
a
，解得
1
45
a = −
，
2
2
1
1
2
(
15)
5
.
45
45
3
h
s
s
s
= −
−
+
= −
+
（3）当
24m
s =
，
∴
2
2
1
1
(
15)
5
9
5
1.8 5
3.2
2.6
45
45
h
s
= −
−
+
= −
+
= −
+
=
，
∴守门员不能成功防守．
(设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验)
1.两数之和为20，其中一个数取值范围3 ≤x≤8，求两数乘积的最大值.
【详解】设一个数为x，两数积为y，则函数y=-x²+20x，对称轴x=10，开口向下，在对称轴左侧y随x增大而
增大，给定区间在对称轴左边，最大值在x=8处.
解答x=8，另一个数12
乘积y=8×12=96
答：乘积最大值为96.
2．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 米；
10
AB =
米，
2.4
BC =
米，
(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式．
(2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才
不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？
【详解】（1）解：设抛物线解析式为
2
y
ax
bx
=
+
，
由题意知，隧道的最大高度为4.9 米；
10
AB =
米，
2.4
BC =
米，
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由题意可知，抛物线的顶点坐标为(5,2.5) ，且过(10,0) 点，
则有
25
5
2.5
100
10
0
a
b
a
b
+
=
+
=
，
0.1
a
= −
，
1
b = ，
抛物线的解析式为
2
0.1(
5)
2.5
y
x
= −
−
+
，
（2）由题意得，
2
0.1(
5)
2.5
y
x
= −
−
+
当
4
2.4
1.6
y =
−
=
时，
2
0.1(
5)
2.5
1.6
x
−
−
+
=
，
1
2
x
=
，
2
8
x =
．
当
2
x = 或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时
2
m =
，
当
3
m =
时，此时刚好违反交通规则，
汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，
2< <3
m
m
的取值范围是2< <3
m
．
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．如图，一小球M 从斜坡OA上的点O处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示
的平面直角坐标系，斜坡OA所在直线解析式为
1
2
y
x
=
，若小球到达最高点P 的坐标为
7 49
,
4 16
，解答下列
问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)在斜坡OA上的B 点有一个障碍物，B 点的横坐标为
1
2 ，障碍物的高度为2，小球M 能否飞过这个障碍物？
通过计算说明理由；
(3)该高度为2的障碍物放在斜坡OA上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围．
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【详解】（1）解
7 49
,
4 16
P
，
设
2
7
49
4
16
y
a x
=
−
+
，
将(
)
0,0 代入得
1
a = −，
2
7
49
4
16
y
x
= −
−
+
．
（2）将
1
2
B
x =
代入
1
2
y
x
=
，
得，
1
4
B
y =
，
1
9
2
4
4
+
=
，
将
1
2
x =
代入
2
7
49
4
16
y
x
= −
−
+
，
得
3
2
y =
，
9
3
4
2
，
小球M 不能飞过这个障碍物；
（3）
2
7
49
1
2
4
16
2
x
x
−
−
+
−
=
，
2
7
49
49
1
2
2
16
16
2
x
x
x
−
−
+
+
−
=
，
2
3
2
0
x
x
−
+
−
=
，
解得：
1
1
x = ，
2
2
x =
．
1
2
x
，
若使小球能够通过，障碍物放置的水平范围是：1
2
x
．
（设计意图：强化二次函数的应用）
1．(2026.四川成都)已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的自变量x与函数y的几组对应值如表：
x … −2 −1 0 1 3
…
y … 3
4
3 0
12
−
…
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下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的对称轴是直线
1
x
−
=
C．2
0
a
c
+
=
D．
2
4
0
b
ac
−
【详解】解：将点(
) (
) (
)
1,4 , 1,0 , 0,3
−
代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 得：
4
0
3
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
=
，
解得
1
2
3
a
b
c
= −
= −
=
，
∴二次函数的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
−
+ ，
∵
1
0
a = −
，
∴函数图象的开口向下，则选项A正确；
将二次函数
2
2
3
y
x
x
−
=
−
+ 化成顶点式为
(
)
2
1
4
y
x
= −
+
+
，
∴函数图象的对称轴是直线
1
x
−
=
，则选项B正确；
又∵
1,
2,
3
a
b
c
= −
= −
= ，
∴
(
)
2
2
1
3
1
a
c
+
=
−
+
= ，则选项C错误；
(
)
(
)
2
2
4
2
4
1
3
16
0
b
ac
−
= −
−−
=
，则选项D正确．
2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5 运行，其中x 是铅球离初
始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA 为1.6m，则铅球掷出的水
平距离OB 为 m．
【解答】解：由题意，OA＝1.6m，
得A（0，1.6），
将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5，
得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5，
解得：a = −
1
10，
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∴y = −
1
10 (x −3)2 + 2.5，
令y＝0，得−
1
10 (x −3)2 + 2.5 = 0，
解得：x1＝8，x2＝﹣2，
∴OB为8m，
故答案为：8．
3．（2025·临沂校考）音乐广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一座高为1米的喷泉喷出
的水流状为抛物线形，喷水最大高度为3米，此时喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为
1
2 米，如图所
示，求水柱落地处离池中心的距离．
【详解】解：设这段抛物线的解析式为
(
)
(
)
2
0
=
−
+
y
a x
h
k a
，
由题意可知，顶点坐标为
1 3
2
，
，
∴
1
2
h =
，
3
k = ，
∴抛物线解析式
2
1
3
2
y
a x
=
−
+
，
由题意得抛物线经过(
)
0 1，，
∴
2
1
1
0
3
2
a
=
−
+
，
解得
8
a = −，
∴抛物线解析式为
2
1
8
3
2
y
x
= −
−
+
当水柱落地时，
0
y =
，即
2
1
8
3
0
2
x
−
−
+
=
，
∴
2
1
3
2
8
x
−
=
，
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解得
1
1
6
2
4
x =
+
，
2
1
6
2
4
x =
−
（舍去），
∴水柱落地处离池中心
1
6
2
4
+
米．
4．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3 均呈抛物线型，
水平横梁AC＝16m，L1 的最高点B 到AC 的距离BO＝4m，L2，L3 关于BO 所在直线对称．MN，MP，
NQ 为框架，点M，N 在L1 上，点P，Q 分别在L2，L3 上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O 为原点，
以AC 所在直线为x 轴，以BO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线L1 的函数表达式；
（2）已知抛物线L3 的函数表达式为𝑦= −3
16 (𝑥−4)2，𝑁𝑄= 5
2 𝑚，求MN 的长．
【解答】解：（1）∵BO＝4m，
∴抛物线L1 的顶点B 坐标为（0，4），
设抛物线L1 的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，
∵AC＝16m，
结合二次函数的对称性得 A（﹣8，0），C（8，0），
将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4，
得0＝64a+4，
则𝑎= −1
16，
∴𝑦= −1
16 𝑥2 + 4；
（2）由（1）得抛物线L1 的函数表达式𝑦= −1
16 𝑥2 + 4，
∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.𝑁𝑄= 5
2 𝑚，且抛物线L3 的函数表达式为𝑦= −3
16 (𝑥−4)2，
∴𝑦= 𝑦𝑁−𝑦𝑄= −1
16 𝑥2 + 4 −[−3
16 (𝑥−4)2] = 5
2，
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整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24，
∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24，
∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，
解得x1＝x2＝6，
∴MN＝2×6＝12（m）.
（ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识技能：（1）和定积最值规律：两个正数和为定值，两数相等时乘积最大，可通过建立二次函数模型求
解最值；（2）实物抛物线建模：根据抛物线顶点、对称轴特征，合理设出二次函数解析式，代入已知点求
解，实现图形问题代数化；（3）熟练掌握二次函数开口、顶点、最值的综合应用.
思想方法：本节课核心用到三大数学思想：建模思想（将数字、图形问题转化为二次函数问题）、数形结
合思想（图象特征与解析式、函数值相互转化）、特殊到一般思想（从具体数字计算归纳通用规律）.
易错提醒：（1）建模时忽略自变量取值范围，未结合实际情境限定变量范围；（2）抛物线解析式设式错
误，未根据顶点、对称轴特征合理选择一般式、顶点式；（3）开口方向与最值正负混淆，开口向下函数有
最大值、开口向上有最小值；（4）代入坐标计算时符号、运算出错.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：总复习题26第10、12题.
探究性作业：总复习题26第13题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
26.二次函数 数学活动
一、和定积最值探究
二、抛物线图形建模
三、核心思想
四、易错提醒
副板书
例题
学生练习板演
