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第十一章 三角形单元复习提升（四大易错与拓
展）
目录
...............................................................................................................................................1
易错点1 判断钝角三角形某边上的高线是否正确.........................................................................................1
易错点2 三角形中折叠时图形未定产生多解漏解易错.................................................................................3
易错点3 多边形截角后的内角和问题..............................................................................................................8
易错点4 求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角...............................................................................10
................................................................................................................................................15
易错点1 判断钝角三角形某边上的高线是否正确
例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出 边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
【详解】解： 中 边上的高即为过点B作 的垂线段，该垂线段即为 边上的高，四个选项中
只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段
叫三角形的高．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段 是
的高的图形是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A．线段 是 的高，选项不符合题意；
B．线段 是 的高，选项不符合题意；
C．线段 是 的高，选项不符合题意；
D．线段 是 的高，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线
段叫做三角形的高．
2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在 中， 是钝角，下列图中作 边上的高线，
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】解：在 中， 是钝角， 边上的高线就是过点A作 边的垂线得到的线段，如图，
故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三
角形的高．掌握定义是解题的关键．
3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， ， ， ，点 ， ， 是垂足，下列
说法错误的是（ ）
A． 中， 是 边上的高 B． 中， 是 边上的高
C． 中， 是 边上的高 D． 中， 是 边上的高
【答案】B
【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．
【详解】解：A、 中， 是 边上的高，故此选项正确，不符合题意；
B、 中， 不是 边上的高，故此选项错误，符合题意；
C、 中， 是 边上的高故此选项正确，不符合题意；
D、 中， 是 边上的高，故此选项正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶
点，②垂直于这个顶点的对边．
易错点2 三角形中折叠时图形未定产生多解漏解易错
例题：在 中， ， ，点D是 边上一动点，将 沿直线 翻折，使点A
落在点E处，连接 交 于点F．当 是直角三角形时， 度数是 度．
【答案】 或【分析】分 和 ，两种情况进行求解即可．
【详解】解：当 时，如图，则：
∵折叠，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图，则： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
综上： 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握折痕是角平分线，是解题的关键．
【变式训练】1．如图，在三角形纸片 中， ，点 是边 上的动点，将三角形纸片沿 对折，
使点 落在点 处，当 时， 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
【详解】解：由折叠的性质得： ；
∵ ，
∴ ；
①当 在 下方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当 在 上方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；综上， 的度数为 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．
2．如图，在三角形 中， ，点D为 边上一个动点，连接 ，把三角形 沿着
折叠，当 时，则 ．
【答案】 或
【分析】根据题意分 在三角形 外部和 在三角形 内部两种情况讨论，分别根据折叠的性质
和角的和差求解即可．
【详解】解：当 在三角形 外部，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵三角形 沿着 折叠，
∴∴
当 在三角形 内部，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵三角形 沿着 折叠，
∴ ，
∵ ．
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了折叠的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．在“妙折生平 折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片 ，
， ，点 是 边上的固定点 ，请在 上找一点 ，将纸片沿 折叠
为折痕），点 落在点 处，使 与三角形 的一边平行，则 为 度．
【答案】35或75或125
【分析】分三种情况：①当 时，②当 时，根据折叠性质、平行线的性质得答案．
【详解】解：①当 时，由折叠可知， ， ，
，
，
，
，
．
②当 时， ，
，
，
，
③当 时， ，
，
，
，
综上所述， 或 或 ．
故答案为：35或75或125．
【点睛】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握其性质是解决此题的关键．易错点3 多边形截角后的内角和问题
例题：一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是 ，则原多边形的边数是 ．
【答案】17，18或19
【分析】根据多边形的内角和公式可得： ，求出新多边形的边数，然后再根据截去一
个角的情况进行讨论，计算即可．
【详解】解：设新多边形的边数为 ，
则 ，
解得： ，
若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19，
若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18，
则多边形的边数是17，18或19，
故答案为：17，18或19．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式 （ 且 是整数），注意要分情况进行讨论，
避免漏解．
【变式训练】
1．一个多边形剪去一个角后，内角和为 ，则原多边形是 边形．
【答案】 或 或
【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多 ，少 三种情
况进行讨论．
【详解】解：设新多边形的边数是 ，则 ，
解得 ，
截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多 或少 ，
原多边形的边数是 或 或 ．
故答案是： 或 或 ．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多 ，
少 ，有这么三种情况．
2．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 ．
【答案】16或17或18
【分析】根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．【详解】解：设新多边形的边数为 ，
则 ，
解得 ，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为16，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为17，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为18，
所以多边形的边数可以为16或17或18．
故答案为：16或17或18．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．解题的关键是掌握多边形的内角和公式，注意要分情况进
行讨论，避免漏解．
3．（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为 ；
（2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ．
【答案】 36°/36度 6或7
【分析】（1）根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可．
（2）求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：（1）一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为360÷10＝36°．
故答案为：36°；
（2）设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）×180＝720，
解得：n＝6．
∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，
∴原多边形的边数为6或7．
故答案为：6或7．
【点睛】此题考查了正多边形外角和多边形的内角和；解题的关键是熟练掌握多边形的内角和与多边形的
边数之间的关系，熟知正多边形外角与边数的关系式．
易错点4 求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角
例题：如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的角平分线， 是
的角平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线，若 ，则．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形外角的性质可得
，化简可得 ，进一步找出其中的规律，即可求出 的度数．
【详解】 和 分别是 的内角平分线和外角平分线，
， ，
又 ， ，
，
，
同理可得： ，
，
则 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出 ， ，与 的规律是解题的关键．
【变式训练】
1． 为 的一个外角， 、 的角平分线交于点 ．
(1)若 ， ，则 ______；
(2)若 ，则 ______；
(3)若 ，则 ______；
(4)若 ，则 ______；
(5)你能找出 与 之间的数量关系吗？并证明．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5) ，证明见解析
【分析】（1）由角平分线定义得到 ， ，再由三角形外角的性
质即可得到答案；
（2）由角平分线定义得到 ， ，再由三角形外角的性质即可得到答案；
（3）由角平分线定义得到 ， ,由三角形外角的性质得到
，则 ，再由三角形外角的性质得到 ；
（4）由角平分线定义得到 ， ,由三角形外角的性质得到
，则 ，再由三角形外角的性质得到 ，即可得到；
（5）由角平分线定义得到 ， ,由三角形外角的性质得到
，则 ，再由三角形外角的性质得到 ，即可得到
．
【详解】（1）解：∵ 、 的角平分线交于点 ． ， ，
∴ ， ，
∵ 为 的一个外角，
∴ ，
故答案为：
（2）∵ 、 的角平分线交于点 ．
∴ ， ，
∵ 为 的一个外角， ，
∴ ；
故答案为：
（3）∵ 、 的角平分线交于点 ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的一个外角，
∴ ；
故答案为：
（4）∵ 、 的角平分线交于点 ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的一个外角，∴ ，
∵ ，
∴ ,
故答案为：
（5） ，
证明如下：∵ 、 的角平分线交于点 ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的一个外角，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关
键．
2．问题情境：
如图1， 中， 平分 ， 平分 ．
(1)探索发现：
若 ，则 的度数为______；若 ，则 的度数为______．
(2)猜想证明：
试判断 与 的关系，并说明理由．
(3)结论应用：
如图2，在四边形 中， 平分 ，且与四边形 的外角 的平分线 交于点D．
若 ， ，则 的度数为______．
【答案】(1) ，(2) ，理由见解析.
(3)
【分析】（1）利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可求解；
（2）利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可证明；
（3）延长 交于点P，在 中，求得 ，利用（2）的结论即可解决问题.
【详解】（1）解： 平分 ， 平分 ，
，
，
若 ，则
若 ，则
故答案为： ；
（2）解：
理由如下：
平分 ， 平分 ，
，
（3）解：延长 交于点P，
， ，
， ，
在 中， ，由（1）结论得：
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键.
_
一、单选题
1．下列四个图中，正确画出 中 边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角
形的高的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：根据三角形高线的定义， 边上的高是过点A向 作垂线，垂足为D，
纵观各图形，选项A、B、D都不符合题意，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高的定义是解题关键．
2．如图，在 中， 边上的高作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 中 边上的高线是过C点作 的垂线，据此判断即可．
【详解】解： 中 边上的高线是过C点作 的垂线，四个选项中只有D选项正确，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相
对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．
二、填空题
3．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数可能是 ．
【答案】 、 、
【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可
得解．
【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和为：（3−2）•180°＝180°，
若边数不变，则内角和为：（4−2）•180°＝360°，
若边数增加1，则内角和为：（5−2）•180°＝540°，
综上分析可知，四边形剪去一个角，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°．
故答案为：180°，360°，540°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是要注意剪去一个角有三种情况．
4．一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是 ．
【答案】13或14或15
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角
后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得：
（n﹣2）•180°=2160°
解得：n=14．
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是13或14或15．
故答案为13或14或15．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1
三种情况．
5．如图，直角三角形 中， ，点 是 边上的一点，连接 ，将 沿
折叠，使点 落在点 处，当 是直角三角形时， 的度数为 ．【答案】 或 / 或
【分析】分两种情况：当 时，根据直角三角形的性质可得 ，当 时，即
在 外时，由折叠可得： ， ， ， 平分 ，即
．
【详解】解：分两种情况：如图，
①当 时，
由折叠得 ， ，
∴ ，
∴A、E、D三点在同一条直线上，点 在 上时，
②当 时，即 在 外时，如图，
由折叠可得：
，
,
，
，由折叠的性质可知： 平分 ，
，
不可能为直角．
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角
形的内角和等基本知识点．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF
折叠，得到 ，当 的边 与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是 ．
【答案】30°或75°或120°
【分析】分三种情况讨论，利用翻折变换和平行线的性质可求∠AEF的度数．
【详解】解：如图1，
若 时，
∴ ，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ，
∵将△AEF沿EF折叠，得到 ，
∴ ，
∴∠BFE＝180°﹣∠AFE，
∴∠AFE﹣60°＝180°﹣∠AFE，
∴∠AFE＝120°，
∴∠AEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°；如图2，设 与AB交于点H，
若 时，
∴∠BCA＝∠FHA＝90°，
∴∠AFH＝180°﹣∠AHF﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵将△AEF沿着EF折叠，
∴ ；
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝120°；
如图3，
若 时，
∴ ，
∴ ，
∵将△AEF沿着EF折叠，
∴ ；
综上所述：30°或75°或120°．
【点睛】本题是翻折变换，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
7．如图， ， 分别是 的内角平分线和外角平分线， ， 分别是 的内角平分线和外
角平分线， ， 分别是 的内角平分线和外角平分线……以此类推，若 ，则
．【答案】
【分析】根据角平分线的性质可得 ， ，再根据外角的性质和三
角形内角可得 ， ，然后等量代换即可．
【详解】解：由题意可得： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ， ……
∵ ，
∴ ， ，…… ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了几何规律，涉及到角平分线的性质、三角形外角的性质等，灵活运用所学知识是关键．
三、解答题
8．（1）如图1，在 中， 的平分线和 的外角平分线交于点 ，若
，求 的度数．（2）如图2，在四边形 中， 的平分线和 的外角平分线交于点
，求 的度数．
（3）如图3，若将（2）中“ ”改为“ ”，其余条件不变，直接写出
与 之间的数量关系．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出 ， ，则由三角形外角的性质可得
；
（2）如图所示，延长 交 延长线于F，求出 ，则由三角形外角的性质可得
，由角平分线的定义可得 ， ，由三角形外角
的性质可得 ；
（3）同（2）求解即可．
【详解】解：（1）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．（2）如图所示，延长 交 延长线于F，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图所示，延长 交 延长线于F，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相
邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
9．【结论探究】如图1，在 中， 的平分线 与外角 的平分线 相交于点P，则有
结论： ．
请完成上述结论的证明过程：
∵ 平分 ，
∴ ___________．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ___________ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ___________ ．请直接应用上面的结论解决下面问题：
【结论应用】如图2，在 中， ， 的平分线 与外角 的平分线 相交于点
E，外角 的平分线 与 的延长线相交于点F，求 的度数．
【拓展应用】
如图3，已知四边形 与四边形 ， 平分 ， 平分外角 ．
①若 ，则 ___________ ；
②若 ，则 ___________（用含β的代数式表示）．
【答案】结论探究： ，A， ；结论应用： ；拓展应用：①211；②
【分析】结论探究：由角平分线的定义得到 ， ，由三角形外角的性质得
到 ， ，由此即可得到结论；
结论应用：①先利用角平分线的定义得到 ，再利用结论探究中的结论求出 ，
由此即可利用三角形内角和定理求出答案；
拓展应用：①如图3，延长 交于M，延长 交于N，先利用三角形内角和定理和三角形外角
的性质得到 ，则 ，再由结论可得 ，同理可得
；
②仿照拓展应用①的方法求解即可．
【详解】解：结论探究：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ，A， ；
结论应用：如图2，∵ 平分 ， 平分外角 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
拓展应用：
①如图3，延长 交于M，延长 交于N，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分外角
∴ ，
∴同理可得 ，
故答案为：211；
②由①知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，正确理解题意并熟练
掌握相关知识是解题的关键．
