专题01 平面向量及其应用
题型1 平面向量的线性运算
1 平面向量的运算符合平行四边形法则和三角形法则；
2 平面向量的线性运算，用基底表示任一向量，方法有：首位相接法、构造平行四边形等，同时注意方
法的综合运用；
3 在运算过程中，灵活运用一些小结论，比如三角形的中线；
4 掌握平面向量运算的坐标表示，利用建系的方法也可以。
【注意】在平行向量的线性运算的应用中，用到基本定理，要注意基底的选择。
1（2024·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD交于点F，则⃗AF =
（ ）
A．3
4⃗AB+ 1
4⃗AD B．1
3⃗AB+ 2
3⃗AD
C．2
3⃗AB+ 1
3⃗AD
D．1
4⃗AB+ 3
4⃗AD
2（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D的
三等分点，G为EF的中点，记⃗AG = λ⃗AB+ μ⃗AD，则λ+ μ=（ ）
A．17
12
B．13
12
C．7
12
D．5
12
3（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在△ABC中，⃗BM =2⃗MC , N为线段AM上一点，且⃗
AN =(1- λ)⃗AB+ λ
3⃗AC，则实数λ的值为（ ）
A．3
4
B．2
5
C．5
6
D．6
7
题型2 平面向量的共线定理
1 两个向量共线
共线定理 非零向量⃗a与向量⃗b共线⇔有且只有一个实数λ，使得⃗b= λ⃗a.
当λ>0时 , λ⃗a的方向与⃗a的方向相同；
当λ<0 时，λ⃗a的方向与⃗a方向相反；
当λ =0 时，λ⃗a=⃗0.
2 设⃗a=( x1 , y1) , ⃗b=( x2 , y2)，则⃗a∥⃗b ⇔ x1 y2= x2 y1.
1（2023·北京海淀·二模）已知⃗a、⃗b是平面内两个非零向量，那么“⃗a∥⃗b”是“存在λ≠0，使得
|⃗a+ λ⃗b|=|⃗a|+| λ⃗b|
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2（23-24 高一下·广东江门·阶段练习）设⃗a,⃗b是非零向量，则⃗a
|⃗a|=⃗b
|⃗b|
是⃗a=2⃗b成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3（2025·山东·模拟预测）已知平面向量⃗a=(-2,3)，⃗b=(1,2)，⃗AB =⃗a-3⃗b
，⃗BC = λ⃗a+⃗b
，且A，B，C 三
点共线，则实数λ =（ ）
A．- 2
3
B．- 1
3
C．1
4
D．2
4（2025·江苏南通·模拟预测）已知0<θ<π，向量⃗a=(sinθ ,2cos
2 θ
2)
，⃗b=(1,sinθ)，且⃗a∥⃗b
，则θ＝
．
题型3 平面向量的垂直问题
1 若⃗a⊥ ⃗b，则⃗a⋅ ⃗b=0；
2 若 ⃗a( x1 , y1)，⃗b( x2 , y2)，则⃗a⊥ ⃗b⇒ x1 x2+ y1 y2=0.
3 在平面几何中的垂直问题，可用平面向量处理。
1（2025·甘肃白银·三模）已知角α是锐角，若⃗a=(5sinα +2,1)，⃗b=(sinα ,-3)，⃗a⊥⃗b
，则tan2α =
（ ）
A．24
25
B．24
7
C．12
25
D．9
7
2（2025·浙江·二模）已知向量⃗a=(2,1)，⃗b=(2,-1)，则⃗m= λ⃗a+⃗b
，⃗n=⃗a+ μ⃗b
（λ，μ∈R），则下列表
述正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对(λ , μ)，使得⃗m//⃗nB．存在唯一的实数对(λ , μ)，使得⃗m⊥⃗n
C．存在唯一的实数对(λ , μ)，使得⃗m=⃗n
D．存在唯一的实数对(λ , μ)，使得|⃗m|=|⃗n|
3（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量⃗a=(2,1)，⃗b=(1,-2)，若(⃗a+ λ⃗b)⊥(μ⃗a+⃗b)，则（ ）
A．μ- λ =0
B．μ+ λ =0
C．λμ+5=0
D．λμ-5=0
4（24-25 高三上·辽宁鞍山·期末）已知向量⃗a=(m+2,1),⃗b=(1,-3)，若|2⃗a+⃗b|=|2⃗a-⃗b|，则m=
（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-3
5（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量⃗a,⃗b满足❑√2|a
→|=|b
→|，|a
→
+2b
→|=|2 a
→
- b
→|，则下列结论正确的
是（ ）
A．cos<a
→
,b
→
>= 3 ❑√2
16
B．(3 a
→
+8 b
→)⊥a
→
C．(3 a
→
+8 b
→)⊥b
→D．(8 a
→
+3 b
→)⊥a
→
6（2025·浙江·二模）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所示，y = f (x)
的图象与y轴交于点C，D (5,0)，B (2, A)，且⃗BC ⋅⃗CD =0，则f (4)=（ ）
A．4
B．2❑√5
C．❑√10
D．4 ❑√2
题型 4 求平面向量的投影
1 向量⃗b在向量⃗a上的投影：|⃗b|cosθ，它是一个实数，但不一定大于0.
2 向量⃗b在向量⃗a上的投影公式：⃗a⋅⃗b
|⃗b|
；
3 求投影或其坐标，多结合图形去思考。
【注意】注意投影和投影向量的区别，投影是个数，投影向量是个向量。
1（2025·陕西商洛·模拟预测）已知|⃗a+⃗b|=|⃗a-⃗b|，则⃗a+⃗b在⃗b上的投影向量为（ ）
A．⃗b
B．-⃗b
C．⃗a
D．-⃗a
2（2025·湖南·模拟预测）在平行四边形PQRS中，若⃗PQ
|⃗PQ|
+⃗PS
|⃗PS|
=
❑√3⃗PR
|⃗PR|
，则⃗PQ在⃗PS上的投影向量为
（ ）
A．1
2⃗PQ
B．⃗PS
C．
❑√3
2⃗PS
D．1
2⃗PS
3（2024 高三·全国·专题练习）已知向量⃗a=(3,m)，⃗b=(2,-3)，若⃗a⊥⃗b
，则⃗a在⃗a+⃗b
上的投影向量为
（ ）
A．(5,-1)
B．(3,2)
C．(
5
2 ,- 1
2)
D．(
3
2 ,1)
5（2025·辽宁大连·模拟预测）已知向量⃗a，⃗b
满足|⃗a|=1，⃗b=(1,2)，|⃗a-⃗b|= ❑√5
，则向量⃗a在向量⃗b
上
的投影向量坐标为（ ）
A．(
1
10 , 1
5)
B．(
1
5 , 2
5)
C．(- 1
10 ,- 1
5)
D．(- 1
5 ,- 2
5)
6（2025·海南·模拟预测）已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|= ❑√3,|⃗b|≤2，且|3⃗a-2⃗b|≤❑√11，则向量⃗a在向
量⃗b方向上的投影的最小值为 ．
题型 5 求平面向量的数量积
1 如果两个非零向量 ⃗a , ⃗b，它们的夹角为θ，我们把数量|⃗a||⃗b|cosθ叫做⃗a与⃗b的数量积(或内
积)，记作:⃗a⋅ ⃗b，即⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ.
2 设⃗a=( x1 , y1) , ⃗b=( x2 , y2)，则数量积⃗a⋅⃗b= x1 x2+ y1 y2
3 求平面向量的数量积，主要有定义法(利用⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ，往往是数量积的两个向量的模及其夹
角易求时使用)、基底法（定义法不好使时，而题中有两个向量的模和夹角已知或易求，它们又较容易
表示其他向量，此时利用基底法好使）、建系法（当题中有垂直的相关信息，比如等腰三角形、零下、
正方形等，建系把数量积问题用坐标表示易求）等等。
【注意】求数量积时，要注意的解题方法的选择。
1（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形ABCD的边长满足AB =2 AD = 4，以A为圆心的圆与BD相切于
P，则⃗AP⋅⃗AC ＝
（ ）
A．32
5
B．36
5
C．8
D．4 ❑√5
2（2025·湖北黄冈·模拟预测）在△ABC中，⃗BD =2⃗DC，|⃗AB+⃗AD|=|⃗AB -⃗AD|，|⃗AD|= ❑√2，则⃗
AC ⋅⃗AD =
（ ）
A．2
B．2❑√2
C．3
D．3 ❑√2
3（2025 高三·全国·专题练习）在菱形ABCD中，AB =2，∠DAB =60°，P为平面ABCD内的任意一点，
则⃗PA ⋅⃗PC -⃗PB⋅⃗PD =（ ）
A．2
B．0
C．-2
D．4
4（2025·浙江·三模）已知A，B，C 是函数f (x)=|2- log3 x|图象上的三点，A 在x 轴上，且BC // x轴，若
BC =24，则⃗AB⋅⃗AC
的值为（ ）
A．0
B．－1
C．－107
D．82
题型 6 平面向量的夹角问题
1 由数量积的定义可知cos<⃗a,⃗b>=⃗
a⋅⃗b
|⃗a| ⃗b|
；
2
设⃗
a=( x1 , y1) , ⃗b=( x2 , y2)，
则
夹
角
余
弦
值
cos<⃗a,⃗b>=⃗
a⋅⃗b
|⃗a| ⃗b|
=
x1 x2+ y1 y2
❑√x1
2+ y1
2∙
❑√x2
2+ y2
2.
3 求夹角要清楚求的是哪两个向量的夹角。
1（2023·四川内江·一模）设x∈R，向量⃗a=( x ,1)，⃗b=(1,-2)，且⃗a⊥⃗b，则cos⟨⃗a+⃗b,⃗b⟩=
（ ）
A．
❑√2
10
B．
❑√2
2
C．
❑√5
10
D．
❑√2
5
2（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=|⃗b|=3，且⃗a在⃗b上的投影向量为-
❑√3
2⃗b，则向量⃗
a与向量⃗b
的夹角为（ ）
A．π
3
B．2π
3
C．3π
4
D．5π
6
3（2025 高三·全国·专题练习）已知非零向量⃗a,⃗b满足(⃗a-⃗b)⊥(2⃗a-⃗b)，则sin⟨⃗a,⃗b⟩的最大值为
（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√2
2
C．1
3
D．1
2
4（2025·河南新乡·模拟预测）在△AOB中，记⃗OA =⃗a、⃗OB =⃗b，向量⃗a、⃗b满足|⃗a|=3，|⃗b|=2，
a·
→
( a
→
- b
→
)=8
，则此三角形AOB 的面积是（ ）
A．
❑√35
2
B．
❑√35
3
C．
❑√15
5
D．
❑√13
6
5（2025·河南·三模）在△ABC中，向量⃗AB =(x ,1)，⃗BC =(-3,2- x)，若∠ABC为锐角，则实数x 的取值
范围为（ ）
A．(
1
2 ,3)∪(3,+∞)
B．(-1,3)∪(3,+∞)
C．(
1
2 ,+∞)
D．(-∞, 1
2)
题型 7 平面向量的最值问题
1 平面向量的最值是多样的，最常见的是求数量积的最值，方法有
（1）定义法(利用⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ，往往是数量积的两个向量的模及其夹角易求时使用)，把数量积
掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值；
（2）基底法（定义法不好使时，而题中有两个向量的模和夹角已知或易求，它们又较容易表示其他向
量，此时利用基底法好使），把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值；
（3）建系法（当题中有垂直的相关信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把数量积问题用坐
标表示易求），把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值；
（4）极化恒等式
① 平行四边形模式：在平行四边形ABCD中，⃗AB∙⃗AD = 1
4 [| AC |
2-| DB|
2]，
即向量的数量积等于对应平行四边形的对角线的平方差的1
4 .
② 三角形模式：⃗AB∙⃗AD =| AO|
2- 1
4 |BD|
2=| AO|
2-|BO|
2，
2 利用平面向量的等和线，可以处理类似求⃗AO = λ⃗AB+ μ⃗AC中λ+ μ的最值问题；
3 其他的一些最值问题，主要思路也是几何法或代数法。几何法强调对图形的观察，能够辨识出几何模
型；代数法，主要是如何引入参数表示所求，再利用函数方法求解，引入哪个变量是难点。
【注意】采取代数法求解最值，要注意引入的变量的取值范围。
1（2025·河南·一模）如图梯形ABCD，AB∥CD且AB =5，AD =2 DC = 4，E在线段BC上，⃗
AC ⋅⃗BD =0
，则⃗AE⋅⃗DE
的最小值为
A．15
13
B．95
13
C．15
D．- 15
13
2（2025·安徽滁州·二模）已知A ,B ,C三点在单位圆上运动，且|AB|= ❑√3，则⃗BC ⋅⃗AC的取值范围为
（ ）
A．[- 1
2 , 3
2]
B．[- 3
2 , 1
2]
C．[
1
2 , 3
2]
D．[- 3
2 ,- 1
2]
3（2025·广东东莞·模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四
条边上的动点，当弦MN的长度最大时，则⃗PM ⋅⃗PN的最大值是（ ）．
A．- 1
4
B．0
C．1
4
D．1
2
4（2025·北京丰台·一模）在平行四边形ABCD中，E 为边BC上的动点，O 为△ABD外接圆的圆心，
2⃗DO =⃗DA +⃗DB
，且|⃗DO|=|⃗DA|=2，则⃗DO⃗· DE
的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
5（2025·甘肃·一模）已知梯形ABCD中，AB // CD , AB =2BC =2CD =2 AD = 4，点M为边CD上的
动点，若∠AMB =α，则cosα的范围是（ ）
A．[0, 1
7]
B．[- 1
7 ,1]
C．[
1
2 , 1
7]
D．[- 1
7 ,0]
6（2024·河北保定·二模）如图，圆O1和圆O2外切于点P，A，B分别为圆O1和圆O2上的动点，已知圆O1
和圆O2的半径都为1，且⃗PA ⋅⃗PB =-1，则|⃗PA +⃗PB|
2的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．2❑√2
D．2❑√3
7（2025 高三·全国·专题练习）已知非零向量⃗a,⃗b,⃗c满足(⃗a-2⃗c)⋅(⃗b-2⃗c)=0，且不等式
|⃗a+⃗b|+|⃗a-⃗b|≥λ|⃗c|
恒成立，则实数λ的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB =90
∘,∠ABC =30
∘，点P在以BC为直径的半
圆（△ABC外）内及边界上运动，若⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，记2 λ+ μ的最大值与最小值分别为m,n，则
m+n= .
9（2025·四川成都·模拟预测）如图，A，B 是单位圆（圆心为O）上两动点，C 是劣弧´AB（含端点）上的
动点．记⃗OC = λ⃗OA + μ⃗OB（λ，μ均为实数）．
(1)若O 到弦AB 的距离是1
2
，求λ+ μ的取值范围；
(2)若|3⃗OA -⃗OB|≤5
2
，向量2⃗OA +⃗OB和向量⃗OA +⃗OB的夹角为θ，求cos
2θ的最小值．
题型 8 平面向量在几何的应用
1 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、
长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算
的方法加以解决.
2 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问
题；
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg 点A 、B、C 、D不在同一直线上
(1)证明直线平行或共线：AB //CD⇔⃗AB //⃗CD
(2)证明直线垂直：AB⊥CD ⟺⃗AB⋅⃗CD =0
(3)求线段比值：AB
CD =|λ|且AB //CD⇔ ⃗AB = λ⃗CD
(4)证明线段相等： ⃗AB
2=⃗CD
2⇔AB =CD
1（2025 高三·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点A ,B ,C及平面内一点P满足⃗PA +⃗PB+⃗PC =⃗0，则P
为△ABC的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2（2025 高三·全国·专题练习）O为△ABC平面内一定点，该平面内一动点P满足
M ={P|⃗OP =⃗OA + λ(|⃗AB|sin B⋅⃗AB+|⃗AC |sinC ⋅⃗AC ), λ>0}，则△ABC的（ ）一定属
于集合M.
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
3（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C 在圆x
2+ y
2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(0,2)，
则|⃗PA +⃗PB+⃗PC |的最大值为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
4（2025 高三·全国·专题练习）已知在△ABC中，BC =6,G ,O分别为△ABC的重心和外心，且⃗
OG⋅⃗BC =6
，则△ABC的形状是（ ）．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．上述三种情况都有可能
5（2025·广东广州·二模）在平面四边形ABCD中，AC = AD = 4 ,∠CAD =60° ,∠ABC =90°，若△
ABD的面积是△BCD的面积的2 倍，则BD的长度为 .
题型 9 平面向量在物理的应用
1 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
2 力的合成与分解符合平行四边形法则.
1（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们
就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W =⃗F ⋅⃗S（其中W 是功，⃗F是力，⃗S是位移）一物体在力⃗
F1=(2,4)和⃗F2=(-5,3)的作用下，由点A (1,0)移动到点B (2,4)，在这个过程中这两个力的合力对物体所作
的功等于（ ）
A．25
B．5
C．-5
D．-25
2（2025·宁夏·一模）如图所示，质点P 从点A 出发，沿AB，BC，CD 运动至点D，已知
AB//CD , AB = 4 ,BC =2,CD =3，⃗AB⋅⃗BC =-2
，则质点P 位移的大小是（ ）
A．9
B．2❑√15
C．2❑√13
D．❑√46
3（多选）（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度d =500 m，一艘船从河岸边的A地出
发，向河对岸航行，已知船的速度⃗v1
的大小为|⃗v1|=10km /h，水流速度⃗v2
的大小为|⃗v2|=2km /h，设⃗v1
和⃗
v2
的夹角为θ(0<θ<π)，则下列说法正确的为（ ）
A．当船的航行时间最短时，θ =π
2 B．当船的航行距离最短时，cosθ = 1
5
C．当θ =π
6 时，船的航行时间为6 分钟 D．当θ = 2π
3 时，船的航行距离为
❑√31
5
km
4（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B 处，在同样的细绳OC的
下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上
填OA或OB或OC)．
题型 10 平面向量的新定义
处理新定义问题，理解新定义的内容是重点，多结合简单的特例感性了解，再试图寻找其中的共性，把
理解升华到理性分析，力求明白其中的本质。
1（2025·吉林·模拟预测）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，定义余弦距离e( A ,B)=1-cos⟨⃗OA ,⃗OB⟩（O为原
点）.若M (❑√1-t
2,t)，N (-1,1)，则e( M , N )的最小值为（ ）.
A．❑√2
B．1
C．1-
❑√2
2
D．0
2（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，向量⃗OA =⃗a=(x1, y1),⃗OB =⃗b=(x2, y2)，若⃗
a，⃗b不共线，记以OA，OB 为邻边的平行四边形的面积S(⃗a,⃗b)=|x1 y2- x2 y1|．已知⃗OM =⃗m,⃗ON =⃗n，⃗
OP =⃗p= λ⃗m+ μ⃗n，(λ , μ∈R , λ
2+ μ
2≠0)，则S(⃗m,⃗p)+ S(⃗n,⃗p)
S(⃗m,⃗n)
=（ ）
A．| λ+ μ|
B．| λμ|
C．| λ|+| μ|
D．| λμ|
| λ|+| μ|
3（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量⃗a和⃗b，定义：⃗a⊕⃗b=⃗
a⋅⃗b
|⃗a|
2+|⃗b|
2，⃗a⊙⃗b=⃗a⋅⃗b
|⃗b|
2 ．若
平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a|>|⃗b|>0，且⃗a⊕⃗b和⃗a⊙⃗b都在集合{
n
4 |n∈Z,0<n≤4}
中，则⃗a⊕⃗b+⃗a⊙⃗b=
（ ）
A．1
B．3
2
C．1 或7
4
D．1 或5
4
4（2025·四川·一模）如图，设Ox、Oy是平而内相交成60
∘角的两条数轴，⃗e1、⃗e2分别是与x轴、y轴正方
向同向的单位向量．对于平面内任意一点P，若向量⃗OP = x⃗e1+ y⃗e2
，则记P(x , y)，d (⃗OP)=|x|+|y|．已
知平面内两点M (x1, y1)、N (x2, y2)，其中d (⃗ON )=2，则点N的轨迹围成的图形面积为 ；
若d (⃗ON )=2d (⃗OM )=2，则d (⃗OM )
|⃗OM|
的最大值为 ．
5（2025·浙江宁波·三模）设n维向量⃗a=(x1, x2,⋯, xn)，⃗b=( y1, y2,⋯, yn)，定义运算：⃗
a⋅⃗b= x1 y1+ x2 y2+⋯+ xn yn
.
(1)当n=2时，若⃗c =( y2, y1)且x1< x2
，y1< y2
，试比较⃗a⋅⃗b与⃗a⋅⃗c的大小；
(2)已知n∈N
*，记M (n)={⃗a⋅⃗b|⃗a=(x1, x2,⋯, xn),⃗b=( y1, y2,⋯, yn)且x1, x2,⋯, xn
和y1, y2,⋯, yn
均为1,2,⋯,n的某一排列}.
（ⅰ）求M (3)，M (4)；
（ⅱ）若n≥4，求M (n).（提示：1
2+2
2+⋯+n
2= n(n+1)(2n+1)
6
.）
