3.4 平面向量的坐标运算（讲义）
目录
1
知识点01 平面向量的坐标表示................................................................2
2
知识点02 向量加减法与数乘的坐标表示................................................2
3
知识点03 向量数量积与模长的坐标运算................................................2
4
题型一、向量的坐标运算.........................................................................3
5
题型二、向量数量积的坐标运算.............................................................3
6
题型三、向量共线定理的坐标运算.........................................................3
1 知识点01 平面向量的坐标表示
(1)
定义：在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同
的两个单位向量⃗i,⃗j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平
面内的一个向量⃗a，有且只有一对实数x , y使⃗a= x⃗i+ y⃗j，我们把有序实
数对( x , y)叫做向量⃗a的坐标，记作⃗a=( x , y)．
(2)
向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的
①设A( x1, y1)，B( x2, y2)，⃗AB = B - A=x2- x1, y2- y1)，即一个向量的
坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标
2 知识点02 向量加减法与共线的坐标表示
(1)
设⃗a=( x1, y1)，⃗b=( x2, y2)
①⃗a+⃗b=( x1+ x2, y1+ y2)
②⃗a-⃗b=( x1- x2, y1- y2)
(2)
若⃗a=(x , y)，λ为实数，则λ⃗a=( λx , λy )，即实数与向量的积
的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
3 知识点03 向量数量积与模长的坐标运算
已知非零向量⃗a=( x1，y1)，⃗b=( x2，y2)，θ为向量⃗a、⃗b的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模
|⃗a|= ❑√⃗a⋅⃗a
|⃗a|=
❑√x
2+ y
2
数量积⃗
a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cos⃗
a⋅⃗b= x1 x2+ y1 y2
夹角
cosθ =⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
cosθ =
x1 x2+ y1 y2
❑√x1
2+ y1
2⋅
❑√x2
2+ y2
2
⃗a⊥⃗b的充
要条件⃗
a⋅⃗b=0
x1 x2+ y1 y2=0⃗
a∥⃗b的充
要条件⃗
a= λ⃗b（⃗b≠⃗0）
x1 y2- x2 y1=0
4 题型一、向量加减法的坐标运算
1．已知⃗AB =(2,1)，⃗BC =(-1,0)，则|⃗AC|=（ ）
A．❑√2
B．2
C．❑√10
D．10
2．已知点A (1,0)，B (2,2)，向量⃗BC =(2,-1)，则向量⃗AC =（ ）
A．(1,2)
B．(-1,-2)
C．(3,1)
D．(-3,-1)
3．已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(-2,- 4)，则2⃗a+3⃗b=（ ）
A．(-5,-10)
B．(- 4 ,-8)
C．(-3,-6) D．
(-2,- 4)
4．已知向量⃗a=(0,2)，⃗b=(1,0)，则|⃗a-⃗b|=（ ）
A．❑√2
B．❑√3
C．2
D．❑√5
5．已知⃗a=(4,6),⃗a+⃗b=(6,2)，则⃗b=（ ）
A．(2,- 4)
B．(-2,4)
C．(2,- 1
2)
D．(-2, 1
2)
6．已知⃗a=(-3,4)，⃗b=(5,2)，则2⃗a-3⃗b=（ ）
A．(21,2)
B．(-21,2)
C．(2,21)
D．(-2,21)
7．已知A(-2,3)，B(1,-2)，C(1,-1)，则|⃗AB+⃗BC |=（ ）
A．❑√5
B．2❑√5
C．5
D．3 ❑√5
8．已知向量⃗AB =(-2,1),⃗AC =(3,4)，则⃗BC =（ ）
A．(1,5)
B．(-1,-5)
C．(-5,-3)
D．(5,3)
9．已知⃗a=(2,1),⃗b=(-3,4)，则3⃗a+ 4⃗b的坐标是（ ）
A．(6,19)
B．(6,-13)
C．(-6,19)
D．(-6,-13)
10．设点A (-1,3)，B (2,4)，C (3,-2)，且⃗AD =2⃗AB -3⃗BC，则点D的坐标为
（ ）
A．(3,20)
B．(-2,-23)
C．(2,23)
D．(- 4 ,-17)
11．在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (-2,0)，⃗AC =(2,-3)，则⃗AD的坐标
为（ ）.
A．(5,-1) B．(-6,-1)
C．(0,-3)
D．(0,3)
5 题型二、向量数量积的坐标运算
1．已知⃗a=(
1
2 ,3)
，⃗b=(-2, 1
3)
，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．0
B．-2
C．2
D．- 4
2．设⃗a=(1,-2),⃗b=(-3,4),⃗c =(3,2)，则1
3 (⃗a+2⃗b)⋅⃗c等于（ ）
A．(-15,12) B．-1
C．-3
D．1
3．若⃗a+⃗b=(-2，-1，2)，⃗a-⃗b=(4，-3，-2)，则⃗a⋅⃗b等于（ ）
A．-5
B．-1
C．5
D．7
4．已知向量a
→
=(1,2)，b
→
=( x ,4)，若向量⃗a⊥⃗b，则x =（ ）
A．-8
B．-2
C．8
D．2
5．已知向量⃗a=(-2,3)，⃗b=(m,6)，若⃗a⊥⃗b，则m=（ ）
A．-9
B．- 4
C．4
D．9
6．已知向量⃗m=(2,-1)，⃗n=(-1,3)，则⃗m⋅(⃗m-⃗n)=（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
7．已知⃗a=(3,m)，⃗b=(1,-1)，且⃗a⋅⃗b=2，则|⃗a+⃗b|=（ ）
A．4
B．2
C．❑√5
D．1
8．已知向量⃗a=(1,0)，⃗b=(x ,1)，若⃗b⋅(⃗b-2⃗a)=0，则x =（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
9．已知向量⃗OA =(3,2)，⃗OB =(2,4)，⃗OC =(-1,-3)，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
A．6
B．4
C．-6
D．-4
10．已知向量⃗a=(2 x ,3)，⃗b=(2,0)，(⃗a-⃗b)⋅⃗b=0，则x的值为（ ）
A．-1
B．1
2
C．1
D．2
11．已知向量⃗a=(1,1)，⃗b=(x ,0)，若⃗a⊥(⃗a-2⃗b)，则x等于（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．-2
12．已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2，⃗b=(1,0)，|2⃗a-⃗b|=5，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．6
B．3
C．- 4
D．-2
6 题型三、向量共线的坐标运算
1．已知⃗a=(-1,2)，⃗b=(1, x)，⃗a//⃗b，则实数x =（ ）
A．2
B．-2
C．1
2
D．- 1
2
2．已知向量⃗a=(-1,2)，⃗b=(2, x)．若⃗a//⃗b，则|⃗b|=（ ）
A．2❑√3
B．2❑√5
C．4 ❑√2
D．2❑√10
3．已知向量⃗a=( x ,-1)，⃗b=(1,2)，⃗c =(3,2)，若(⃗a-⃗b)//(⃗b+⃗c)，则实数x =
（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
4．已知平面向量⃗a=(1,0)，⃗b=(2, x)，若⃗b//(⃗a-⃗b)，则x等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
5．已知向量⃗a=(1,7)，⃗b=(x ,2)，⃗c =(-2,1)，若⃗c //(3⃗b-⃗a)，则x等于（ ）
A．1
B．1
3
C．- 1
3
D．-1
6．已知向量⃗m=(
3
2 ,6)
，⃗n=(t -1,t
2)，若⃗m//⃗n，则t =（ ）
A．2
B．1
C．2 或-1
D．1 或-2
7．已知向量⃗a=( x ,2),⃗b=(2, y),⃗c =(1,-2)，且⃗a⊥⃗c ,⃗b//⃗c，则x + y =
（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
8．已知向量⃗a=(x ,1),⃗b=(2, x -1)，则“⃗a// ⃗b”是“x =2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
9．已知向量⃗a=(2,1),⃗b=(x ,2)，若(⃗a-2⃗b) ∥ ⃗b，则实数x =（ ）
A．1±2❑√2
2
B．4
C．1
2
D．1
4
10．已知向量⃗a=(6,-3),⃗b=(- 4 ,m)，若⃗a与⃗b共线，则m=（ ）
A．2
B．-2
C．8
D．-8
11．已知向量⃗m=(a-1,b)，⃗n=(-1,1)，a>0，b>0，满足⃗m//⃗n，则1
a + 2
b的
最小值为（ ）
A．4
B．2❑√2
C．3+2❑√2
D．4 ❑√2
12．已知平面向量⃗a=(1,2),⃗b=(2 x , x -1)，且⃗a//(⃗b-⃗a)，则x =（ ）
A．- 1
3
B．1
3
C．5
3
D．3
