文档文本内容
7.2 直线、平面平行的判定与性质（讲义）
目录
1
知识点01 直线和平面平行........................................................................2
2
知识点02 平面和平面平行........................................................................3
3
题型一、平行定理的应用.........................................................................5
4
题型二、构造三角形中位线证明线面平行.............................................7
5
题型三、构造平行四边形证明线面平行...............................................12
6
题型四、利用线面平行证明面面平行...................................................17
7
题型五、利用面面平行证明线面平行...................................................23
8
题型六、利用线面平行证明线线平行...................................................29
1 知识点01 直线和平面平行
1.
定义
若直线与平面没有公共点，则称直线与该平面平行。
2.
判定定理1
(1)
文字语言：若平面外一条直线平行于该平面内的一条直线，
则该直线与此平面平行（线线平行
线面平行）
(2)
符号语言：
&l∥l1
&l1⊂α
&l⊄α }
⇒l∥α
(3)
图示：
3.
判定定理2
(1)
文字语言：如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有
直线都平行于另一个平面（面面平行
线面平行）
(2)
符号语言：
& α ∥β
& a⊂α}⇒a∥β
(3)
图示：
4.
性质定理1
(1)
文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线
的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（线面平行
线线平行）
(2)
符号语言：
&l∥α
&l⊂β
& α ∩β =l
'}
⇒l∥l
'
(3)
图示：
2 知识点02 平面和平面平行
1.
定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面
2.
判定定理1
(1)
文字语言如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一
个平面，那么这两个平面平行（线面平行
面面平行）
(2)
符号语言：
a⊂α ,b⊂α ,a∩b= P
a∥β ，b∥β ⇒α ∥β
(3)
图示：
3.
判定定理2
(1)
文字语言：如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个
平面平行（线面垂直
面面平行）
(2)
符号语言：
&l⊥α
&l⊥β}⇒α ∥β
(3)
图示：
4.
性质定理1
(1)
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那
么他们的交线平行（面面平行
线面平行）
(2)
符号语言：
α // β
α ∩γ =a
β ∩γ =b}
⇒a//b.
(3)
图示：
5.
性质定理2
(1)
文字语言：如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么
另一个平面也垂直于这条直线（面面平行
线面垂直）
(2)
符号语言：
α // β
l⊥α }⇒l⊥β
(3)
图示：
3 题型一、平行定理的应用
1．已知m，n 是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列结
论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
2．设
为两个平面，
为两条直线，且
.下述四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
或
③若
且
，则
④若
与
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
3．已知a，b 是空间两条不同的直线，α，β，γ 为三个不同的平面，下列正
确的为（ ）
A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B．若a∥α，a⊥β，则α⊥β
C．若α∩β=a，γ∩β=b，a∥b，则α∥γ D．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
4．已知
，
为两个不同的平面，
，
为两条不同的直线，则下列命
题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
为异面直线，
，
，则
5．已知
，
是两条不重合的直线，
，
是两个不重合的平面，下列说
法正确的是（ ）
A．若
，
，则
与
相交
B．若
，
，则
C．若
，
异面，则与
，
都相交的两条直线是异面直线
D．若
，
，
，
，则
，
6．已知m,n 是两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
7．已知直线
，平面
，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下列命题中
正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
9．在空间几何中下列说法正确的是（ ）
A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4 题型二、构造三角形中位线证明线面平行
1．如图，在正方体
中，E 是
的中点
求证：
平面ACE
2．在正三棱柱
中，D 为
的中点
证明：
平面
3．如图，在直三棱柱
中，
，点
是棱
的中
点，求证：
平面
4．如图，已知平面
平面
，四边形
是正方形，
，点E，F 分别是
，
的中点，若点M 为线段
中点，求证：
平面
5．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
分别为棱
，
的中点，求
证：
平面
6．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
∠BAD =60
∘, PD = DC =2, PD⊥平面
，
是
的中点，求证：
平
面
7．如图，在三棱柱
中，
平面
，
的中点为
，
，证明：
平面
8．如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，△PCD为
等边三角形，平面
平面
，
，
，
，设
分别为
的中点， 求证：
平面
；
9．如图，在直四棱柱
中，四边形ABCD 是矩形，
是棱BC 的中点，证明：
平面
10．如图，在正方体
中，
为
的中点，求证：
平面
5 题型三、构造平行四边形证明线面平行
1．如图，四棱锥
的底面
为正方形，
底面
，
E、F 分别是AC、PB 的中点，求证：
平面
2．如图，在正方体
中，点G，E，F 分别为棱
的中点，求证：
平面DBFE
3．如图所示，点P 是平面
外一点，
平面
，
，
，求证：
平面
4．如图，在三棱柱
中，AE 与BD 相交于点O，C 在平面
ABED 内的射影为O，G 为CF 的中点，求证：
平面GED
5．如图，在四棱锥
中，
是边长为4 的等边三角形，底
面
为直角梯形，
，
，
，
为
的中
点，求证：
平面
6．如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，
分别是
的中点，证明：
平面
7．如图，在长方体
中，
，
，
、
分别为
和
中点，求证：
平面
8．如图所示的多面体中，已知菱形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互
相垂直，其中
为直角，
，求证:
平面
9．如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
分别为
中点，求证：
平面
10．如图，在直三棱柱
中，
分别是棱
的中点，
证明：
平面
6 题型四、利用线面平行证明面面平行
1．如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，侧棱
垂直于
底面，
、
分别是
、
的中点，
与
交于
点，求证：平面
平面
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为
的中点，点F 在棱DD1的
中点，求证：平面
//平面BDE．
3．如图，在三棱柱
中，
，
分别是
，
的中点，
证明：平面
平面
4．如图1，E，F，G，H 分别是正方形
各边中点，将
△AEH ,△BEF ,△CFG,△DGH分别沿
折起，使得
△AEH ,△BEF ,△CFG,△DGH所在平面与底面
均垂直（如图2），连接
，证明：平面
平面
5．如图，在四棱锥
中，四边形
是梯形，
，
，
、
分别是棱
、
上的点，且
，
，
证明：平面
平面
6．在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为底面中心，
，
分别为
，
的中点，
为等腰直角三角形，且
，
，
分为
，
的中点，点
在线段
上，且
.求证：平面
平面
7．如图，在三棱柱
中，D，E，F 分别是AB，
，
的
中点，求证：平面
平面
8．如图，在棱长均为2 的八面体
中，下底面
是正六边形，且平面
平面
､
均垂直于底面, 证明：平面
平面
9．如图，在直三棱柱
中，点M，N 分别是边AC，
的中
点，且
，
，
,求证：平面
平面
10．如图，在正方体
中，
为
的中点，
为
的中点, 求证：平面
平面
11．如图，在正四面体
中，
，E，F，G 分别为
，
，
的中点, 证明：平面
平面
12．如图，在直三棱柱
中，
是边长为
的等边三
角形，
分别是线段
的中点, 证明：平面
平面
7 题型五、利用面面平行证明线面平行
1．如图，在几何体
中，四边形
为平行四边形，平面
平面
，证明：
平
面
2．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
平面
，点
，
分别为线段
，
上的一点，且
，
，求证：
平面
3．如图，在三棱柱
中，
，
平面
且
，
、
分别是
、
的中点. 求证：
平面
.
4．如图，四边形
是平行四边形，点
是平面
外一点，求证：
平面
5．如图，在四棱锥
中，底面
为梯形，其中
，
且
，点E 为棱
的中点，求证：
平面
6．如图，在五面体
中，
，
为
的中点，
为
的中点, 证明：
平面
7．如图，在直四棱柱
中，底面
是边长为2 的菱
形，
，
是
的中点，点
满足
,当
时，
证明：
//平面
8．如图，在
中，
，
，
为
的中点，
过点
作
交
于点
，将
沿
翻折至
，得到四棱
锥
，
为棱
上一动点（不包含端点）, 若
为棱
的中点，证
明：
平面
9．如图，在四棱锥
中，
底面
，
,
分别为
的中点，
为
的重心，
证明：
平面
10．如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，E，F，
分别是
，AD，
的中点，
为矩形
的
中心, 证明：
平面
11．如图，在直三棱柱
中，侧棱
，
，
且
分别为
,
的中点, 证明：
平面
12．如图所示，在直角梯形
中，
，A，D 分
别是
，
上的点，且
，
，
，
，将四边形
沿
向上折起，连接
，
，
，在折
起的过程中，记二面角
的大小为
，记几何体
的体积为V, 求证：
平面
8 题型六、利用线面平行证明线线平行
1．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
．点
在棱
上且与
不重合，
平面
交棱
于点
，求证：
2．如图，矩形
，平面
平面
，
，平面ADF 与棱BE 交于点
，求证：
3．在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
，
直线
与
所成的角的余弦值等于
，
，点
为线段
上的动
点，
是
的中点，若直线
和
相交，求证：
4．如图所示，在四棱锥
中，底面
为梯形，
，
，面
面
，
是
的中点，求证：
5．如图所示，正四棱锥
中，
为侧棱
上的点，
且
，记平面
平面
，证明：
6．如图所示，已知点
是平行四边形
所在平面外一点，
、
、
分别为
、
、
的中点，平面
平面
，判断直线与
的位置关系并证明
7．如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
平面
，求证：四边形
为梯形
8．如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
分
别是
，
的中点，求证：
平面
9．如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
为正
方形，
，
分别为
的中点，若平面
与平面
的交线为，证明：
10．如图，正方体
的棱长为2，
是棱
的中点，过
，
，E 的平面与棱
相交于点
，求证：
是
的中点
11．如下图所示，多面体
是由长方体
沿相
邻三个面的对角线截出的几何体，其中
，
，
，
为
的中点，过
，
，
的平面交
于
，求证：
平面
12．如图，在正三棱柱
中，
分别是棱
的中点，过点
的平面交
于点
，交
于点
．求证：
