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专题09 平面向量数量积核心考点（基础定义到四心综合应
用）
一、考点总结与提升
1.定义法
平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量
与
，它们的夹角是
，则数量
叫
与
的
数量积，记作
，即有
(
).
2.坐标法
设向量
为向量
的夹角.
（1）数量积:
.
（2）模:
.
（3）夹角：
（4）两非零向量
的充要条件:
.
3.基底法
4.投影法
向量
在
方向上的投影：设
为
、
的夹角，则
为
在
方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量.当
为锐角时投影为正值；当
为钝角时投影为负值；当
为直角时投影为
；当
时投影为
；当
时投影为
.
5.极化恒等式
问题：求证：
.若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范
围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.
证明：由于
，
两式相减可得：
.
特别，在
中，设
，点
为
中点，再由三角形中线向量公式可得：
(极化恒等式).
6.与外心有关的数量积计算
结论：如图1，
，特别地，若点
在线段
的中垂线上
时，
.
如图1 如图2
进一步，外心性质：如图2，
为
的外心，可以证明：
（1）.
；
，同理可得
等.
（2）.
，同理可得
等.
（3）.
，同理可得
等.
证明:
三角形 “四心”
的向量本质：
①重心是中线交点，核心向量关系为⃗PO = 1
3 (⃗PA +⃗PB+⃗PC )；
②内心是角平分线交点，对应边长加权向量和为零（a⃗OA +b⃗OB+c⃗OC =⃗0）；
③外心是中垂线交点，关键特征是到顶点距离相等；
④垂心是高线交点，满足⃗OA ⋅⃗OB =⃗OB⋅⃗OC =⃗OC ⋅⃗OA。
二、典例精讲
核心考点01.定义法计算
例1．已知向量
，
满足
，
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
解析：
，
，
，
.
，因此，
.
故选：D.
核心考点02.基底法计算
例2．已知平面向量
满足
，
，其中
为不共线的单位向量，若对符合上述
条件的任意向量
，恒有
，则
夹角的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因
，则
，
依题意，
恒成立，而
，
为不共线的单位向量，即有
，于是
得
恒成立，则
，即有
，又
，解得
，所以
夹角的最小值是
.故选：B
例3．在
中，点
满足
为
重心，设
，则
可表示为（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】
.
故选：C
核心考点0 3.坐标法计算数量积
例4． 已知△ABC 是边长为2 的等边三角形，D，E 分别是AC，AB 上的两点，且AE＝EB，AD＝2DC，
BD 与CE 交于点O，则下列说法正确的是( )
A.AB·CE＝－1
B.OE＋OC＝0
C.|OA＋OB＋OC|＝
D.ED在BC方向上的投影向量的长度为
【解析】因为AE＝EB，△ABC 是等边三角形，
所以CE⊥AB，所以AB·CE＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA，EC的方向分别为x 轴，y 轴正方向
建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，
设O(0，y)，y∈(0，)，则BO＝(1，y)，DO＝，
又BO∥DO，所以y－＝－y，解得y＝，即O 是CE 的中点，OE＋OC＝0，所以选项B 正确；|OA＋OB＋
OC|＝|2OE＋OC|＝|OE|＝.所以选项C 正确；
ED＝，BC＝(1，)，ED在BC方向上的投影向量的长度为＝＝，所以选项D 正确.故选BCD。
核心考点04.投影法计算
例5.已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
解析：
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到
在
方向上的投影的取值范围是
，
结合向量数量积的定义式，可知
等于
的模与
在
方向上的投影的乘积，
所以
的取值范围是
，故选：A.
（方法2）坐标法
如图,取
为坐标原点,
所在直线为
轴建立平面直角坐标系,则
,
. 设
, 则
, 且
. 所以
.答案:A
核心考点05.极化恒等式法
例6.已知
为圆
的直径且
，
为圆
上的动点且与
，
均不重合，等边三角形
与
共面且点
，
位于
的异侧，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【详解】如图：
因为
，
所以
.
取
中点
，则
，
因为
，所以设
，
，
则
，
，
所以
，
当
时，
为最大值.
此时
为最大值.
故选：D
例7.圆
为锐角
的外接圆，
，点
在圆
上，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又
，而
，若外接圆半径为r，
则
，故
，且
，即
，
由
，
对于
且
在圆
上，当
为直径时
，当
重合时
，
所以
，
综上，
，
锐角三角形中
，则
，即
恒成立，
所以
，则
恒成立，
综上，
.
故选: C
例8．已知
是长为2 的等边三角形，
为平面
内一点，则
的最小值是
（ ）
A.
B．
C．
D．
解析：（方法1.几何法）设点
为
中点，可得
，再设
中点为
，这样用极化
恒等式可知：
，在等边三角形
中，
，故
取最小值当
且仅当
取最小，即
，故
.
（方法2.坐标法）以
中点为坐标原点，由于
，
，
．
设
，
，
，
，
故
，则其最小值为
，此时
，
．
核心考点06. 三角形 “四心”与平面向量数量积
例9．若点
为
的外心，且满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】因为点
为
的外心，
所以
，
因为
，
即
，
即
，即
，
化简得
，
可知
，化简得
，
根据基本不等式可知
，当且仅当
时取等号，
因为
，
，所以
，
所以
的最大值为
.
故选：C.
例10．已知
为
的外心，若
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】过点
作
于
，过点
作
于
，
过点
作
交
的延长线于
，交
的延长线于
，
因为
则
，从而有
,
而三角形
的外接圆的半径为
，所以
,
且
，所以
，所以
,
所以
,故
，由于
，因此
.
故选：D
例11．已知H 为
的垂心，
，
，M 为边BC 的中点，则
（ ）
A．20
B．10 C．
D．
【解析】由题意
，
，
，
．
故选：B．
例12．在
中，设
，那么动点
的轨迹必通过
的（ ）
A．垂心
B．内心
C．重心D．外心
【解析】设线段
的中点为
，
则
、
互为相反向量，所以
，
因为
，即
，
所以，
，即
，
即
，即
，所以，
垂直且平分线段
，
因此动点
的轨迹是
的垂直平分线，必通过
的外心.
故选：D.
例13．(多选)设点
是
的外心，且
，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
是正三角形，则
D．若
，
，
，则四边形
的面积是
【解析】对选项A：因为
，则
，
，
三点共线，且点
是
的外心，
所以
，所以
为
中点，所以
是以
为直角顶点的直角三角形，故A 对；
对选项B：因为
，则
，
，
三点共线，
易知
是以
为直角顶点的直角三角形，且
为
的中点，则
，
，故B 错；
对选项C：因为
是正三角形，故
，则
，故C 对；
对选项D：因为
，故
在
外，又
，
所以
，又
，
，则
，故D 对.
故选:：ACD.
例14．点O , P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足⃗OP =⃗OA +⃗OB+⃗OC，则直线OP经过△ABC的
（ ）
A．重心
B．外心
C．内心D．垂心
【解析】设BC的中点为点D，所以⃗OB+⃗OC =2⃗OD，
则⃗OP -⃗OA =⃗AP =2⃗OD，
若A , P ,O , D四点共线时，即点O , P都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心，
若A , P ,O , D四点不共线时，AP//OD，且AP =2OD，连结AD ,OP，交于点G，
如图，
AG
GD = AP
OD =2，即点G是三角形的重心，即OP经过△ABC的重心，
综上可知，OP经过△ABC的重心.
故选：A.
例15．已知点P 在△ABC所在平面内，若⃗PA ⋅(⃗
AC
|⃗AC |
-⃗
AB
|⃗AB|
)=⃗PB⋅(⃗
BC
|⃗BC |
-⃗
BA
|⃗BA |
)=0，则点P
是△ABC的（ ）
A．外心 B．垂心
C．重心
D．内心
【解析】在△ABC中，由⃗PA ⋅(⃗
AC
|⃗AC |
-⃗
AB
|⃗AB|
)=0，得⃗PA ⋅⃗
AC
|⃗AC |
=⃗PA ⋅⃗
AB
|⃗AB|
，
即⃗AP⋅⃗
AC
|⃗AC |
=⃗AP⋅⃗
AB
|⃗AB|
，由⃗PB⋅(⃗
BC
|⃗BC |
-⃗
BA
|⃗BA |
)=0，同理得⃗BP⋅⃗
BC
|⃗BC |
=⃗BP⋅⃗
BA
|⃗BA |
，
显然⃗AP≠⃗0，即P与A不重合，否则cos∠ABC =1，同理⃗BP≠⃗0，
则|⃗AP|cos∠PAC =|⃗AP|cos∠PAB，即cos∠PAC =cos∠PAB，∠PAC =∠PAB，
于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，
所以点P 是△ABC的内心.
故选：D.
三、高考练场
1．已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．2
解析：∵
，又∵
∴9
，∴
故选：C.
2．已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5 D．6
解析：
,
,即
,解得
,故选：C
3．已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
A．
B．
C．
D．
解析因为
，所以
=0，所以
，所以
=
，所以
与
的夹角为
，故选B．
4．已知向量
，
满足
，
，则
_________
解析：法一：因为
，即
，
则
，整理得
，又因为
，即
，则
，所以
.
法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
整理得：
，即
.故答案为：
.
5．已知向量
，
，
，
________．
解析：由已知可得
，
因此，
.故答案为：
.
6．若向量
满足
，则
_________
解析: ∵
∴
,∴
.故答案为：
.
9．在边长为2 的正六边形ABCDEF 中，动圆
的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P 是圆
Q 上及其内部的动点，则
的取值范围是（ ）
A．
.
B．
C．
D．
解析：由
，可得
为
与
在
方向上的投影之积.正六边形
ABCDEF 中，以D 为圆心的圆
与DE 交于M，过M 作
于
，设以C 为圆心的圆
与
垂
直的，切线与圆
切于点N 与
延长线交点为
，
则
在
方向上的投影最小值为
，最大值为
,又
，
，则
，
，则
的取值范围是
.故选
A.
10．已知
是
的外心，
，
，则
（ ）
A．10
B．9
C．8
D．6
解析：如图，O 为
的外心，设
为
的中点，则
,
故
,故选：A
11. 已知等边
的三个顶点均在圆
上，点
，则
的最小值为
（）
A．
B．
C．
D．
解析：（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记
中
点为
，
中点为
.
由于
，而
. 由于
为等边三角形，则
三点共线，且由于
是外心，也是重心，故
.
则
，显然，由
在圆外，且
共线（
中点为
），则
.综上所述，
.
（法2.基底法）
，因为等边
的三个顶点均在圆
上，因
此
，
，因为等边
的三个顶点均在圆
上，所以原点
是等边
的重
心，因此
，所以有：
，
当
时，即
同向时，
有最小值，最小值为
.
12 ．在边长为4 的菱形
中，
，
为
中点，
为平面
内一点，若
，
A．16
B．14 C．12
D．8
解析：由
可得：
，故
在
中垂线上，由投影的定义可得：
.
再根据余弦定理可得：
，故可得选B.
14 ．在
中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点O 是
的外心，
．
（1）求角A；
（2）若
外接圆的周长为
，求
周长的取值范围，
解析：（1）过点O 作AB 的垂线，垂足为D，因为O 是
的外心，所以D 为AB 的中点，所以
，同理
，所以
，由正弦定理边化角得：
所以
整理得：
因
为
，所以
所以
，即
又
，
所以
，得
（2）记
外接圆的半径为R，因为
外接圆的周长为
，
所
以
，
得
所
以
周
长
由（1）知
，
所以
因为
，所以
所以
所以
，即
所以
周长的取值范围为
