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第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末题型大总结
题型01 求向量的数量积
【典例1】（2025 高一·全国·专题练习）已知正方形
的边长是4，
是
的中点，
满足
，则
（ ）
A．10
B．20
C．22
D．25
【答案】B
【分析】由平面向量的坐标表示、结合向量的数量积运算即可求解.
【详解】
解题锦囊
求数列最大(小)项的方法
（1）定义法：根据向量的模与夹角计算求解；
（2）基向量法：将求数量积的向量用已知模或夹角的向量线性表示，再根据数量积的运算律求解；
（3）坐标法：根据图像特点，建立直角坐标系，结合数量积的坐标运算求解.
以
为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则
，
，
则
，
，所以
．
故选：B．
【变式1】（24-25 高三上·河南·阶段练习）如图，在
中，已知
为
中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用
表示
，再利用数量积的运算律计算得解.
【详解】在
中，由
为
中点，得
，
所以
.
故选：C
【变式2】（24-25 高一下·甘肃临夏·阶段练习）如图所示，两个边长为2 的等边三角形
有一条边
在同一条直线上，则
.
【答案】12
【分析】利用平面向量的线性运算用
表示
，再进行数量积运算即可.
【详解】依题意，
因为三角形
是等边三角形，
.
故答案为：12.
【变式3】（24-25 高一下·江苏南京·阶段练习）正方形
的边长为
为
边的中点，
为
边上
一点，且
，则
.
【答案】
/2.5
【分析】利用勾股定理得到
，然后根据数量积的几何意义得到
在
上的投影的数量等于
，从
而得到
，然后利用三角函数得到
，最后利用勾股定理计算即可.
【详解】
正方形
的边长为2，点
为
边的中点，
，
，
在
上的投影的数量为
.
所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，
.
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）如图，在
中，点
在线段
上，且
．若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用
表示
，再利用数量积的运算律计算即得.
【详解】在
中，点
在线段
上，且
，
则
，
，而
，因此
，
即
，所以
.
故选：A
题型02 求向量的投影向量
【典例2】（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量
，
满足
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用投影向量公式计算即可.
【详解】因为
，
，
所以
在
上的投影向量为
故选：C.
解题锦囊
已知非零平面向量
，向量
是与
同向的单位向量，则向量
在
上的投影向量：
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量
，
，则向量
在向量
方向上
的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出向量
的单位向量，然后利用投影向量公式求解即可.
【详解】设向量
是与
同向的单位向量，则
，
则向量
在
方向上的投影向量为
.
故选：D
【变式2】（24-25 高三上·山东枣庄·阶段练习）已知非零向量
，
，若向量
在
方向上
的投影向量为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】A
【分析】利用投影向量的定义可得
，代入坐标计算可求得.
【详解】向量
在
方向上的投影向量为
，
所以
，解得
.
故选：A.
【变式3】（24-25 高三上·湖南长沙·期中）已知
为单位向量，向量
在向量
上的投影向量是
，且
，则
的值为（ ）
A．2
B．0
C．
D．
【答案】C
【分析】由向量
在向量
上的投影向量是
得出
，再由
可得答案.
【详解】因为向量
在向量
上的投影向量是
，
所以
，化简得
，
因为
，所以
，
解得
.
故选：C,
【变式4】（24-25 高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量
满足
，且
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义求解.
【详解】由已知
，
在
方向上的投影向量为
.
故选：A．
【变式5】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形
中，
且
与
交于
点
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过
作
于
，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得.
【详解】在直角梯形
中，
且
，过
作
于
，
则
，故
，从而
.
因此
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
.
故选：C
题型03 向量的夹角问题
【典例3】（24-25 高三上·山西太原·期末）已知向量
，
，满足
，
，则
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】C
【分析】根据单位向量定义将等式平方可得
，再由夹角公式计算可得结果
【详解】由题意，
，
由
得
，
即
，所以
，
设
与
的夹角为
，
所以
，
又
，所以
.
故选：C
【变式1】（24-25 高三上·湖南衡阳·阶段练习）设向量
，
，则
与
夹角的余弦值为
（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】先求出
，再使用向量夹角坐标公式进行求解.
解题锦囊
（1）向量的夹角：利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b 的值及|a|，|b|的值，
然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b 三者之间的关系，然后代入求解.
（2）两个向量a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且a，b 不共线；
两个向量a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且a，b 不共线；
【详解】
，则
.
故选：B
【变式2】（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）“
”是“向量
与向量
的夹角为钝
角”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合向量的坐标运算令
且不反向共线可得.
【详解】若夹角为钝角，则
且不反向共线，
则
，解得
且
，
因为
是
的真子集，
所以“
”是“向量
与向量
的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：C
【变式3】（2025·湖南邵阳·一模）已知向量
，
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据向量数量积公式求出
，再利用三角函数诱导公式求出结果.
【详解】根据向量数量积公式
.
先求
，
.
再求
.
.
所以
.
根据三角函数诱导公式
，所以
.
故选：C.
【变式4】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形
中，
是
的中点，
在
上且
，
与
交于点
，则
．
【答案】
/
【分析】设
，利用平面向量基底表示以及线性运算可得
、
，结合数
量积的运算律、定义和诱导公式计算即可.
【详解】设
，则
，
，
设正方向边长为6，则
，
所以
，
所以
.
故答案为：
题型04 向量模的计算
【典例4】（2025·广东·一模）已知平面向量
的夹角为
，且
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
解题锦囊
向量的模的求解方法：
①公式法：利用
及
，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②坐标法：求出平面向量的坐标求解.
【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案.
【详解】由
，
所以
，即
，
即
，整理得
，
解得
或
（舍去），
所以
.
故选：B.
【变式1】（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）已知
，
，
，则
等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求解即可.
【详解】因为
，所以
，
即
，所以
，
则
.
故选：A.
【变式2】（24-25 高三上·江苏·期末）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．4
D．0
【答案】A
【分析】平方可得
，化简得到
，从而得到方程，求解即可.
【详解】因为
，
，
，
所以可得
，
即
，所以
，
即可得
，解得
故选：A
【变式3】（24-25 高三上·福建泉州·阶段练习）两个单位向量
、
满足
，则
.
【答案】
【分析】等式
两边平方，可求出
的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得
的值.
【详解】因为两个单位向量
、
满足
，
由
两边平方可得
，
即
，解得
，
故
.
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
中，
，则
．
【答案】
【分析】根据向量减法的三角形法则计算，结合数量积和三角形知识求模长得解.
【详解】解析 如图，延长CB 至点D，使
，连接AD．
在
中，
，
，
．
即
，展开得到
，
将
代入，解得
．所以
．
故答案为：
.
【变式5】（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知
的夹角为
，
是
的中点，
则
．
【答案】
【分析】首先利用基底
表示向量
，再利用数量积公式求
.
【详解】
，
所以
，
则
.
故答案为：
题型05 平行与垂直问题
【典例5】（2025 高一·全国·专题练习）已知向量
，
，则下列关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标表示进行计算并判断．
【详解】由题意
，
，
因为
，
所以
，所以C 正确，A 错误.
∵
，所以D 错误
∵
，所以B 错误.
故选：C.
【变式1】（24-25 高一下·山东威海·月考）已知非零向量
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
得
，按照数量积进行运算即可.
【详解】∵
，∴
，∴
，∴
.
故选：B.
【变式2】（2024·广西·模拟预测）已知向量
，
的模相等且夹角为
，若向量
与向量
垂直，则
实数
（ ）.
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】利用向量数量积为0 解方程即可得出结果.
【详解】由
，则
，
即
，即
.
解得
.
故选：D.
【变式3】（24-25 高三下·湖北·开学考试）已知向量
，且
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得
，再利用向量垂直的坐标运算，可得
，进
而可得
，
，即可求解.
【详解】因为
，得到
，化简得
，所以
，
又
，所以
，得到
，
所以
，则
，
，
所以
的面积为
，
故选：A.
【变式4】（多选）（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知点
、
、
，其中
，则
（ ）
A．若
、
、
三点共线，则
B．若
，则
C．若
，则
D．当
时，
【答案】ABD
【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A 选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B 选项；利用平面
向量的模长公式可判断C 选项；利用平面向量夹角余弦的坐标公式可判断D 选项.
【详解】因为
、
、
，其中
，则
，
，
对于A 选项，若
、
、
三点共线，则
，则
，解得
，A 对；
对于B 选项，若
，则
，解得
，B 对；
对于C 选项，若
，即
，可得
，
解得
或
，C 错；
对于D 选项，当
时，
，则
，
因为
，故
，D 对.
故选：ABD.
题型06 最值与范围问题
【典例6】（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心
重合于点
且三组对边分别平行，点
，
是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点
在“六芒星”上
（内部以及边界），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作
在
上的投影向量，观察图形结合数量积的几何意义求
的范围.
【详解】由对称性可得
，连接
，与
的交点为
，
则
为
的中点，
为
的中点，
故
，
，
，
，
过点
作直线
的垂线，垂足记为
，
则向量
在向量
上的投影向量为
，
所以
，
如图过点
作
，
，垂足分别为
，
所以
，
，
观察图象可得
，其中
与
同向，
与
反向，
所以当点
位于点
的位置时，
取最大值，最大值为
，
当点
位于点
的位置时，
取最小值，最小值为
，
所以
的取值范围是
.
故选：B.
【变式1】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）
是边长为2 的正三角形，
为
所在平面内任意一
点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．-2
【答案】B
【分析】设
的中点为
的中点为E，则
可表示为
，进而可得答案.
【详解】设
的中点为
的中点为E，
则有
，
则
，
而
而
，
，
故当P 与E 重合时，
有最小值
，
所以
的最小值为
，
故选：B.
【变式2】（24-25 高一上·河北保定·期末）已知平面向量
，
满足
，
，则
的最大
值为（ ）
A．8
B．
C．10
D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算律得
，再利用向量不等式即可得到答案.
【详解】因为
则
，则
，
所以
，所以
，
，
故选：C.
【变式3】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形
中，
，
为
中点，
为正方形
内部或边界上一点，则
的最大值为（ ）.
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】建立坐标系，写出点的坐标，设
，
，得到
，求出
最大值.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，
设
，
，
则
，
故当
时，
取得最大值，最大值为
.
故选：D.
【变式4】（2025 高三·全国·专题练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1
是一个正八边形窗花，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形
中，若
，则
的值为 ；若正八边形
的边长为2，
是正八边形
八条边上的动点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以点
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，
轴建立平面直角坐标系，由
得到方程组，求出
即可求得
；设
，则
，令
，
则
，移动直线
，数形结合即可得答案.
【详解】正八边形的性质可知
，以点
为坐标原点，
分别以
所在直线为
轴，
轴建立如图1 所示的平面直角坐标系．
正八边形内角和为
，则
，
所以
，
，
，
因为
，即
所以
解得
所以
．
设
，则
，则
，
令
，则
，移动直线
，
当直线运动到过线段
时，
取最小值，将
代入
，得
；
当直线运动到过线段
时，
取最大值，
点坐标代入
，得
．
所以
的取值范围为
．
故答案为：
，
.
【变式5】（2025 高一·全国·专题练习）已知正方形
的边长为4，
，
分别为
，
的中点，
如果对于常数
，在正方形
的四条边上，有且只有8 个不同的点
，使得
成立，那么
的取值范围是
【答案】
【分析】由题画出图形,设
的中点为
,则
,可解得
,由图形的性质可得点
在边的中点和顶点之间,则
,进而求解即可.
【详解】如图，设
的中点为
，则
两式平方相减得
，
所以
（可由极化恒等式直接得出），
即
，所以
，
由对称性可知每条边上存在两个点
，所以点
在边的中点和顶点之间，
故
，解得
．
故答案为：
.
题型07 两角和与差的三角函数
【典例7】（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用和角的正弦公式将
展开，再用商数关系弦化切即可求解.
【详解】因为
，
将式子的左右两侧同时除以
，可得
，
即
.
故选：D
【变式1】（24-25 高一下·甘肃临夏·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解题锦囊
公式的应用技巧：
①角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，15°＝45°－30°＝60°－45°＝，β＝－＝(α＋2β)
－(α＋β)；
②名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，
或者把正切化为正弦、余弦．
【分析】对已知条件两边同时平方，再将所得式子相加，结合余弦差角公式进行化简计算.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，所以
，
故
.
故选：D.
【变式2】（24-25 高一上·云南曲靖·期末）已知
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC.
【详解】
，则
，则
，
整理得到
.
因此
.故B 错误，D 正确.
，则
，
.则
.
且
.解得
.同理得
，则
，
因此得
，则
.故AC 错误.
故选：D.
【变式3】（2025·广东·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可.
【详解】由于
，
那么
，
，则
，
故选：C．
【变式4】（24-25 高一上·云南德宏·期末）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用同角基本关系式求出
，利用
，结合和差角公式可解.
【详解】由
，则
，
又
，
，
而
.
故选：D.
【变式5】（24-25 高一上·陕西西安·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】结合同角关系化简条件可得
，再根据两角和正切公式求结论.
【详解】由
，等式两边同乘
可得
．
移项得到
，故
．
所以
．
故选：
.
题型08 二倍角公式
【典例8】（24-25 高一下·湖北·阶段练习）已知角
为
的一个内角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件分析
的范围，再利用
求出
，再利用二倍
角公式即可求解.
【详解】因为
为三角形内角，所以
，所以
，
又因为
，且
，
所以
，所以
，
所以
，
由二倍角公式有：
.
故选：A
【变式1】（2025 高三下·全国·专题练习）若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解
【详解】因为
，则
，①
解题锦囊
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化
为特殊角．
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关
系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
又因为
，则
，
故①式整理可得，
，解得
或
（舍去），
故
，所以
．
故选：
．
【变式2】（24-25 高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知
是第二象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求
的值，利用两角和的正切公式可得：
，结合
的范围，即可得解
的值．
【详解】解：
，
，
可得：
，整理可得：
，
解得：
，或
，
是第二象限角，
，
，
，故
．
故选：A．
【变式3】（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.
【详解】因为
，则
.
故选：A.
【变式4】（24-25 高一下·广西来宾·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
平方求出
，结合平方关系求出
，即可求得
，利用两角和
的正弦公式，即可求得答案.
【详解】已知
，
则
，
所以
，
联立
，结合
，解得
，
则
，
故
.
故选：D.
题型09 积化和差与和差化积公式
解题锦囊
一、积化和差公式应用时的注意事项：
（1）功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式；
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质；
（2）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.
二、和差化积公式应用时的注意事项：
（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是
高次函数，必须用降幂公式降为一次；
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos α＝
cos－cos α.
【典例9】（24-25 高一上·江苏无锡·期末）已知角
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用积化和差公式得到
，代入求值即可.
【详解】
，
由积化和差得
，
即
，
故
，解得
.
故选：C
【变式1】（24-25 高一下·全国·课堂例题）
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用积化和差可求三角函数式的值.
【详解】原式
．
故选：B.
【变式2】．（24-25 高一·江苏·课后作业）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得
，再利用和差化积公式得
，最后代入计算即可.
【详解】因为
，
所以
，因为
，
所以
，
所以
，所以
，
故选：A.
【变式3】（23-24 高一下·上海·课后作业）求值：
.
【答案】
【分析】把前两项利用和差化积变形，进一步求解得答案．
【详解】解：
．
故答案为：
．
【变式4】（24-25 高一·全国·课后作业）
．
【答案】
【解析】利用和差化积公式化简整理即可得到结果.
【详解】原式
故答案为：
题型10 三角变换的综合应用
【典例10】（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数
在区
间
有且仅有2 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用三角恒等变换化简函数式，结合余弦型函数的周期性及已知区间和零点个数有
，即可求参数范围.
【详解】由
，
又
，则
，
函数
在
上恰有2 个零点，即
在
上有2 个解，
所以
，解得
．
故选：A
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】需要根据辅助角公式将
变形化简，根据正弦函数单调区间，求出
在
的单调区间
即可.
【详解】因为
．
的单调递增区间为
所以
可得
．
当
时，
；
当
时，
．
所以函数
在
上的单调递增区间是
．
故选：C
【变式2】（24-25 高一上·湖南娄底·期中）已知函数
，则函数
在
上的单调递增区间为： .
【答案】
【分析】化简得
，再根据正弦函数性质即可求出其增区间.
【详解】
，
由
，
，
可得
，
，令
，则
，
又因为
，则其在
上单调增区间为
.
故答案为：
.
【变式3】（24-25 高三上·山东·期中）若
，
，且
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出
的值，最
后根据
的范围确定其具体值.
【详解】因
，所以
，又
，
根据
，得
，同时也能确定
.
因为
，
，
，所以
.
.
将
转化为
.
所以
因为
，
，所以
.
在这个区间内，
时，
.
故选：C.
【变式4】（24-25 高一上·安徽合肥·期末）已知函数
在区间
上只有一个最大值点和一个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
.
【分析】根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简
，由
即可得出
的范围，根据
在
上只有一个最大值点和零点即可得出关于
的不等式，解出
的范围即可.
【详解】
，
由
，且
，则
，
且
在区间
上只有一个最大值点和一个零点，
，解得
，
的取值范围为：
.
故答案为：
.
