第六章 平面向量初步单元复习
教学目标
1．理解向量的定义、表示方法，区分零向量、单位向量，掌握平行（共线）与相等
向量的概念；
2．熟练掌握向量的加减、数乘运算及坐标运算，牢记共线向量的坐标条件；
3．会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理中的合成、分解问题。
教学重难点
重点：向量的概念与线性运算、坐标运算，共线向量的判定；
难点：向量运算的几何意义理解，几何问题向向量问题的转化。
知识点01 向量的概念
一、向量的概念及表示
1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.表示:
（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段
表示,记作向量
.有向线段的长度
表示向量的大小,有向线段的方
向表示向量的方向.向量
的大小称为向量
的长度(或称模),记作
.
②字母表示:书写时用
表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以
为起点,以
为终点的向量记作
.
3.两个特殊向量:
（1）零向量与非零向量:
长度为0 的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为
，长度不为0 的向
量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于1 个单位长度的向量,叫做单位向量.
二、平行向量与相等向量
1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
平行,记作
.规定:零
向量与任意向量平行,即对于任意向量
,都有
.
2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量
与
相等,记作
.
【即学即练】
1．设
是非零向量，则
是
成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】对于非零向量
，
若
，则
同向，不一定有
；
若
，则
同向，此时
.
所以
是
成立的必要不充分条件.
故选：C
2．（多选）下列说法不正确的有（ ）
A．向量
就是
所在的直线平行于
所在的直线
B．相等向量是长度相等，方向相同的向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
【答案】AD
【详解】对于A：向量
与
平行，包含
所在的直线与
所在的直线平行和重合两种情况，故A 错
误；
对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B 正确；
对于C：零向量与任一向量平行，故C 正确；
对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错误.
故选：AD.
知识点02 向量的加减、数乘运算
一、向量的加法
三角形法则：已知非零向量
,在平面内任取一点
,作
,再作向量
,则向量
叫
做
与
的和,记作
平行四边形法则：已知不共线的两个向量
,在平面内任取一点
,以同一点
为起点的两个已知向
量
,以
为邻边作
,则
就是
与
的和
,
规定：零向量与任意向量
的和,都有
运算律：①交换律：
；②结合律：
二、向量的减法
1.相反向量
（1）定义:与向量
长度相等、方向相反的向量,叫做
的相反向量,记作
,
与
互为相反向量,
（2）性质：①
；②若
互为相反向量,则
；
③
的相反向量是
2.向量的减法
（1）向量的减法的定义:向量
加上
的相反向量,叫做
与
的差,即
,求两个向量差
的运算叫做向量的减法.
（2）运算法则:在平面内取一点O,作
,则
.
（3）几何意义
表示从向量
的终点指向
的终点的向量.
（4）向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终
点的向量；
②一个向量
等于它的终点相对于点
的位置向量
减去它的始点相对于点
的位置向量
或
简记“终点向量减去始点向量”.
三、向量的数乘运算
1.定义:规定实数
与向量
的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作
,它的长度和方向规定
如下:
①
;
②当
时，
的方向与
的方向相同；当
时，
的方向与
的方向相反；当
时，
2.运算律:设
为任意实数,则有①
；②
；
③
特别地,有
.
(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量
以及任意实数
恒有
.
【即学即练】
3．“
”是“实数
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为
或
，
，
所以“
”是“实数
”的必要不充分条件.
故选：B
4．已知O 为
内部一点，
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，
故选：D
知识点03 平面向量的坐标及其运算
一、直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
(1)定义：给定一条直线l 以及这条直线上一个单位向量
，由共线向量基本定理可知，对于直线l 上的
任意一个向量
，一定存在唯一的实数x，使得
，此时，
称为向量
的坐标．
(2)向量的模和方向与x 的关系
为单位向量)．
当
时，
的方向与
的方向相同；
当
时，
是零向量；
当
时，
的方向与
的方向相反．
在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定．
(3)直线上向量的坐标：在直线l 上指定一点O 作为原点，以
的方向为正方向，
的模为单位长度建
立数轴，对于l 上的任意一个向量
，如果我们把它的始点平移到原点O，那么
的终点对应的数就是向
量
的坐标．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量
的坐标分别为
（1）
的充要条件是
.
（2）
的坐标为
，
的坐标为
，
的坐标为
.
（3）设
是数轴上的两点，
是线段AB 的中点，则
二、平面向量的坐标及其运算
1．平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与
轴、y 轴方向相同的两个单位向量
作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量
,有且仅有一对实数x,y,使得
，则有序数对
叫做向量
的坐标.
（4）坐标表示
.
（5）特殊向量的坐标:
2．平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量
则有下表
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的
和
减法
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的
差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来
向量的相应坐标
向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
终点的坐标减去起点的坐标
已知
,则
模
3．平面向量共线的坐标表示
（1）条件:
,其中
；
（2）结论:当且仅当
时,向量
共线.
【即学即练】
5．已知向量
，若
与
同向共线，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【详解】∵
与
共线，
∴
，即
，解得
．
当
时，
，
与
同向共线，符合题意．
当
时，
，
，
与
反向共线，不符合题意，舍去．
综上，
，
故选：A．
6．如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标.
【答案】(3，3)
【详解】设P(x，y)，则
=(x，y)，因为
=(4，4)，
且
共线，所以
，即x=y.
又
=(x-4，y)，
=(-2，6)，且
共线，
则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，
所以点P 的坐标为(3，3).
知识点04 平面向量线性运算的应用
一、向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”.
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
二、向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
（3）动量
是向量的数乘运算.
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
【即学即练】
7．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400 米，一艘船从河岸的A 地出发，向河对岸航行．已知船的
速度
的大小为
，水流速度
的大小为
，船的速度与水流速度的合速度为
，那
么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直
B．
C．
D．该船到达对岸所需时间为3 分钟
【答案】B
【详解】解：如图，
是河对岸一点，且
与河岸垂直，那么当这艘船实际沿
方向行驶时船的航程最短，
，
，故C 错误；
设船头方向与
的夹角为
，则
，则船头方向与水流方向不垂直，故A 错误；
，故B 正确；
该船到达对岸的时间为
分钟，故D 错误．
故选：B.
8．如图所示，分别在平行四边形
的对角线
的延长线和反向延长线上取点
和点
，使
.
试用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
【答案】证明见解析.
【详解】由四边形
是平行四边形，得
，
，
因为
，
，
因此
，显然点
不在直线
上，则
，且
，
所以四边形
是平行四边形.
题型01 向量的概念与辨析
例1．（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．已知非零向量
与
且
，则
与
的方向相同或相反
B．若
，则
C．若
，
，则
D．对任一非零向量
，
是一个单位向量
【答案】AD
【分析】详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A 正确；
对于B，向量无法比较大小，故B 错误；
对于C，若
是零向量，则结论不成立，故C 错误；
对于D，对任一非零向量
，
是一个与
方向相同的单位向量，故D 正确．
故选：AD．
变式1-1．（多选）关于向量
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AB
【分析】详解】
，当且仅当
方向相同或
中至少有一个零向量时等号成立，A 正确；
当
时，
，B 正确；
若
和
无法比较大小，C 错误；
当
时，
与可能不共线，D 错误.
故选：AB.
变式1-2．设
都是非零向量，下列四个条件中，使
成立的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
且
【答案】C
【分析】详解】由
都是非零向量，且
，
因为
和
分别表示与向量
和
同向的单位向量，所以向量
和
的方向相同，
结合选项，可得
成立的充分条件为
.
故选：C.
变式1-3．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且
＝
，
＝
，
＝
.
（1）与
的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与
共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与
，
，
.相等的向量．
【答案】（1）
，
，
，
.（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（3）与
相等的向量有
，
，
；与
相等的向量有
，
，
；与
相等的向量有
，
，
.
【解析】（1）根据正六边形的性质，图形中各线段长度都相等，只要方向相反即可.
（2）根据共线向量定理求解.
（3）根据相等的向量的定义求解.
【详解】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：
，
，
，
.（2）由共
线向量定理得：
，
，
，
，
，
，
，
，
.与
共线.
（3）由相等向量的定义得：与
相等的向量有
，
，
；与
相等的向量有
，
，
；与
相等的向量有
，
，
.
【点睛】本题主要考查平面向量的相关概念和共线向量定理的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析
的能力，属于基础题.
题型02 向量的加、减、数乘运算
例2．在菱形
中，若
，则
．
【答案】1
【分析】详解】因为四边形
为菱形，所以
，
又因为
，所以
是等边三角形，即
.
所以
.
故答案为：1
变式2-1．（多选）下列各式中结果为零向量的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】详解】对于选项A：
，故选项A 错误；
对于选项B：
，故选项B 错误；
对于选项C：
，故选项C
正确；
对于选项D：
，故选项D 正确，
故选：CD．
变式2-2．（1）化简
；
（2）若
，求向量
.
【答案】（1）
；（2）
.
【详解】（1）
；
（2）因为
，故
.
变式2-3．空间内有五点A，P，Q，S，T，则“
”是“Q 为
重心”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】详解】当Q 为
重心时，可得
，
所以
，所以
，
所以
，∴
成立；
设
，如图所示则Q 可不为
重心.
所以“
”是“Q 为
重心”的必要不充分条件.
故选：D.
题型03 向量的线性表示
例3．在
中，
是线段
的中点，
是线段
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】详解】因为
是线段
的中点，所以
.
因为
是线段
的中点，所以
，
则
.
故选：D
变式3-1．设D 为
所在平面内一点，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】详解】由
，则
，
，
三点共线且
，如图所示：
所以
，即
，
所以
．
故选：C．
变式3-2．在平行四边形ABCD 中，点G 在AC 上，且满足
，若
，则
.
【答案】1
【分析】详解】
，则
，
，
所以
.
故答案为：1
变式3-3．在梯形ABCD 中，
，
，
与
相交于点
，则下列结论错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对A：
，故A 正确；
对B：由
，故
，故
，
则
，故B 正确；
对C：由
，故
，
故C 错误；
对D：
，故D 正确.
故选：C.
题型04 向量共线定理证明点共线问题
例4．已知平面向量
不共线，
，
，
，则（ ）
A．A，B，C 三点共线
B．A，B，D 三点共线
C．B，C，D 三点共线
D．A，C，D 三点共线
【答案】B
【分析】详解】A：
，因为
，且平面向量
不共线，
所以不存在实数
，使得
，因此本选项三点不共线；
B：
，因为
，所以本选项三点共线；
C：
，因为
，且平面向量
不共线，
所以不存在实数
，使得
，因此本选项三点不共线；
D：由上可知：
，
，因为
，且平面向量
不共线，
显然不存在实数
，使得
，因此本选项三点不共线，
故选：B
变式4-1．设
，
，
，
为平面四个不同点，它们满足
，则（ ）
A．
，
，
三点共线
B．
，
，
三点共线
C．
，
，
三点共线
D．
，
，
三点共线
【答案】A
【分析】详解】因为
，
所以
，即
，
所以
，所以
，所以
，
，
三点共线.
故选：A
变式4-2．已知向量
，
不共线，且
，
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求证：
，
，
三点共线．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）若
，则
，即
，
可得
，解得
，
，
所以
.
（2）若
，则
，
所以
，
，
所以
，则
，
，
三点共线．
变式4-3．如图，在
中，
，
，点
是
的中点，点
在
上，且
，求证：
、
、
三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】详解】证明：设
，
，
由已知点
是
的中点，点
在
上，且
，
，
，
、
、
三点共线.
题型05 向量共线定理证明平行问题
例5．已知
、
、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且
与是平行向量，
与
是
平行向量，求证：
与
是平行向量．
【答案】证明见解析
【分析】详解】由题意可设
，
，
则有
，而
不共线，
即有
，即
，则
，
故
与
是平行向量.
变式5-1．设
，
为非零向量，则“
”是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】详解】
表示
方向上的单位向量.
若
，则
与
同向，所以
，即
；
若
，当
与
同向时，
；当
与
反向时，
，
即
.
故选：A.
变式5-2．
是
所在平面上一点，满足
，则
的面积与
的面积的比
值为 .
【答案】
【详解】由
得
，
，
，且
，
设
的边
上的高为，
则
，
，
的面积与
的面积的比值为
.
故答案为：
.
变式5-3．已知三角形
中，点
在线段
上，且
，延长
到
，使
.设
，
.
（1）用
表示向量
，
；
（2）设向量
，求证：
，并求
的值
【答案】（1）
，
（2）证明见解析；
【详解】解：（1）
为
的中点，
，
可得
，
而
（2）由（1）得
故
，故
题型06 平面向量基本定理的理解
例6．如图，
为
中
边的中点，过点
的直线与
所在直线分别交于点
，满足
，若
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】详解】连接
，则
，
因为
三点共线，所以
，
又因为
，
可得
，
所以
，得
，所以
，
解得
，可得
.
故答案为：
.
变式6-1．已知点G 为
的重心，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．3
【答案】B
【分析】详解】如下图所示，延长
交
于点
，
易知
为
的中点，且
又
，
因为
，且
不共线，所以可知
；
因此
.
故选：B
变式6-2．（多选）设
，
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】ABD
【分析】详解】对于
：由
可得
和
不共线，
所以
和
能作为基底，故
正确；
对于
：由
可得
和
不共线，
所以
和
能作为基底，故
正确；
对于
：由
，可得
，
所以
和
共线，故不能作为基底，故
错误；
对于
：由
可得
和
不共线，
所以
和
能作为基底，故
正确.
故选：
.
变式6-3．在平行四边形
中，
，
是线段DE 的中点，连接
交
于O，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】详解】
，
又因为
，所以
，
设
，则
，
所以
，解得
，
故选：B.
题型07 向量的坐标运算
例7．设点
，
，若点P 在直线AB 上，且
，则点P 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】详解】∵
，
，∴
．
∵点P 在直线AB 上，且
，∴
或
，
故
或
，故点P 的坐标为
或
.
故选：D．
变式7-1．在平行四边形
中，
为对角线，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】详解】因为四边形
是平行四边形，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：A.
变式7-2．（1）已知数轴上A，B 两点的坐标依次为
，
，则
对应的坐标为 ，
.
（2）已知
，则
的坐标是 .
【答案】
7
【详解】（1）由题意
，且
；
（2）由
，则
.
故答案为：
；7；
.
变式7-3．如图，点
均在正方形网格的格点上.若
，则
.
【答案】
/
【分析】详解】以A 为原点，
为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
不妨设小正方形的边长为1，则
，
所以，
，
则有
，
所以
，解得
，
所以
.
故答案为：
题型08 坐标法解决向量共线问题
例8．已知
，且
三点共线，则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】详解】∵
，
，
，
∴
，
又
，
，
三点共线，∴
，
，
∴
，
∴
，又
，
∴
，当
时取等号，
即
的最小值为2.
故选：C.
变式8-1．已知向量
，
，若
与
共线，则实数m=（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【分析】详解】由题意得，
，所以
.
故选：D．
变式8-2．已知向量
，
，则“
”是“
与
共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】详解】向量
，
，
若
与
共线，则
.解得
或
，
所以“
”是“
与
共线”的充分不必要条件，
故选：A.
变式8-3．已知
是平面内两个不共线的非零向量，
，
，
，且
三点共线．
(1)求实数
的值；
(2)若
，
，求
的坐标；
(3)已知点
，在（2）的条件下，若
四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
因为
三点共线，所以存在实数
使得
，即
，
又因为
是平面内两个不共线的非零向量，
所以
，解得
.
（2）由（1）可知
，
，
所以
，
若
，
，则
.
（3）由
四点按逆时针顺序构成平行四边形可得
，
设
，则
，由（2）得
，
所以
，解得
，
所以
.
题型09 向量在几何中的应用
例9．在四边形
中，
，设
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】详解】如图所示，过
作
，又
．
∴四边形
是平行四边形．
， 又
，
，
又
，则
.
故选：B．
变式9-1．设
是
的外心，点
满足
，则
是
的（ ）
A．内心
B．任意一点
C．垂心
D．重心
【答案】C
【详解】由题可得
，
由于
是
的外心，设
为线段
的中点，
故
且
，即
，
所以
，同理
，
，故
是
的垂心．
故选：C.
变式9-2．已知点O 是
内一点，
，则
.
【答案】
【分析】详解】令
，
，
，所以O 为
的重心，则
.
因为
，
，
，所以
.
故答案为：
.
变式9-3．如图，已知
是平行四边形
对角线的交点，过点
的两条直线分别交四边于
四
点，用向量证明四边形
是平行四边形．
【答案】证明见解析
【详解】证法1：因为
，
，
且
，所以
．
因为
，
且
和
不共线，所以
，
同理
，
所以四边形
是平行四边形．
证法2：根据角边角可得
，
，
所以
，
，所以
，
所以四边形
是平行四边形．
题型10 向量在物理中的应用
例10．已知一个物体在三个力
的作用下处于静止状态，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】详解】因为该物体静止，即受力平衡，三个力的合力为
，即
，
所以
.
故选：A.
变式10-1．用两条成
角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重
，则每根绳子的拉力大小为
（ ）N
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】详解】如图所示，可得
，
，且
，
所以
为等边三角形，
所以
，即每根绳子的拉力大小为
.
故选：A.
变式10-2．如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A 点出发，向河对岸航行.已
知轮船在静水中的速度
的大小为
，水流速度
的大小为
.设
，
的夹角为
，
当轮船的航程最短时，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】详解】如图所示，当
与
的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，
则
，
又
，故
，
.
故选：C
变式10-3．一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的
地出发，向河对岸航行．已知船的
速度
的大小为
，水流速度
的大小为
，若船的航程最短，则行驶完全程需要的
时间
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度
与水流速度
垂直，
作
，
，以
、
为邻边作平行四边形
，如下图所示：
由题意可知，
，且
，
，
由勾股定理可得
，
因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间
，
则
.
故选：B.
一、单选题
1．已知
是两个不共线的向量，
，若A，B，C 三点共线，则实数k 的值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】A
【详解】
三点共线，
可设
，
即
，
，解得：
.
故选：
.
2．已知点G 为
的重心，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．3
【答案】B
【详解】因为点G 为
的重心，所以
，
所以
，所以
，
所以
，又
，所以
，
所以
.
故选：B.
3．如图，在正六边形
中，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】连接
、
、
交于点
，如下图所示：
由正六边形的几何性质可知
、
、
、
、
、
均为等边三角形，
因为
，故四边形
为菱形，
同理可知，四边形
也为菱形，所以
，故
，
故
，
故选：A.
4．如图，在
中，
，P 是
上一点，若
，则实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
，
，
，
是线段
上一点，
三点共线，
，
解得
.
故选A.
5．如图，一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的
地出发，向河对岸航行．已知船在静
水中的速度
的大小为
，水流速度
的大小为
．设这艘船行驶方向与水流方向
的夹角为
，行驶完全程需要的时间为
，若船的航程最短，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图，设
，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直，
由图可知
，所以
，故
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
（
），故
.
故选：D.
6．在平行四边形
中，
，
分别是
，
的中点，点
在线段
上.若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，作出符合题意的图形，
因为
，
分别是
，
的中点，
所以
，
，
则
，
因为点
在线段
上，设
，
则
，
若
，则
，
，
所以
，当
时，
有最大值为
.
故选：C
7．在平行四边形
中，点E、F 分别是
边的中点，
分别与
交于R、T 两点，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
【详解】方法一：设
，
且B，T，F 三点共线，
，解得
；
方法二：
，
所以
，
同理
，
，
故
，
所以
.
故选：B.
二、多选题
8．下列能化简为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A，
，正确；
对于B，
，正确；
对于C，
，正确；
对于D，
，不正确.
故选：ABC.
9．已知
是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与
共线的单位向量是
C．若
，则
共线
D．若
，则
【答案】ACD
【详解】由相反向量的定义可知A 正确；
与
共线的单位向量是
，故B 错误；
由向量共线定理可知，
共线，又
有公共点
，则
共线，则C 正确；
由
可得
，所以
，D 正确.
故选：ACD.
10．已知在等腰梯形ABCD 中，
，
，点P，Q 分别是AB，BC 所在直线上的动
点，且
，
，连接PQ 并延长与DC 的延长线交于点M，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若ADMP 为平行四边形，则
D．若
，则
【答案】BC
【详解】因为
，所以
，
，
，A 错误；
因为
，所以
，
，
，B 正确；
过
作
，在等腰梯形ABCD 中，
，所以
，
当四边形ADMP 为平行四边形时，
，即
，
所以
，即
，又
，所以
，C 正确；
当
时，C 是DM 的中点，则
，
因为点P，Q，M 共线，所以
，故
，D 错误．
故选：BC.
三、填空题
11．已知向量
，
，则
．
【答案】
【详解】
，
，
．
故答案为：
．
12．已知点
在线段
上，且
，则
；
（
为直线
外一点）．
【答案】
/
/
/
【详解】由题意得，
，即
，则
；
由
得，
，则
．
故答案为：
；
；
13．已知
为
的外心，
，
，
．若
，则
．
【答案】
【分析】
【详解】解法1：如图，设
，
，
，
作
于点
于点
．
易知
，其中
，
由已知条件可求得
，
，
故
．
解法2：由
得
解得
故
．
解法3：以
为圆心，作平面直角坐标系如图所示，则
，
，
，
因为外心
是
的中垂线
和
的中垂线
的交点，
则
，得
，
，
，
从而有
故
．
故答案为：
.
四、解答题
14．设
，
是两个不共线的向量，已知
，
，
．
(1)求证：
，
，
三点共线；
(2)若
，且
，求实数
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
，
所以
，即
，
又
与
有公共点
，所以
，
，
三点共线．
（2）由（1）可知
，又
，
因为
，设
，
，又
，
是两个不共线的向量，
所以
，解得
．
15．已知向量
，
.
(1)若向量
，求实数
的值；
(2)若向量
满足
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由
，
，
得
，
，
因为
，
所以
，解得
.
（2）由
，
，
，
则
，
由
，则
，
解得
，即
，则
.
16．在
中，点
在线段
上，满足
，过线段
中点
的直线与边
，
分别交于点
，设
，
．
(1)用
表示
；
(2)设
的面积为
，四边形
的面积为
，求
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，即
，
点
是线段
的中点，所以
，
故
；
（2）因为
三点共线，所以存在实数
使得
，所以
，即
，
又因为
，
，所以
，
由（1）知
，所以
，所以
，即
,
根据基本不等式，
，所以
，当且仅当
即
时等
号成立，所以
，
的面积为
，
四边形
的面积为
，
所以
，
故
的最小值为
.
