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6.3 数列求和（讲义）
目录
1
知识点01 公式法........................................................................................2
2
知识点02 裂项相消....................................................................................2
3
知识点03 错位相减....................................................................................3
4
知识点04 倒序相加....................................................................................3
5
知识点05 分组求和....................................................................................4
6
题型一、裂项相消.....................................................................................4
7
题型二、错位相减.....................................................................................7
8
题型三、倒序相加...................................................................................10
9
题型四、分组求和...................................................................................12
1 知识点01 公式法
(1)
等差数列{an}的前n 项和Sn= n(a1+an)
2
=na1+ n(n+1)
2
d
(2)
等比数列{an}的前n 项和Sn={
& na1，q =1
& a1(1-q
n)
1-q
，q≠1
(3)
一些常见的数列的前n 项和：
①∑
k =1
n
k =1+2+3+⋯+n= 1
2 n(n+1)；
②∑
k =1
n
2k =2+ 4 +6+⋯+2n=n(n+1)
③∑
k =1
n
(2k -1)=1+3+5+⋯+(2n-1)=n
2；
④∑
k =1
n
k
2=1
2+2
2+3
2+⋯+n
2= 1
6 n(n+1)(2n+1)；
⑤∑
k =1
n
k
3=1
3+2
3+3
3+⋯+n
3=[ n(n+1)
2
]
2
2 知识点02 裂项相消
(1)
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一
些项可以相互抵消，从而求得前n 项和
(2)
常见的裂项技巧
①
1
n(n+1) = 1
n -
1
n+1
②
1
n(n+k ) = 1
k ( 1
n -
1
n+k )
【例题】记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=85，且a6=7a1．
(1)求an和Sn；
(2)设bn=
5
anan+1，求数列{bn}
前n项和T n．
【详解】（1）设{an}的公差为d，因为S5= 5(a1+a5)
2
=5a3=85，所以a3=17，
又a6=7 a1，所以17+3d =7(17-2d)，解得d =6，
所以an=a3+(n-3)d =17+(n-3)×6=6n-1，
Sn= n(a1+an)
2
= n(5+6n-1)
2
=3n
2+2n．
（2）bn=
5
anan+1
=
5
(6n-1)(6n+5) = 5
6(
1
6n-1 -
1
6n+5)
，
所以T n= 5
6(
1
5 - 1
11 + 1
11 - 1
17 +⋯+
1
6n-7 -
1
6n-1 +
1
6n-1 -
1
6n+5)
= 5
6(
1
5 -
1
6n+5)=
n
6n+5
．
3 知识点03 错位相减
错位相减法：如果一个数列由等差数列和等比数列的积或者商构成的，那
么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
【例题】等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a3=10，4 a3
2=a2⋅a6.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{n⋅an}的前n项和T n.
【详解】解：（1）设数列{an}的公比为q，
则q>0，由4 a3
2=a2⋅a6=a4
2
得：q
2= 4，所以q =2.
由a1+a3=a1+ 4 a1=5a1=10，得到a1=2
所以数列{an}的通项公式为an=2
n.
（2）由条件知，
①T n=1×2+2×2
2+3×2
3+⋯+n×2
n
②2T n=1×2
2+2×2
3+3×2
4+⋯+n×2
n+1
①-②得：
-T n=2+2
2+2
3+⋯+2
n-n×2
n+1=2(2
n-1)-n×2
n+1=(1-n)2
n+1-2
所以T n=(n-1)2
n+1+2.
4 知识点04 倒序相加
倒序相加法：如果数列
与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于
同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
【例题】如何推导等差数列{an}的前n 项和公式？
【详解】设等差数列{an}的前n 项和为Sn，
则Sn=a1+a2+a3+⋯+an-1+an，①
则Sn=an+an-1+⋯+a3+a2+a1，②，
其中a1+an=a2+an-1=a3+an-2=⋯=an+a1，
式子①+②得，2Sn=n(a1+an)，
故Sn= n(a1+an)
2
，
5 知识点05 分组求和
分组求和法：如果一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的
数列组成的，则求和时可分别求和后相加减
【例题】在数列{an}中，a1=2，an+1=3an-2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=an+n，求数列{bn}的前n 项和Sn．
【详解】（1）因为an+1=3an-2⇒an+1-1=3(an-1)，
所以数列{an-1}是以a1-1=1为首项，3 为公比的等比数列，
所以an-1=3
n-1，所以an=3
n-1+1；
（2）因为bn=an+n=3
n-1+(n+1)，
所以Sn= 1-3
n
1-3 + n(2+n+1)
2
= 3
n-1+n(n+3)
2
.
6 题型一、裂项相消
一、单选题
1．数列1
2×5，
1
5×8，
1
8×11，…，
1
(3n-1)×(3n+2)，…的前n 项和为
（ ）
A．
n
3n+2
B．
n
6n+ 4
C．3n
6n+ 4
D．n+1
n+2
2．等差数列{an}中，a2= 4，它的前n项和Sn=n
2+ kn ，则1
S1
+ 1
S2
+⋯+ 1
S100
=
（ ）
A．100
101
B．1
101
C．101
100
D．99
100
3．已知数列{an}为等差数列，且a2=2，a6=6，则
1
a1a2
+
1
a2a3
+⋅⋅⋅+
1
a20a21
=（ ）
A．18
19
B．19
20
C．20
21
D．21
22
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=
1
n
2+n，则S5=（ ）
A．1
B．1
6
C．5
6
D．4
5
5．若数列{an}满足an=
1
n(n+1)，则{an}的前2022 项和为（ ）
A．
1
2023
B．2022
2023
C．
1
2022
D．2021
2022
6．设bn=
1
anan+1，且an=n，则数列{bn}的前n项和T n是（ ）
A．T n=
n
n+1
B．T n=n(n+1)
C．T n=
1
n
2+2n
D．T n=
n
2n+3
7．化简式子1
1×3 +
1
3×5 +
1
5×7 +⋅⋅⋅+
1
2023×2025，得（ ）
A．2022
2025
B．2024
2025
C．1011
2025
D．1012
2025
8．若数列{an}的通项公式为an=n
2+n，则1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
a100
=（ ）
A．100
101
B．1
101
C．101
100
D．99
100
二、填空题
9．1
1×2 +
1
2×3 +
1
3×4 +⋅⋅⋅+
1
9×10 = .
10．已知an=
2
n
2+n
(n∈N +)，则数列{an}的前n项和Sn= ．
11．已知数列{an}满足a1=2,an+1-an=2n+2(n∈N +)，则数列{
1
an}
的前4 项
的和为 ．
三、解答题
12．已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1=-11，a2=-9，且
Sn+1+ Sn-1=2Sn+2(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知bn=
1
anan+1，求数列{bn}的前n 项和T n．
13．已知数列{an}是公比为2 的等比数列，且a3是a1与a4-1的等差中项.
(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)设bn=
1
log2an+1⋅log2an+2，求数列{bn} 的前n项和T n.
14．已知数列{an}各项均为正数，且a1=2,an+1
2
-2an+1=an
2+2an．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记数列{
1
anan+2}
前n项的和为Sn，求Sn的取值范围．
15．已知数列{an},an>0,a1=2,an+1
2
-an
2=an+1+an.
(1)证明：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{
1
an(an-1)}
的前n项和T n.
16．已知数列{an}是公差为2 的等差数列，且a3是a1与9的等差中项.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求1
a1a2
+
1
a2a3
+
1
a3a4
+⋯+
1
a19a20的值.
7 题型二、错位相减
一、单选题
1．数列1×2
1，2×2
2，3×2
3，…，的前n项之和为Sn，则Sn等于
A．(n-1)⋅2
n+1-2
B．(n-1)2
n+1+2
C．n⋅2
n+2 D．n2
n+1-2
2．已知数列
满足a2=102,an+1-an= 4 n, (n∈N
*)，则数列{an
n }的最小
值是
A．25
B．26
C．27
D．28
3．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前
n 项和为（ ）
A．-3+(n+1)×2n
B．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2n
D．1+(n-1)×2n
4．数列{an}的通项an=n×2
n，数列{an}的前n 项和Sn 为（ ）
A．n×2
n+1
B．n×2
n+1-2
C．(n-1)×2
n+1+2
D．n×2
n+1+2
5．化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×2
2+⋯+2×2
n-2+2
n-1的结果是（ ）
A．2
n+1+n-2
B．2
n+1-n+2
C．2
n-n-2
D．2
n+1-n-2
6． Sn= 1
2 + 2
4 + 3
8 +⋯+ n
2
n =（ ）
A．2
n-n
2
n
B．2
n+1-n-2
2
n
C．2
n-n+1
2
n+1
D．2
n+1-n+2
2
n
7．数列{n⋅2
n}的前n项和等于（ ）
A．(n-1)⋅2
n-2
n+2
B．(n-1)⋅2
n+1+2
C．(n-1)⋅2
n
D．(n-1)⋅2
n+1
8．19× 1
2 +17× 1
2
2 +15× 1
2
3 +⋯+1× 1
2
10 =（ ）
A．18+ 3
2
11 B．17+ 3
2
11
C．18+ 3
2
10
D．17+ 3
2
10
二、填空题
9．已知数列{cn}的通项公式为cn=(2n-1)⋅3
n，则数列{cn}的前n项和Sn=
.
10．已知an= 1
2 n+1，数列{
an
2
n}
前n项和Sn= ．
11．若an= 1
2
n，则数列{n⋅an}的前n 项和Sn= ．
三、解答题
12．已知Sn､T n分别是等差数列{an}和等比数列{bn}的前n项和，S5=15，
b2b4=64 ,a2=b1,S3=T 2．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若{bn}为递增数列，cn=anbn，求数列{cn}的前n项和An．
13．已知数列{an}的前n项和为Sn=3
n-1，数列{bn}满足，b1=-1，
bn+1=bn+(2n-1)(n∈N
+).
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列{bn}的通项公式bn；
(3)若cn= an⋅bn
2n
，求数列{cn}的前n项和T n.
14．已知{an}为等比数列，a1=1, 2a2是4 a1，a3的等差中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和．
8 题型三、倒序相加
一、单选题
1．已知一个有限项的等差数列{an}，前4 项的和是40，最后4 项的和是
80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
2．已知数列
满足a2=102,an+1-an= 4 n, (n∈N
*)，则数列{an
n }的最小
值是
A．25
B．26
C．27
D．28
3．已知数列{an}中，an= 2n-98
2n-99，则S =a1+a2+⋯+a97+a98=（ ）
A．96
B．97
C．98
D．99
4．已知数列{an}中，an=1+
1
2n-97，则S =a1+a2+⋯+a95+a96=（ ）
A．96
B．97
C．98
D．99
5．已知某数列的通项an=¿，则a1+a2+⋯+a51=（ ）
A．48
B．49
C．50
D．51
二、填空题
6．若f (x)= 3 x -2
2 x -1
，则f(
1
11)+ f(
2
11)+ f(
3
11)+⋯+ f(
10
11)= .
7．已知函数f (x)=
1
1+ x ，则
f(
1
9)+ f(
1
8)+…+ f(
1
2)+ f (1)+ f (2)+…+ f (8)+ f (9)= ．
8．在数列{an}中，an=
1
1+2
2011-2n，则S =a1+a2+…+a2010的值是 .
三、解答题
9．设数列{an}是公差为d的等差数列．
（1）推导{an}的前n项和Sn公式；
（2）证明数列{
Sn
n }
是等差数列．
10．已知f (n)=a1+a2Cn
1+⋯+a❑
rCn
r -1+⋯an+1Cn
n(n∈N
*).
（1）若an=n-1，求f (n)；
（2）若an=3
n-1，求f (20)除以5 的余数
9 题型四、分组求和
一、单选题
1．已知等差数列{an}满足：a3=10，a7=22，则数列{(-1)
n+1⋅an}的前40
项和为
A．-60
B．60
C．-120
D．120
2．数列1 1
2 ,2 1
4 ,3 1
8 ,4 1
16…的前n项和为
A．1
2 (n
2+n+1)- 1
2
n
B．1
2 n(n+1)+1- 1
2
n+1
C．1
2 (n
2+n+2)- 1
2
n
D．1
2 n(n+1)+2(1- 1
2
n)
3．数列{an}的前n 项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则
S17＝（ ）
A．9
B．8
C．17
D．16
4．若数列{an}的通项公式是an=(-1)
n(3n-1)，则a1+a2+···+a10=（ ）
A．15
B．12
C．-12
D．-15
5．已知数列{an}的通项公式an= 2
n-1
2
n
，则数列{an}的前5 项和S5等于（ ）
A．31
32
B．25
16
C．129
32
D．211
32
6．数列{an}的前n 项和为Sn，且an=(-1)
n+1⋅(2n+1)，则S2021=（ ）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
7．若数列{an}的通项公式为an=2
n+2n-1，则数列{an}的前n 项和Sn为
（ ）
A．2
n+n
2-2
B．2
n+1+n
2-2
C．2
n+n
2-1
D．2
n+1+n
2-1
二、填空题
8．若数列{an}的前n 项和为Sn，an=2
n-1+(-1)
n(2n-1)，则2a100- S100的值
为 .
9．若数列{an}的通项公式是an=(-1)
n(3n-2)，则a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2020=
.
10．数列{an}中，an=(-1)
nn，则a1+a2+⋯⋯+a10=
11．已知在前n项和为Sn的数列{an}中，a1=1，an+1=-an-2，则S101=
．
三、解答题
12．在数列{an}中，a1= 4，an+1= 4 an-3n+1，n∈N
*．
(1)设bn=an-n，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
13．在递增的等比数列{an}中，a1⋅a2=8，a1+a2=6，其中n∈N
*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=2an+3，求数列{bn}的前n 项和T n.
14．设有数列{an}，a1= 5
6，若以a1，a2，a3，…，an为系数的二次方程
an-1 x
2-an x -1=0都有根α，β，且满足3α +αβ +3 β =1.
(1)求证：数列{an- 1
2}
是等比数列；
(2)求数列{an}的通项an以及其前n项和Sn.
15．已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=3an+2n-1.
(1)证明：数列{an+n}为等比数列；
(2)求数列{an}的前n 项和.
