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5.6 复数
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i 是虚数单位，实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，
b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi 与c＋di 互为共轭复数⇔a＝c 且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi 的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi 与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝
OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
[常用结论]
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4．复数z 的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r 为半径的圆．
5．若ω＝－±i，则
(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0.
6．z＝⇔z∈R.
考点一 复数的有关概念（实部与虚部）
考点二 复数的四则运算
考点三 复数的分类（纯虚数）
考点四 复数相等的问题
考点五 共轭复数的问题
考点六 复数的几何意义（坐标）
考点七 复数的模长
考点八 复数的三角表示
考点一 复数的有关概念（实部与虚部）
1．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）复数
的虚部为______．
2．（25-26 高三上·北京·期中）在复平面内，点
对应的复数为
，则复数
的虚部为__________.
3．（25-26 高三上·江苏南京·期中）（多选）已知复数
（为虚数单位），则下列说法错误的是（ ）
A．
的实部为1
B．
的虚部为
C．
D．
4．（25-26 高三上·湖南长沙·期中）（多选）已知复数
，则下列叙述正确的是（ ）
A．z 的实部为1
B．z 的共轭复数为
C．
D．
考点二 复数的四则运算
5．（25-26 高二下·广东广州·期末）
（i 为虚数单位）的展开式中，实系数之和为________．
6．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·黑龙江大庆·阶段检测）复数
，
，为虚数单位，则复数
在复平面内对
应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．（25-26 高三上·河北沧州·阶段检测）已知复数
，
.
(1)求
；
(2)求
；
(3)若
，求
.
9．（25-26 高三上·重庆·期中）设复数
，
满足
，且
，则
____________．
10．（25-26 高三上·浙江温州·期中）若
是关于
的方程
的复数根，则
____________．
考点三 复数的分类（纯虚数）
11．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知是虚数单位，复数
．
(1)若
是实数，求
的值；
(2)若
是纯虚数，求
的值；
(3)若
在复平面内对应的点位于第二象限，求
的取值范围．
12．（25-26 高三上·上海浦东新·期末）已知为虚数单位，
为实数，复数
．
(1)当
时，求
的模
和
；
(2)若
为实数，求
的值．
13．（25-26 高三上·上海普陀·期末）若复数
，则实数
的取值为__________.
14．（25-26 高三上·湖北·期中）设实数
，复数
．
(1)若复数
是纯虚数，求实数
的值；
(2)当
时，复数
是方程
的一个根，求实数
，
的值．
15．（25-26 高三上·上海浦东新·期末）设
，则“
”是“复数
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
16．（25-26 高三上·江苏·期中）若复数
是纯虚数，则实数m 的值为______．
考点四 复数相等的问题
17．（25-26 高三上·上海·期中）已知
，其中为虚数单位，则
______.
18．（25-26 高二下·广东广州·期末）复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2026·湖北·三模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．i
B．
C．
D．
20．（25-26 高三上·云南·期末）已知复数
是关于
的方程
的根，则
_________________.
21．（25-26 高三上·山东菏泽·期中）（1）若
，求实数
、
的值；
（2）已知
成立，求实数
的值；
（3）若关于
的方程
有实根，求正实数
的值.
22．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知复数
，则
__________.
考点五 共轭复数的问题
23．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）已知复数z 的共轭复数为
，且
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．6
24．（2026·北京·三模）已知复数
，则复平面内，复数z 的共轭复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
25．（2026·江西南昌·模拟预测）已知复数
满足条件
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2026·山东济南·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（25-26 高三上·安徽阜阳·阶段检测）若复数
满足
（i 为虚数单位），则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2026 高二下·浙江温州·学业考试）已知为虚数单位，复数
，则
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六 复数的几何意义（坐标）
29．（25-26 高二下·贵州·阶段检测）已知复数
，
，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
30．（25-26 高三上·上海·期中）在复平面内，把复数
对应的向量按逆时针方向旋转
，所得向量对应的复数
是___．
31．（25-26 高三上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知复数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
对应的点在第四象限
B．
C．
的共轭复数为
D．
的虚部为1
32．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）（多选）若复数
，则（）
A．
B．
的虚部为
C．
在复平面内对应的点位于第四象限D．
是方程
的复数根
33．（25-26 高三上·四川乐山·阶段检测）已知复数z 满足
，则z 在复平面内对应的点所在的象限为
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
34．（25-26 高三上·福建厦门·期中）（多选）下列关于复数
的四个命题，其中为真命题的是（ ）
A．
B．
的虚部为
C．
在复平面内对应的点在第三象限
D．
考点七 复数的模长
35．（25-26 高三上·四川泸州·期中）已知为虚数单位，复数
满足
，则
的共轭复数
的模为（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（25-26 高三上·上海奉贤·期中）已知
，
，且
，则
________．
37．（25-26 高三上·重庆·期中）已知复数
（
为实数），且
，则复数
在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
38．（25-26 高三上·陕西榆林·期中）若复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
39．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）设复数
的共轭复数为
，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
的最大值为
40．（25-26 高三上·湖南邵阳·期中）已知复数z 满足
，且
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．
考点八 复数的三角表示
41．（2026·山东滨州·一模）（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞
士数学家欧拉于1748 年提出了著名的欧拉公式：
为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．
其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的
关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ）
A．
的虚部为
B．
在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．若
在复平面内分别对应点
，则
面积的最大值为
42．（25-26 高二·全国·暑假作业）任何一个复数
（其中
，为虚数单位）都可以表示成：
的形式，通常称之为复数
的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若
，
时，则
________；对于
，
，
________．
43．（25-26 高三上·江苏南京·期中）任何一个复数
（其中
为虚数单位）都可以表示成三角形式
（其中
，
），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：
.已知复数
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
44．（25-26 高三上·湖北武汉·期中）欧拉公式
（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著
名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
45．（25-26 高三上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）设
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
46．（25-26 高三上·四川成都·期中）（多选）欧拉公式
巧妙地将复数、指数函数与三角函
数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论
中正确的有（ ）
A．
，使得
B．
当且仅当
时成立
C．
与
互为共轭复数
D．
，
，
1．（25-26 高三上·江苏·期中）已知复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·全国二卷·高考真题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·浙江温州·阶段检测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·湖南邵阳·模拟预测）是虚数单位，复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（2026·北京·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．8
7．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P 对应复数
．将点
绕原点逆时针旋转
，再关于实轴对称，所得
点对应复数
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数
，则
为（ ）
A．
B．
C．5
D．
9．（25-26 高三上·海南·阶段检测）（多选）已知复数
（为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．
的对应点在第三象限
B．
的虚部为
C．
D．满足
的复数
对应的点在以原点为圆心，
为半径的圆上
10．（26-27 高二·全国·暑假作业）（多选）已知复数
（i 为虚数单位），则（ ）
A．
的共轭复数为
B．
的虚部为
C．
D．
11．（25-26 高三上·浙江金华·阶段检测）（多选）复数
，
，已知
，
，下列说法正确的是
（ ）
A．复平面内与
对应的点在第三象限
B．
C．
D．
12．（25-26 高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（多选）已知复数
（i 为虚数单位），则 （ ）
A．
的共轭复数为
B．
的虚部为
C．
D．
13．（25-26 高三上·山东淄博·期中）（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
互为共轭复数，
，则
C．若复数
满足
，则
的最大值为
D．若复数
是实系数方程
的一个根，则
14．（25-26 高三上·广东中山·阶段检测）（多选）若
，
为复数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（25-26 高二下·上海静安·期末）若复数
（其中是虚数单位）的实部、虚部均为
十个数
字中的一个，则该复数为纯虚数的概率是___________．
16．（25-26 高三上·上海·期中）已知直角三角形ABC 的顶点坐标分别为
，若虚数
是实系数一元二次方程
的根，则实数
__________
17．（25-26 高三上·宁夏银川·期中）已知复数
，复数
在复平面内对应的点为
．
(1)若复数
是关于
的方程
的一个根，
，求
的值：
(2)若复数
满足
，求复数
的共轭复数
．
18．（25-26 高三上·上海闵行·期中）已知复数
（
、
）满足
，且
的取值范围为
；复数
满足
．
(1)求
的取值范围；
(2)若
、
恰为实系数一元二次方程
的两个根，求
的值；
(3)在复平面上，复数
对应点
，复数
对应点
，求
在
方向上的数量投影的取值范围．
