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5.6 复数
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i 是虚数单位，实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，
b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi 与c＋di 互为共轭复数⇔a＝c 且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi 的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi 与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝
OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
[常用结论]
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4．复数z 的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r 为半径的圆．
5．若ω＝－±i，则
(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0.
6．z＝⇔z∈R.
考点一 复数的有关概念（实部与虚部）
考点二 复数的四则运算
考点三 复数的分类（纯虚数）
考点四 复数相等的问题
考点五 共轭复数的问题
考点六 复数的几何意义（坐标）
考点七 复数的模长
考点八 复数的三角表示
考点一 复数的有关概念（实部与虚部）
1．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）复数
的虚部为______．
【答案】
【详解】因为
，所以
的虚部为
.
2．（25-26 高三上·北京·期中）在复平面内，点
对应的复数为
，则复数
的虚部为__________.
【答案】
/
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的概念及复数的乘法和除法运算计算即可.
【详解】由题意知
，则
，
所以
，故虚部为
.
3．（25-26 高三上·江苏南京·期中）（多选）已知复数
（为虚数单位），则下列说法错误的是（ ）
A．
的实部为1
B．
的虚部为
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据实部、虚部的定义，可判断A、B 的正误；根据求模公式及共轭复数
的定义，可判断C、D 的正误.
【详解】由题意
，
所以z 的实部为1，虚部为1，故A 正确，B 错误，
模为
，共轭复数为
，故C 正确，D 错误.
4．（25-26 高三上·湖南长沙·期中）（多选）已知复数
，则下列叙述正确的是（ ）
A．z 的实部为1
B．z 的共轭复数为
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A，因为
，所以
，所以A 正确.
对于B，因为
，所以z 的共轭复数为
，所以B 正确.
对于C，
，所以C 正确.
对于D，
，所以D 错误.
考点二 复数的四则运算
5．（25-26 高二下·广东广州·期末）
（i 为虚数单位）的展开式中，实系数之和为________．
【答案】
【分析】用赋值法计算展开式系数和的实部，即可得到实系数之和.
【详解】令
，得
展开式所有项系数和为
，
计算得
，故
，其对应实部为
，即实系数之和为
.
6．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A 选项，复数
的共轭复数
，因此
，A 选项正确.
对于B 选项，复数的模
，因此
，B 选项错误.
对于C 选项，∵
，
∴
，该选项正确.
对于D 选项，
∵ 分子
，分母
，
∴
，
是实数，故
，该选项正确.
7．（25-26 高三上·黑龙江大庆·阶段检测）复数
，
，为虚数单位，则复数
在复平面内对
应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的加减法和复数的几何意义即可得到答案.
【详解】由题意得
，
则
在复平面内对应的点的坐标为
，则其位于第四象限.
8．（25-26 高三上·河北沧州·阶段检测）已知复数
，
.
(1)求
；
(2)求
；
(3)若
，求
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出
，再根据复数模的计算公式求其模；
（2）根据复数乘法的运算法则计算
；
（3）先求出
，再根据共轭复数的定义求出
.
【详解】（1）
，
.
（2）
.
（3）因为
，
所以
.
9．（25-26 高三上·重庆·期中）设复数
，
满足
，且
，则
____________．
【答案】
【分析】法一：设
，
，借助模长公式及复数加减运算法则计算即可得；法二：借助复数模长性
质有
，再利用模长公式计算即可得.
【详解】法一：设
，
，
，
由
，则
，
则
，
即
，
，
则
，
，
即
，
故
，
又
，
则
.
法二：由复数模长性质可得
，
则
，
故
.
10．（25-26 高三上·浙江温州·期中）若
是关于
的方程
的复数根，则
____________．
【答案】31
【分析】易知
是方程的另一个复数根，结合韦达定理计算即可求解.
【详解】因为
是关于
的方程
的一个复数根，
所以
是关于
的方程
的另一个复数根，
由韦达定理得
，解得
，
所以
.
故答案为：31
考点三 复数的分类（纯虚数）
11．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知是虚数单位，复数
．
(1)若
是实数，求
的值；
(2)若
是纯虚数，求
的值；
(3)若
在复平面内对应的点位于第二象限，求
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
(3)
【详解】（1）因为
为实数，所以
，即
，所以
或
；
（2）因为
为纯虚数，所以
，即
，所以
；
（3）若
在复平面内对应的点位于第二象限,所以
，即
，所以
.
12．（25-26 高三上·上海浦东新·期末）已知为虚数单位，
为实数，复数
．
(1)当
时，求
的模
和
；
(2)若
为实数，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用模长公式和共轭复数定义即可求解；
（2）先展开
并整理为
的形式，再利用“复数为实数则虚部为0”的性质列方程求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
所以复数
的模为
，共轭复数为
.
（2）因为
，
因为该复数为实数，所以虚部为 0，
即：
，解得
.
13．（25-26 高三上·上海普陀·期末）若复数
，则实数
的取值为__________.
【答案】
【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解
即可.
【详解】
，
，解得
，
故实数
的取值为
.
14．（25-26 高三上·湖北·期中）设实数
，复数
．
(1)若复数
是纯虚数，求实数
的值；
(2)当
时，复数
是方程
的一个根，求实数
，
的值．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）利用纯虚数实部为0 且虚部不为0 的限制求解即可,
（2）利用实系数一元二次方程“复数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解.
【详解】（1）
因为复数
是纯虚数，所以
,解得
,
综上所述
.
（2）当
时，
，
因为方程为实系数一元二次方程，所以复数根成对共轭出现，另一根为
．
由韦达定理得
综上所述
，
．
15．（25-26 高三上·上海浦东新·期末）设
，则“
”是“复数
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【详解】复数
，则
，
解
得，
或
，
解
得，
或
，
综上，
；
，则
，充分性成立；
，则
，必要性成立，
“
”是“复数
”的充要条件．
16．（25-26 高三上·江苏·期中）若复数
是纯虚数，则实数m 的值为______．
【答案】0
【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0 且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可.
【详解】根据纯虚数的定义：对于复数
，当且仅当
且
时，该复数为纯虚数，
因为复数
为纯虚数，m 为实数，
所以
，即
，解得
.
考点四 复数相等的问题
17．（25-26 高三上·上海·期中）已知
，其中为虚数单位，则
______.
【答案】
【分析】根据复数相等得到
的值，从而求出
的值.
【详解】已知
，其中
，则
，
，
因此
.
18．（25-26 高二下·广东广州·期末）复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，代入题干所给的等式求解
，根据模长公式计算模长，代入即可求解．
【详解】设
，则
，则
，
则
，解得
；
故
，
；
故
．
19．（2026·湖北·三模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．i
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，设
，
，根据共轭复数结合复数运算可得
，
列式求解即可.
【详解】因为
，即
，
设
，
，则
，
可得
，
，
则
，
可得
，解得
，所以
.
20．（25-26 高三上·云南·期末）已知复数
是关于
的方程
的根，则
_________________.
【答案】26
【分析】法一，由
也是方程的根，然后利用韦达定理可知
；法二，将
代入方程，利用复数相等概念建
立方程求解求
可得.
【详解】法一：因复数
是关于
的方程
的根，
则其共轭复数
也是方程
的根，
所以由韦达定理得
.
法二：因为复数
是关于
的方程
的根，
所以
，
解得
.
21．（25-26 高三上·山东菏泽·期中）（1）若
，求实数
、
的值；
（2）已知
成立，求实数
的值；
（3）若关于
的方程
有实根，求正实数
的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用复数相等可得出关于
、
的方程组，解之即可；
（2）根据复数为零可得出关于
、
的方程组，解之即可；
（3）设方程的实根为
，根据题意得出关于
、
的方程组，结合
可解得
的值.
【详解】（1）由复数相等的充要条件，得
，解得
；
（2）因为
、
，所以由
，可得
，
解得
或
，所以
；
（3）设方程的实根为
，则有
，
所以
，解得
.
22．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知复数
，则
__________.
【答案】
【详解】因为
，所以
，解得
.
考点五 共轭复数的问题
23．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）已知复数z 的共轭复数为
，且
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．6
【答案】A
【详解】设
，
，
，则
，
，
所以，
，
因为
，所以，
，
则
，解得
，故
，
.
24．（2026·北京·三模）已知复数
，则复平面内，复数z 的共轭复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】先通过复数的除法运算化简复数
，再求出其共轭复数，结合复数的几何意义判断对应点所在象限.
【详解】由
， 得
，故
对应的点为
，
由其横、纵坐标均为负可知该点位于第三象限.
25．（2026·江西南昌·模拟预测）已知复数
满足条件
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，由共轭复数以及乘法运算求解即可.
【详解】设
，所以
，又因为
，
所以
，
所以
，解得
.
26．（2026·山东济南·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】由复数
，可得
，所以
27．（25-26 高三上·安徽阜阳·阶段检测）若复数
满足
（i 为虚数单位），则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，则
．
28．（2026 高二下·浙江温州·学业考试）已知为虚数单位，复数
，则
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】复数
，则
的共轭复数为
考点六 复数的几何意义（坐标）
29．（25-26 高二下·贵州·阶段检测）已知复数
，
，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】求出复数的和后根据复数的几何意义判断.
【详解】由已知
，对应点坐标为
，在第四象限.
30．（25-26 高三上·上海·期中）在复平面内，把复数
对应的向量按逆时针方向旋转
，所得向量对应的复数
是___．
【答案】
【分析】先根据旋转角确定旋转因子，利用复数乘法几何意义，将复数
乘旋转因子得
.
【详解】由题意可得：
，旋转角
，
旋转因子为：
，
所以
.
31．（25-26 高三上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知复数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
对应的点在第四象限
B．
C．
的共轭复数为
D．
的虚部为1
【答案】BCD
【分析】利用复数的几何意义即可判断.
【详解】对于A 选项，因为
，
所以复数 z 对应的点为
，在第一象限，故 A 错误；
，故B 正确；
，故C 正确；
，
的虚部为1，故D 正确.
32．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）（多选）若复数
，则（）
A．
B．
的虚部为
C．
在复平面内对应的点位于第四象限D．
是方程
的复数根
【答案】AC
【详解】
.
选项A：
，正确.
选项B：
的虚部为
，不是
，错误.
选项C：
在复平面内对应点为
，位于第四象限，正确.
选项D：将
代入方程
可得：
，故
不是该方程的根，错误.
33．（25-26 高三上·四川乐山·阶段检测）已知复数z 满足
，则z 在复平面内对应的点所在的象限为
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限.
【详解】由题意得复数
，
复数z 在复平面内对应的点为
，该点位于第一象限.
34．（25-26 高三上·福建厦门·期中）（多选）下列关于复数
的四个命题，其中为真命题的是（ ）
A．
B．
的虚部为
C．
在复平面内对应的点在第三象限
D．
【答案】ABD
【分析】先化简复数
，利用复数的性质依次判断即可.
【详解】首先化简复数
，
对于A，根据复数模的计算公式，
，故A 正确；
对于B，
，其中虚部为的系数，故B 正确；
对于C，
在复平面内对应的点坐标为
，位于第一象限，故C 错误；
对于D，根据完全平方公式计算
，故D 正确.
考点七 复数的模长
35．（25-26 高三上·四川泸州·期中）已知为虚数单位，复数
满足
，则
的共轭复数
的模为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题设
，则
.
36．（25-26 高三上·上海奉贤·期中）已知
，
，且
，则
________．
【答案】
【详解】由题意得
，
结合
，得
，解得
.
37．（25-26 高三上·重庆·期中）已知复数
（
为实数），且
，则复数
在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的模的公式结合
可求出
的取值范围，确定复数
实部和虚部的符号，利
用复数的几何意义可得出结论.
【详解】由
，则
，得
，
复数
化简得
，
由
可得
，
，
则复数
对应的点在第三象限.
38．（25-26 高三上·陕西榆林·期中）若复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】先利用复数模的几何意义，将复数
转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的
距离加半径求解即可.
【详解】因为
，所以复数
对应的点的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆，
表示圆上的点
与定点
的距离，
而圆心到定点的距离为4，
则
的最大值为
．
39．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）设复数
的共轭复数为
，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
的最大值为
【答案】AB
【详解】对于A，若
，即
，
，则
，A 正确；
对于B，若
，即
的虚部为0，则
，B 正确；
对于C，若
，则
，C 错误；
对于D，若
，设
，即
，
则
表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D 错误．
40．（25-26 高三上·湖南邵阳·期中）已知复数z 满足
，且
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，先由
得到
，再由
，结合复数的几何意义可得z 在复平面内对
应的点
的运动轨迹，最后由
表示点
和
之间的距离，数形结合可得结果.
【详解】设
，
，
由题意可知
，则
，
又
，由复数的几何意义知z 在复平面内对应的点
在半径为3 的圆内部（含边界）的坐标轴
上运动，
如图所示即在线段
，
上运动，
设
，则
，由图象可知
，
所以
.
考点八 复数的三角表示
41．（2026·山东滨州·一模）（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞
士数学家欧拉于1748 年提出了著名的欧拉公式：
为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．
其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的
关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ）
A．
的虚部为
B．
在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．若
在复平面内分别对应点
，则
面积的最大值为
【答案】ABC
【分析】对于A，根据题意可得
，即可得虚部；对于B，根据题意可得
，结合复数的
几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得
，
结合面积公式分析判断.
【详解】对于A，因为
，所以
的虚部为
，故A 正确；
对于B，因为
，
所以
在复平面内对应的点为
，位于第一象限，故B 正确；
对于C，因为
，
，
所以
，即
，故C 正确；
对于选项D：因为
，
，
则
在复平面内分别对应点
，
可得
，
，
则
面积为
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
面积的最大值为
，故D 错误.
42．（25-26 高二·全国·暑假作业）任何一个复数
（其中
，为虚数单位）都可以表示成：
的形式，通常称之为复数
的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若
，
时，则
________；对于
，
，
________．
【答案】
【详解】当
，
时，
，
所以
；
，令
，
则
，
，
，
而
，
则
，
，
所以
．
43．（25-26 高三上·江苏南京·期中）任何一个复数
（其中
为虚数单位）都可以表示成三角形式
（其中
，
），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：
.已知复数
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解.
【详解】由题意可得
，
故
，
即
的虚部为
.
44．（25-26 高三上·湖北武汉·期中）欧拉公式
（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著
名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，
45．（25-26 高三上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）设
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
，
，
，
A 选项，
，所以A 选项正确；
B 选项，
，所以B 选项错误；
C 选项，
，所以C 选项正确；
D 选项，
，所以D 选项正确.
46．（25-26 高三上·四川成都·期中）（多选）欧拉公式
巧妙地将复数、指数函数与三角函
数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论
中正确的有（ ）
A．
，使得
B．
当且仅当
时成立
C．
与
互为共轭复数
D．
，
，
【答案】ACD
【分析】根据欧拉公式以及复数的运算求解即可.
【详解】选项A.当
时，则
，A 正确.
选项B.若
，可得
且
，即
，B 错误.
选项C.
，
，
二者实部相等、虚部互为相反数，因此互为共轭复数，C 正确.
选项D.对任意
，
.
1．（25-26 高三上·江苏·期中）已知复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知
，可知
的虚部为1.
2．（2026·全国二卷·高考真题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
3．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
的共轭复数为
.
4．（25-26 高三上·浙江温州·阶段检测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】复数
，
所以
.
5．（2026·湖南邵阳·模拟预测）是虚数单位，复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】复数
在复平面内对应的点为
，该点位于第四象限.
6．（2026·北京·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．8
【答案】A
【详解】由题意
，
则
.
7．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P 对应复数
．将点
绕原点逆时针旋转
，再关于实轴对称，所得
点对应复数
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】B
【详解】将复数
对应的点绕原点逆时针旋转
，对应复数变为
；
再关于实轴对称，对应复数变为
，
所得点对应复数为
，
旋转与关于实轴对称均不改变复数的模长，
所以
．
8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数
，则
为（ ）
A．
B．
C．5
D．
【答案】B
【分析】由复数的乘法运算和模长公式即可求解.
【详解】
，
．
所以
．
故
．
9．（25-26 高三上·海南·阶段检测）（多选）已知复数
（为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．
的对应点在第三象限
B．
的虚部为
C．
D．满足
的复数
对应的点在以原点为圆心，
为半径的圆上
【答案】ACD
【详解】由题可得：
，
则复数
在复平面内对应的点
位于第三象限，A 正确；
因为
，则复数
的虚部为
，B 错误；
，C 正确；
由
，
可知满足
的复数
对应的点在以原点为圆心，半径为
的圆上，D 正确.
10．（26-27 高二·全国·暑假作业）（多选）已知复数
（i 为虚数单位），则（ ）
A．
的共轭复数为
B．
的虚部为
C．
D．
【答案】BD
【详解】对于A，
，
的共轭复数为
，故A 错误；
对于B，
的虚部为
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确．
11．（25-26 高三上·浙江金华·阶段检测）（多选）复数
，
，已知
，
，下列说法正确的是
（ ）
A．复平面内与
对应的点在第三象限
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】求出
，利用复数的运算逐一分析每个选项即可.
【详解】对于A 项，
对应的点为
在第二象限，故A 错误；
对于B 项，
，则
，故B 正确；
对于C 项，
，故C 正确；
对于D 项，
，故D 正确.
12．（25-26 高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（多选）已知复数
（i 为虚数单位），则 （ ）
A．
的共轭复数为
B．
的虚部为
C．
D．
【答案】BD
【分析】化简复数，根据复数定义判断A；结合虚部定义判断B；根据复数与其共轭复数乘积等于模的平方的性质
判断C；结合复数的模判断D.
【详解】
，
选项A：共轭复数要求实部不变，虚部变号，因此
的共轭复数为
，A 错误；
选项B：
的虚部为
，B 正确；
选项C：
，C 错误；
选项D：
，D 正确.
13．（25-26 高三上·山东淄博·期中）（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
互为共轭复数，
，则
C．若复数
满足
，则
的最大值为
D．若复数
是实系数方程
的一个根，则
【答案】BCD
【分析】根据复数的运算、共轭复数性质、复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根的特征，需逐一分析选
项即可.
【详解】对于A，取反例
，满足
，但
均不为0，故A 错误；
对于B，先化简
，其共轭复数
，
由于的幂次周期为4，
，故
，故B 正确；
对于C，
的几何意义是复平面上
对应点的轨迹为以
为圆心、半径为的圆，
是圆上点到原点的
距离，
原点到圆心距离为，故
最大值为
，故C 正确；
对于D，实系数方程
的虚根互为共轭复数，因此另一根为
，
由韦达定理：两根和为
，解得
；两根积为
，解得
故
，故D 正确.
14．（25-26 高三上·广东中山·阶段检测）（多选）若
，
为复数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】设
，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解.
【详解】设
，由
，
所以
，
，
所以
，故A 正确；
由
，
，所以
不一定成立，故B 错误；
由
，
，所以
，故C 正
确；
由
，
，
所以
不一定成立，故D 错误.
15．（25-26 高二下·上海静安·期末）若复数
（其中是虚数单位）的实部、虚部均为
十个数
字中的一个，则该复数为纯虚数的概率是___________．
【答案】
/
【详解】因为实部、虚部均为
十个数字中的一个，所以复数
共有
个，
若该复数为纯虚数，则
且
，故这样的纯虚数有9 个，
所以该复数为纯虚数的概率是
.
16．（25-26 高三上·上海·期中）已知直角三角形ABC 的顶点坐标分别为
，若虚数
是实系数一元二次方程
的根，则实数
__________
【答案】
【分析】先利用韦达定理求出
的值，再分类讨论，利用向量的数量积，分别求出实数
的值即可.
【详解】由题意可知
的两个根为
和
(
)，
由韦达定理可得
，
，即
,
解得
，
，则
，
，
于是
，
，
.
当
时，有
，
则
，解得
；
当
时，有
，
则
，即
，解得
；
当
时，有
，
则
，解得
.
综上所述，
的所有可能取值为
.
17．（25-26 高三上·宁夏银川·期中）已知复数
，复数
在复平面内对应的点为
．
(1)若复数
是关于
的方程
的一个根，
，求
的值：
(2)若复数
满足
，求复数
的共轭复数
．
【答案】(1)20
(2)
【分析】（1）由题意
，将
代入方程，可得m，n 的值，即可得答案.
（2）根据复数的运算法则，整理化简，可得复数
，根据共轭复数的概念，即可得答案.
【详解】（1）由题意
，将
代入方程可得
，
整理得
，即
，
所以
，解得
，
所以
.
（2）由题意
，
所以
，
则复数
的共轭复数
18．（25-26 高三上·上海闵行·期中）已知复数
（
、
）满足
，且
的取值范围为
；复数
满足
．
(1)求
的取值范围；
(2)若
、
恰为实系数一元二次方程
的两个根，求
的值；
(3)在复平面上，复数
对应点
，复数
对应点
，求
在
方向上的数量投影的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】（1）根据题意，得到
，结合一次函数的单调性，即可求解；
（2）根据实系数的一元二次方程的虚根化为共轭复数对，得到
，将其代入
，结合
，求得
或
，利用韦达定理，即可求解；
（3）由向量
在
方向上的投影数量的公式
，根据题意，得到
的轨迹，得到投影取值范围为
，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由
的取值范围为
，
，
因为
，可得该函数为单调递增的一次函数，
当
时，可得
；当
时，可得
；
所以
的取值范围为
.
（2）解：由实系数的一元二次方程的虚根成共轭复数对，
可得
，将其代入
，可得
，
因为
，可得
，
整理得
，解得
或
，
当
时，
，此时
，可得
，
由韦达定理得
，所以
；
当
时，
，此时
，可得
，
由韦达定理得
，所以
，
综上可得，
的值为
或
.
（3）解：因为向量
在
方向上的数量投影的公式为：投影
，
由
，可得
的轨迹是以点
为圆心，半径为
的圆，
所以对于固定的
，向量
在向量
方向上的投影取值范围为
，
将
代入
，可得
令
，可得
，
则
，
所以
在
上单调递增，且
，即
，
所以向量
在
方向上的数量投影的取值范围为
.
