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2026 高考数学·百分卷（十五）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．集合 的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】解不等式 得 ，则集合 ，有3个元素，则集合 的子集个数为 .
2. 在直角坐标系xOy中，点A，B满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】由题意知 是等边三角形，所以 ，则 ．
3. 已知复数 的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A. B. 3 C. D. 1
【答案】A
【详解】 ，
因为复数 的实部与虚部相等，所以 ，得 .
4. 一个圆锥的高是 ，侧面积是 ，则该圆锥轴截面的周长为（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为 ，则底面半径为 ，侧面积 ，解得 ，
则 ，故圆锥轴截面的周长为 ．
5. 记等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则正整数 的值为（
）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为 ，
当 时，可得 ，则
因为 ，所以 ，所以 ，此时 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 或 （舍去），所以 ，
法一：由 ，提取公因式 ，可得 ，
因为 ，代入化简得 ，即 ，所以 ，解得 ；
法二：由等比数列的通项公式，可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，
则 ，即 ，因为 ，所以 ，可得 ，所以 .
6．已知 是定义在 上且周期为 的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 是定义在 上且周期为 的奇函数，且当 时， ，
可得 .
7. 若 是抛物线 上的动点，点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 5 C. 7 D.
【答案】B
【解析】由抛物线 ，得 ，则 ，所以抛物线的焦点 ，准线方程为 .
设点 到准线 的距离为 ，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
即 .因为点 到准线 的距离 就是 ，所以 ，
那么 ，根据几何性质，当 ， ， 三点共线时， 的值最小，即
，已知 ， ，得 ，
所以 的最小值为 .
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．记 为等差数列 的前n项和，若 ， ,则（ ）A． B．公差
C． D．若 ,则 ，
【答案】AD
【解析】设等差数列 的公差为 ,由 ，所以 ，故A正确；
由 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ，解得 ，故B错误；
由等差数列前 项和公式得 ，故C错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
9．若正方体 外接球的球心为 ，且 ， 分别为棱 ， 的中点，则（ ）
A． B．二面角 的正切值为
C． 平面 D． 为四面体 外接球的球心
【答案】BC
【解析】设正方体 棱长为 ，以 为原点建立空间直角坐标系.
各点坐标为 ， ， , ，， ， ， , ，
可得 ，
, ，A错误.
, .
设平面 的一个法向量为 ，则 ,
令 ，则 ，同理可得平面 的一个法向量 .
设二面角 对应的平面角为 ，
则 ，所以 ，则 .
由题可知 为钝角，所以 ，B正确.
由题意得 ， ，
而 平面 ， 平面 , 平面 ，C正确.
由题意得 ，
因为 ，
所以 到四面体 各顶点距离不全相等， 不是四面体外接球球心，D错误.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10. 已知 与 的成对数据如下表：
1 2 3 4 5
2 3 4 5 7
若 关于 的回归直线方程为 ，则 ________．
【答案】1.2【解析】由已知数据得： ， ，
将 代入 ，得 ， 解得 .
11．已知双曲线 的焦点在 轴上，且其中一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为
_________.
【答案】
【解析】因为双曲线 的焦点在 轴上，且其中一条渐近线方程为 ，所以 ，即 ，
所以 .
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知函数 （ ）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，
B、C、D为图象与x轴的交点，且 为等腰直角三角形.
（1）求 的解析式，及 为偶函数时的最小正实数m；
（2）求 的值.
【解析】（1）∵ ，∴
，
由 为等腰直角三角形知， ，所以 ，得 .
因为 为偶函数，
所以 ，得 ，所以最小正实数 为 .
（2）令 ，则 ， ，即 ， ，
取 ： ，即 ，所以 .
令 ，且 在 左侧，则 ，解得： ，故 ，
且 在 右侧，周期 ，所以 ，即 .
所以 ，
所以 .
13. 已知椭圆 的右顶点为 ，圆 的半径等于椭圆的长半轴长，圆 ，
直线 与圆 和圆 都相切．
（1）求圆 的方程，并判断圆 与圆 的位置关系；
（2）求直线 的方程；
（3）若斜率存在的直线 与 交于 ， 两点，求 的面积．
【解析】（1）由题意可得 ，椭圆的长半轴长为2，故圆 的方程为 ．
由 ，得 ，故圆 与圆 外切．（2）由（1）可知，圆 与圆 外切于原点 ，因此两圆共有3条公切线．因为直线 到两圆心的
距离分别等于各自半径，故 是两圆的一条内公切线．
因为 ， ，两圆半径为2，1，由相似比及对称性可知，外公切线必过定点 ，
设两圆的外公切线方程为 ．由直线 与圆 相切，得 ，解得
，因此两条外公切线方程为 ， ．
综上直线 的方程为 ， ， ．
（3）由（2）可知，斜率存在的两条直线 关于 轴对称，而椭圆 也关于 轴对称，因此它们与椭圆相
交所得的 的面积相等．将 代入 ，整理得 ，判别式
，设 ， ，则 ．
由 过定点 ，得 的面积 ．
14．设函数 .
（1）证明：曲线 在点 处的切线过定点，并求出该定点坐标；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.【解析】（1）因为 ， ，所以 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： ，
即 ，即 ，
所以曲线 在点 处的切线过定点 ；
（2） ， ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
此时 最多有一个零点，不满足题意；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
于是 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
又因为 有两个零点，
所以 ，即 ，解得 或 ，
因此， 的取值范围为 .
