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5.5 “四心”与奔驰定理
知识点1 “四心”
三角形的“重心”
1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1
三角形中线向量式：⃗AM = 1
2 (⃗AB+⃗AC )
2、重心的性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(
x A+ xB+ xC
3
, y A+ yB+ yC
3
).
3、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
①⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0 ②⃗PO = 1
3 (⃗PA +⃗PB+⃗PC)
③若⃗AP = λ(⃗AB+⃗AC)或⃗OP =⃗OA + λ(⃗AB+⃗AC)，λ∈[0,+ ∞)，则P一定经过三角形的重心
④若⃗AP = λ(⃗
AB
|⃗AB|sinB
+⃗
AC
|⃗AC|sinC)或⃗OP=⃗OA + λ(⃗
AB
|⃗AB|sinB
+⃗
AC
|⃗AC|sinC)，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角
形的重心
三角形的“垂心”
O
A
B
C
1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
1、⃗OA ∙⃗OB =⃗OB∙⃗OC =⃗OC ∙⃗OA
2、|⃗OA|
2+|⃗BC|
2=|⃗OB|
2+|⃗CA|
2=|⃗OC|
2+|⃗AB|
2
3、动点P满足⃗OP =⃗OA + λ(⃗
AB
|⃗AB|cosB
+⃗
AC
|⃗AC|cosC)，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的垂心
4、奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA :tanB:tanC，tanA ∙⃗OA +tanB∙⃗OB+tanC ∙⃗OC =⃗0.
三角形的“内心”
1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）|⃗AB|⃗PC +|⃗BC|⃗PA +|⃗CA|⃗PB =⃗0（或a⃗PA +b⃗PB+c⃗PC =⃗0）其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、
AB的长，
（2）⃗AP = λ(⃗
AB
|⃗AB|
+⃗AC
|⃗AC|)，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
三角形的“外心”
1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等
2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
1、|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|⟺⃗OA
2=⃗OB
2=⃗OC
2 2、(⃗OA +⃗OB)∙⃗AB =(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC =(⃗OA +⃗OC)∙⃗AC =0
3、动点P满足⃗OP=⃗OB+⃗OC
2
+ λ(⃗
AB
|⃗AB|cosB
+⃗
AC
|⃗AC|cosC)，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外
心.
4、若(⃗OA +⃗OB)∙⃗AB =(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC =(⃗OC +⃗OA)∙⃗CA =0，则O是∆ABC的外心
知识点2 奔驰定理
1．奔驰定理
奔驰定理：设
是
内一点，
,
,
的面积分别记作
,
,
则
.
奔驰定理推论：x∙⃗OA + y ∙⃗OB+ z∙⃗OC =⃗0，则
①S∆BOC:S∆COA:S△AOB=|x|:|y|:|z|
②
S∆BOC
S∆ABC
=|
x
x + y + z|，
S∆AOC
S∆ABC
=|
y
x + y + z|，
S∆AOB
S∆ABC
=|
z
x + y + z|.
2．三角形的四心与奔驰定理的关系
O
A
B
C
A
S
C
S
B
S
(1)O 是△ABC 的重心：
.
(2)O 是△ABC 的垂
心
：
.
(3)O 是△ABC 的内心：
.
(4)O 是△ABC 的外心：
.
考点一 三角形的心的向量表示
考点二 根据向量关系判断三角形的心
考点三 已知心求参数
考点四 奔驰定理
考点一 三角形的心的向量表示
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，若动点P 满足
，
，则点P 的轨迹一定通过
的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【答案】C
【详解】由已知，得
，即
，根据平行四边形法则，知
（D 为
的中点），所以点P 的轨迹必过
的重心．
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知
是
所在平面内的一点，
所对的边分别为
，若
，则
是
的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可.
【详解】依题意，
，
，由
，得
，
即
，
记
，其中
分别表示
方向上的单位向量，因此
，
可视为以点
为起点的某个菱形的对角线向量，与
共线，该对角线平分
，
因此
平分
，所以
为内心.
3．（25-26 高三上·广东·期末）（多选）已知点
、
、
在
所在平面内，则（ ）
A．若
，则点
是
的外心
B．若
，则点
是
的重心
C．若
，则点
是
的内心
D．若
，则
是等腰三角形
【答案】ABD
【分析】对于选项A，根据
，由外心定义判断；对于选项B，由重心的向量形式判断；对于选项
C，由
变形，根据垂心的向量形式判断；对于选项D，由
，得到
为
的
平分线，再由
判断.
【详解】对于选项A，已知
，由外心定义可得：点
是
的外心，故正确；
对于选项B，设
是
中点，由
，得
，故点
是
的重心，正确；
对于选项C，由
，得
，即
，同理，
，故点
是
的垂心，故错误；
对于选项D，设
，则
所在直线为
的角平分线，又
，则
，则
，则三角形
为等腰三角形，故正确；
故选：ABD．
4．（25-26 高三上·安徽宿州·期中）（多选）在
所在平面内有三点
，
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．满足
，则点
是
的外心
B．满足
，则点
是
的内心
C．满足
，则点
是
的垂心
D．满足
，且
，则
为等边三角形
【答案】ACD
【分析】选项
，根据垂直平分线的性质定理，可判断点
为三角形三边垂直平分线的交点，即为外心；
选项
，取边
中点
，根据平行四边形法则可得
，结合已知条件可推出
，即
，可判断点
为重心，而不是内心；
选项
，根据已知条件结合向量减法运算，易得
，
，进而可得点
为垂心；
选项
，由单位向量的模长相等，结合和向量与
数量积为
，可推出三角形为等腰三角形，再由
，
进而求出内角
，从而判断出
为等边三角形.
【详解】解：对于选项
，由
，所以点
到
的三个顶点的距离相等，所以
是
的外
心，
正确；
选项
，如图所示，
取边
中点
，连接
，则
，
又
，则
，所以
，因此
，
所以点
是
的重心，
错误；
选项
，由
可得
，即
，所以
；
同理可得
，所以点
是
的垂心，
正确；
选项
，由
，
分别表示在
，
方向上的单位向量，则它们的和向量在
的平分线上，
又
，所以
的角平分线垂直于
，根据等腰三角形性质可得
.
因为
，所以根据数量积的定义
，
，所以
，因此
为等边三角形，
正确.
5．（25-26 高三下·山西太原·阶段检测）在
中，
，
是
边上的两点，
是三角形的重心，且
．若
，则
（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则即可求解．
【详解】由
是
的重心，取
的中点
，则
在线段
上，且
，
又
，则
，
，
则
，
，
所以
，
故
．
6．（25-26 高三上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知在
中，
，
，
，点
为
所在平面内一点，则（ ）
A．若
为
的垂心，则
B．若
为
的重心，则
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的内心，则
.
【答案】ACD
【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为
，结合向量的线性运算可判断B，
根据外心特征计算
判断C，根据内心的性质即可得解判断D.
【详解】因为
为
的垂心，所以
，故
，
所以
，故A 正确；
延长
交
于
中点
，如图，
因为点O 是
的重心，
，
所以
，故B 错误；
如下图所示：
若
为
的外心，取线段
的中点
，连接
，由垂径定理知
，
所以
，故C 正确；
如图，
若
为
的内心，则
，过
作
，
由余弦定理得
，所以
，
内切圆半径为
，所以
，
所以
，而
，所以
，
所以
，故D 正确.
考点二 根据向量关系判断三角形的心
7．（2026·四川南充·三模）点
为
所在平面内一点，若
，则点
为
的（ ）
A．内心
B．重心
C．垂心
D．外心
【答案】A
【分析】分别在
边上取同方向的单位向量
和
，由条件推得
，进而得到
平分
，
同理
平分
，即得结论.
【详解】如图，向量
，
分别表示在边
和
上取同方向的单位向量
和
，
则
，
由
可得
，
因
，则
平分
，
同理由
，可知
平分
，
故
为
的内心.
8．（25-26 高三上·浙江温州·期中）（多选）已知
，则下列正确的是（ ）
A．若满足条件
，则
为
的重心
B．若满足条件
，则动点
经过
的内心
C．若满足条件
，则动点
经过
的外心
D．若满足条件
，则动点
经过
的垂心
【答案】ABD
【分析】利用三角形的重心、内心、外心、垂心的性质逐一分析每个选项.
【详解】在A 选项中，设
中点为
，根据平面向量加法的平行四边形法则：
，又因为
，
所以
，即
，
这表明
、
、
三点共线，且
，
根据重心的定义和性质可得
为
的重心，A 正确，
在B 选项中，
和
分别是
和
方向上的单位向量，
设
，以
和
为邻边作平行四边形，
则该平行四边形为菱形，根据菱形的性质，其对角线平分一组对角，
所以
在
的平分线上，又因为内心是三角形三条角平分线的交点，
所以动点
经过
的内心，B 正确，
在C 选项中，由正弦定理
可得：
，
则
，
由A 选项可知，
中点为
，所以
，
所以
，
即
表示
与
共线，
所以动点
在
边上的中线上，
因为外心是三角形三边垂直平分线的交点，而一条中线不能确定外心，
所以动点
不经过
的外心，C 选项错误，
在D 选项中，
，因为
，
所以
，则
，
，
根据向量数量积公式可得：
，
，所以
，所以
所以
，
，
即
，所以
，即
，
因为垂心是三角形三条高的交点，
所以动点
经过
的垂心，D 正确.
9．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）设 O 为
所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若满足
，则 O 是
的垂心
B．若满足
，则 O 是
的外心
C．若满足
，则 P 的轨迹过
的内心
D．若满足
，则 P 是
的重心
【答案】BC
【详解】记
边
的中点为
，则
，
由
，得
，所以点
在中线
上，且
，
所以
是
的重心，所以A 错误；
若满足
，则 O 到
各顶点距离相等，所以O 是
的外心，所以B 正确；
若满足
，则
，
即
，所以点
的轨迹为角
的平分线，所以经过
的内心，所以C 正确；
由
，得
，所以
，
同理可得
，
，
即
，所以 P 是
的垂心，所以D 错误.
10．（25-26 高三上·贵州黔南·阶段检测）（多选）已知O 为
内一点，且其中内角
的对边分别为
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则O 为
垂心
B．若
，则O 为
外心
C．若
，则O 为
内心
D．若
，则O 为
重心
【答案】BD
【详解】对于A，因为
，故
，
整理得
，
又
，
所以
，则
，
因
为
方向的单位向量，
故AO 与
的角平分线共线，同理BO 与
的角平分线共线，CO 与
的角平分线共线，
所以O 为
的内心，故A 错误；
对于B，因为
，所以点O 到点A，B，C 的距离相等，即点O 为
的外心，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，
则
，即
，则
，同理可得
，
所以点O 为
的垂心，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，
设D 为BC 的中点，则
，所以点O 为
的重心，故D 正确．
11．（2026 高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有
和一点
，且满足关系式：
，则
为
的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】D
【分析】根据
可得
，同理根据
可得：
，所以
为
的垂心.
【详解】由
，
，所以
.
同理由
可得：
.
所以
为
的垂心.
故选：D
12．（25-26 高一·全国·暑假作业）已知点
为
所在平面内一点，若
，则点
的轨迹
必通过
的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
【答案】B
【分析】
为
的中点，由
得
，则点
的轨迹必通过
的外心.
【详解】点
为
所在平面内一点，若
，
设
为
的中点，
，
则有
，所以
，
所以动点
在线段
的中垂线上，则点
的轨迹必通过
的外心.
故选：B
考点三 已知心求参数
13．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）如图，在
中，
，
，P 为
内的一点，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若P 为
的重心，则
B．若P 为
的内心，则
C．若P 为
的外心，则
D．若P 为
的垂心，则
【答案】ACD
【详解】设
的中点为
.由
知，
过点
，且
.
若P 为
的重心，则
，
所以
，所以
，所以A 正确.
若P 为
的内心，则
，
化简得，
，
所以
，
所以
，所以B 错误.
若P 为
的外心，
易知
，所以
的外接圆的半径为
，
即
.
则
，所以C 正确.
若P 为
的垂心，则
，所以
，所以
.
所以D 正确.
14．（25-26 高三下·安徽六安·阶段检测）如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A，B，C 所对的边分别为a，
b，c，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】首先由条件等式两边乘以
，再结合数量积公式以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求
的值.
【详解】对于式子
变为
两边同乘
，可得
，即
，化简为
，
由正弦定理得，
，即
移项得到：
，因为
，故
，故
.
15．（25-26 高三上·安徽安庆·期中）（多选）在
中，
为
内一点，若
，则下列命题正确的是（ ）
A．若点
为
的重心，则
B．若点
为
的外心，则
C．若点
为
的垂心，则
D．若点
为
的内心，则
【答案】ABD
【分析】设BC 边的中点为D，根据等腰三角形的性质，可得点P 在AD 上，根据重心的性质及线性运算法则，求
出x，y 的值，可判断A 的正误；根据数量积的几何意义，整理计算，可判断B 的正误；根据垂心的性质可得
，根据线性运算法则及数量积公式，整理计算，可判断C 的正误；根据内心的性质，可求出内切圆半
径r 的值，根据线性运算法则，可判断D 的正误.
【详解】设BC 边的中点为D，则
，
因为
，所以
，且
的重心、外心、垂心、内心均在线段AD 上，
选项A：因为点
为
的重心，所以
，
则
，所以
，故A 正确；
选项B：若点
为
的外心，且
，
则
，故B 正确；
选项C：若点
为
的垂心，则
，即
，
在
，由余弦定理得
，
设
，则
，
所以
，
解得
，则
，所以
，故C 错误；
选项D：若点
为
的内心，则DP 为内切圆的半径，且设为r，
则
，
又
，
所以
，解得
，
所以
，即
则
，即
，所以
，故D 正确.
16．（25-26 高三上·吉林·期中）已知
为
所在平面内一点，并且满足
，过
的直线与
，
边分别交于
，
点，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】首先确定点
是
的重心，再根据线性运算，用基底
表示
，利用三点共线，表示
，再根据基本不等式求最值.
【详解】如图，连结接
并延长交
于点
，
由
可知，点
是
的重心，则点
是
的中点，
，
因为点
三点共线，所以
，即
，
则
，
当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
17．（25-26 高一上·河北保定·期中）已知
外接圆圆心为
，
为
所在平面内一点，且
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，得到
，
，所以
四点共线，由三线合一知，
⊥
，所以
，不妨设
，求出各边长，所以
，由同角三角函数关系得到答案.
【详解】取
的中点
，连接
，则
，
，
故
，
，则
，
而
，所以
，
所以
四点共线，
又
为
外接圆圆心，连接
，则
，
由三线合一知，
⊥
，所以
，
不妨设
，则
，
所以
，
故
故选：C
18．（25-26 高三下·云南·阶段检测）已知O 为
的内心，角A 为锐角，
，若
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：先得到点O 是
内心的充要条件是：
，其中
，
，
，
从而得到
，求出
，利用余弦定理得到
，求出
，由基本不等式求出最大值，得到答案；
方法二：作出辅助线，得到
，得到方程组，得到
，作出内切圆，根据
，求出
，设出内切圆半径，故
，由图知
，从而求出
.
【详解】方法一：点O 是
内心的充要条件是：
，其中
，
，
，
理由如下：若
，则
，
整理得
，
所以
，即点
在
的角平分线上，
同理可证，点
在
，
的角平分线上，即点
为
的内心.
故
，
故
．
因为角A 为锐角，
，
所以
．由定理得到
，
故
．
又因为
（当且仅当
时取等号），
所以
，所以
，
故
，
方法二：如图，延长
，交
于点D，
设
，即
，故
，
设
，
则
，
，
作
的内切圆与
边切于点E，与
切于点F，
设圆O 半径为r，
且A 为锐角，
，
故
，解得
或
（舍去），
故
，
又
，解得
，负值舍去，
，即
，由图知
，
.
故选：C．
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直
接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，
然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
考点四 奔驰定理
19．（25-26 高三上·山西太原·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知
是
内一点，
的面积分别为
且
.若
是
的
垂心，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】延长
交
于点
，延长
交
于点
，延长
交
于点
，根据
和
得
，从而可以得出
，设
，
，得
，
，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解.
【详解】如图，延长
交
于点
，延长
交
于点
，延长
交
于点
.
由
为
的垂心，
，且
，
得
，又
，
则
，
，所以
，
设
，
，则
,即
，
，
所以
，即
，则
，
所以
，
则
.
20．（25-26 高三上·安徽芜湖·期中）（多选）点
在
所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若
，则动点
的轨迹一定通过
的重心
B．若
，
，
分别表示
，
的面积，则
C．若
，则点
是
的内心
D．若点
满足
，
，
，则
【答案】ACD
【分析】A 选项，作出辅助线，得到
，故点
在中线
上，故向量一定经过
的重心；B 选项，
作出辅助线，得到
，从而得到
，故
；C 选项，作出辅助线，得到
，故
⊥
，并得到
在
的平分线上，同理可得，
在
的平分线上；D 选项，首
先得
为
外心，从而得到
，再根据数量积的运算律即可判断.
【详解】A 选项，过点
作
⊥
于点
，取
的中点
，连接
，
则
，
，
则
，
故点
在中线
上，故向量一定经过
的重心，A 正确；
B 选项，如图，
分别为
的中点，
，
则
，故
，
所以
，
故
，B 错误；
C 选项，
分别表示
方向上的单位向量
（如下图所示），
故
，
，故
⊥
，
由三线合一可得，
在
的平分线上，同理可得，
在
的平分线上，
则点
是
的内心，C 正确.
D 选项，设
的中点为
，若点
满足
，则点
为
外心，
于是有
，又
，
，
则
，D 正确.
【点睛】结论点睛：点
为
所在平面内的点，且
，则点
为
的重心，
点
为
所在平面内的点，且
，则点
为
的垂心，
点
为
所在平面内的点，且
，则点
为
的外心，
点
为
所在平面内的点，且
，则点
为
的内心，
21．（25-26 高三上·河南郑州·期中）（多选）
（或
）是
的一种向量表达．
同样，三角形还有其他向量表达：已知
是
内的一点，内角
的对边分别为
，则
，其中
分别是
的面积．下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
为
的外心，
，则
D．若点
是锐角
的垂心，且
，则
【答案】ACD
【分析】本题利用题目给出的三角形内点的向量面积公式，结合重心、内心、外心、垂心的几何性质，分别对四
个选项进行验证：通过向量线性运算与中点性质判断A，利用内心的面积比例关系判断B，结合外心的向量恒等式
与三角恒等变换判断C，借助垂心的垂直关系与向量点乘、余弦定理判断D，最终得出正确选项为ACD．
【详解】
对于A，
取
的中点
，因为
，
所以
，所以
为
的重心，A 正确；
对于B，
设
内切圆的半径为，因为
，
所以由
，可得
，B 错误；
对于C，
为
的外心，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，从而
，C 正确；
对于D，
延长
，交
于
．
因为
，所以
，
又
，所以
，
即
，
化简得
，则
，
所以
，整理得
①，
同理，因为
，所以
②，
由①②解得
，所以
，D 正确．
22．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）（多选）如图，
为
内任意一点，角
的对边分别为
．总有
优美等式
成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是
真命题的有（ ）
A．若
是
的重心，则有
B．若
成立，则
是
的内心
C．若
，则
D．若
是
的外心，
，则
【答案】ABD
【分析】根据重心性质可得
，再由奔驰定理可判断A 正确，结合内心性质以及奔驰定理可知
，因此
是
的内心，即B 正确；利用平面向量共线定理可知
，计算可得C 错误，
再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D 正确.
【详解】对于A，不妨取
分别为
的中点，如下图所示：
所以
，
，
同理可得
，所以
，
又因为
，所以
，即A 正确；
对于B，记点
到
的距离分别为
，
，
因为
，所以
，
即
，又因为
，所以
，
因此
是
的内心，即B 正确；
对于C，若
，所以
，
因此
，
，
可得
化简可得
，
又因为
不共线，所以
，解得
；
因此
，
则
，所以C 错误；
对于D，若
是
的外心，
，所以
，
又易知
，所以
，
因为
，则
，
化简可得
，由题意可得
同时为负，
记
,其中
，则
，
因为
，所以
，
可得
，即
，因此D 正确.
23．（25-26 高三上·江苏苏州·阶段检测）（多选）如图，P 为
内任意一点，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c 总有优美等式
成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以
下正确的命题为（ ）
A．若P 是
的重心，则有
B．若
成立，则
是
的内心
C．若P 是
的外心，
，
，则
的最小值是
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】对于A 利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B 利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点
到三边的距离相等；对于C 根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将
两边平方，
化简可得
，结合一般不等式求解范围即可；对于D 由
，整理得
，
再根据奔驰定理求解面积比值即可.
【详解】选项A：若
是
的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：
，
代入奔驰定理得：
，即
，A 正确；
选项B：若
，结合奔驰定理，
得面积比
.
又
，
，
，可得
，
即
到三边距离相等，故
是
的内心，B 正确；
选项C：
是外心，故
（
为外接圆半径），
由
，得圆心角
.
由
，得
，
代入
，
，化简得
.
因为
在
内，结合奔驰定理系数为正，得
，
故
，
所以
，即
，当且仅当
时取等号，
最小值为
，C 正确；
选项D：由
，整理得：
，
即
，根据奔驰定理
，
所以
，D 错误.
24．（25-26 高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）三角形中的奔驰定理是指：
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．若
，则以下命
题正确的有（ ）
A．
B．
有可能是
的重心
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的内心，则
为直角三角形
【答案】ACD
【详解】根据奔驰定理：
的系数之比等于对应三角形的面积之比，即
.
若
是
的重心，则
，与
，所以
不是
的重心.
当
为
的外心时，
，
所以
，即
.
当
为
的内心时，
，其中为
内切圆半径，所以
，因此
，所以
为直角三角形.
1．（25-26 高三上·上海·期中）O 是在
所在平面上一点，存在实数x、y、z 满足
，
，
，则点O 是
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【详解】因为
分别表示与
同方向的单位向量，如图，不妨分别记为
，
故以
为两邻边的平行四边形
为菱形，则
平分
，
因
，可知O 点落在
的平分线上；
同理由
，
可知O 点也落在
的平分线上，
故点O 是
三条角平分线的交点，即三角形的内心.
2．（25-26 高三上·山东淄博·阶段检测）已知
为
所在的平面内一点，则下列命题错误的是（ ）
A．若
为
的垂心，
，则
B．若
为平面内任意一点，
，则点
为
的重心
C．若
，
，则动点
的轨迹经过
的内心
D．若
为锐角
的外心，
且
，则
【答案】C
【分析】对A，利用垂心的性质，得
求解判断；对B，对
作线性变形整理
得到
判断；对C：由
可知动点
的轨迹是边
的中线，仅过重心，不必然
经过内心；对D：结合
对
变形，推得
在
的中线上，结合外心性质可得.
【详解】对于选项A：若
是
的垂心，所以
，故
，
因此
，又
，所以
，A 命题正确；
对于选项B：由
，
移项得
，即
，
说明
在边
的中线上，且分中线为
，符合三角形重心的性质，B 命题正确；
对于选项C：
，
说明
的轨迹是
中
边的中线（从
出发的射线）.
而内心是角平分线的交点，仅当
时内心才在中线上，
任意三角形的内心不一定在中线上，因此动点
的轨迹不一定经过内心，C 命题错误；
对于选项D：由
，取
中点
，则
，
又
，所以
，整理得
，所以
三点共线，
又
为锐角
外心，可得
，因为
为
中点，所以
，
所以
，所以
，D 命题正确.
【点睛】本题考查平面向量与三角形五心的结合，核心是利用向量的线性运算、数量积运算，结合三角形五心的
位置特征与对应向量性质判定命题正误
3．（25-26 高三上·黑龙江大庆·期中）如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c
且
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】通过向量的数量积化简后根据正弦定理将边转化为角，通过诱导公式及两角和的余弦公式解方程即可.
【详解】如图，取
的中点D，由外心的性质可知
，所以
.
由
可得
.
对
两边同时点乘
，
得
，
所以
，
由
，知
，所以
，
由正弦定理得
，
所以
.
在
中，
，所以
，
又
，
所以
，
所以
，解得
.
4．（25-26 高三上·山西阳泉·期中）在
中，内角A，B，C 所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是
（ ）
A．点G 为
的重心，若
，则
B．若满足
，
，
的
有两解，则t 的取值范围为
C．若
则
是
的外心
D．若点O 为
内一点，且
，则
【答案】C
【分析】根据重心的性质用
表示
，可得
，从而求得
判断A；根据余弦定理及二次方程有两
根，求得的范围，判断B；由向量的数量积的运算及外心的定义判断C；延长
交
于点
，由向量的线性运
算法则及向量共线定理，可得
，从而求得面积比，判断D.
【详解】选项A：点
为
的重心，设
中点为
，则
=
，
故
，即
，
，
所以
，A 正确；
选项B：首先
，且必有两种可能的取值，
由余弦定理
，得
，
故关于的方程
必有两个不同的正数解，
所以
，解得
.
另一方面当
时，
，所以
，所以
，且
，
所以
可能是锐角，也可能是钝角，所以
确有两解.
所以的取值范围是
，B 正确；
选项C：若
，
则
，
所以
，所以点
在
边的高上，所以不一定是
的外心，所以C 错误；
选项D：若点
为
内一点，且
，延长
交
于点
，
故存在实数
，使得
，由于
在直线
上，故
，从而
，
即
，所以
，故
，D 正确.
5．（25-26 高三上·江苏盐城·阶段检测）已知点P 是
的重心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理逐项验证即可求解.
【详解】设
的中点为
，由点P 是
的重心，所以
，
所以
，故D 正确；C 错误；
由
，故AB 错误；
6．（25-26 高三上·广西南宁·阶段检测）已知点
、
、
在
所在平面内，且
，
，
，则点
、
、
依次是
的（ ）
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
【答案】C
【分析】根据
到三角形三个顶点的距离相等，得到
为外心；根据中线的性质，可得
为重心；根据向量垂直，
即得到
是垂心.
【详解】
因为
，所以
到定点
的距离相等，
所以
为
的外心；
由
，则
，
取
的中点
，则
，
所以
，即
为
靠近
的三等分点，
所以
是
的重心；
由
，得
，即
，
所以
，同理
，
，所以点
为
的垂心.
7．（25-26 高三上·重庆渝北·期中）若点
是
所在平面上一点，且
，
是直线
上一
动点，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．8
D．9
【答案】A
【分析】分析可知点
是
的重心，根据三点共线结合向量运算可得
，
，
结合题意可得
，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为
，即
，可知点
是
的重心，
则
，
因为
三点共线，则
，且
，
可得
，
又因为
，则
，可得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值是
.
8．（25-26 高三上·海南海口·阶段检测）已知
所在平面内的动点
满足
，且实数
，
形
成的向量
与
向量共线，则动点
的轨迹必经过
的（ ）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
【答案】D
【分析】利用向量共线的坐标公式通过
与
向量共线，经过整理得到
，将其代入
，经过整理得到，
，利用向量减法的三角形法则得到
，取
的中点
，由向量加法的平行四边形法则得到
，将其代入
得到
，动点
的轨迹必经过
的重心.
【详解】
与
向量共线，故
，
即
，解得
，
将
代入
，得到
，
即
，所以
，
取
的中点
，则有
，
故
，所以动点
的轨迹必经过
的重心.
故选：D.
9．（25-26 高二上·上海·期中）已知
，点
是平面
外一点，点
是点
在平面
上的射
影，直线PA，PB，PC 与平面ABC 所成的角相等，则
是
的（ ）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
【答案】D
【分析】点
是点
在平面
上的射影，知
平面
，所以
，由直
线PA，PB，PC 与平面ABC 所成的角相等，证得
，从而证得
，由此可
知
是
的外心.
【详解】由题可知，
平面
，所以
.
所以
.
连接
，则
分别是直线PA，PB，PC 与平面ABC 所成的角，
所以
.
在
中，
，
是公共边，
所以
.
所以
.
所以
是
的外心.
故选：D.
10．（2026 高三·全国·专题练习）已知
是
所在平面内的一定点，平面内动点
满足
，则动点
的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
【答案】B
【分析】令
的中点
，利用向量的线性运算及数量积的运算律、数量积的定义计算判断.
【详解】令
的中点
，则
，由
，
得
，即
，
因此
，则
，点
在
的垂直平分线上，
所以动点
的轨迹一定经过
的外心.
故选：B
11．（25-26 高三上·上海青浦·期末）已知
为
所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若
，则
为
内心
②若
，则
为等腰三角形
③若
，则
为
的外心
④若
，则点
的轨迹一定经过
的重心
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向
量表示判断③；设
的中点为
，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④.
【详解】对于①：由
得
为
重心，故①错误；
对于②：由
得
，
又
，所以
，所以
为等腰三角形，故②正确；
对于③：由
得
，同理得
，
所以
为
的垂心，故③错误；
对于④：取
的中点为
，所以
，由正弦定理得
，令
，
则
，所以
，点
的轨迹经过
的重心，故④正确.
故选：B.
12．（25-26 高三上·河南南阳·阶段检测）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定
理对应的图形与“奔驰”轿车（
）的
很相似，故形象地称其为“奔驰定理.”奔驰定理：已知O
是
内一点，
的面积分别为
则
.设O 是
内的一
点，则以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则O 为
的重心
C．若
，且
，则
D．若
为
的内心，
，则
【答案】BCD
【分析】根据奔驰定理求出
，即可判断A；先求出
，再由面积公式推出
为三条边中点的
交点，即可判断B；先求出
，再求出
，然后根据比例关系求出
，即可判断C；先求出
，
然后利用内切圆半径及面积公式将其转化为三边的比，再由勾股定理得到
，即可判断D.
【详解】由奔驰定理可知，若
，则
，故A 错误；
若
，则
，即
.
因为
和
有相同的公共边
，且面积相等，
所以可得
两点到直线
的距离相等，所以
的延长线一定过
中点，
同理，
的延长线一定过
中点，
的延长线一定过
中点，
所以
为三条边中点的交点，即O 为
的重心，故B 正确；
由
，可得
.
若
，则
，
所以
，即
，所以
故C 正确；
由
，可得
.
设内切圆半径为，则
，
，
，
即
，因为
，所以
，故D 正确.
13．（25-26 高三上·浙江·期中）（多选）已知点
为
的外心，点
为
所在平面内一点，则下列结论
一定成立的有（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则点
为
的重心
D．若
，则点
为
的垂心
【答案】BCD
【分析】对于选项A,将
变形为
，结合外心性质分析是否相等;对于选项
B，根据正弦定理可得
，再结合
，对比半径比较大小即可；对于选项C：根据重心的向
量性质求解即可；
对于选项D，结合向量线性运算和数量积运算求解
，同理可证
，进而判断垂心.
【详解】已知
是
外心，故
（外接圆半径）
选项A，若
，
整理得
，
即
，仅对特定
成立，不是对任意
一定成立，故A 错误；
选项B，如图所示，取
中点
，
，
故
由题
，
得
. 由正弦定理：
，
故
，即
，B 正确.
选项C，对于任意点
,重心
的向量性质为：
，
即
，题设
，故
与
重合，
即
是
重心，C 正确；
选项D，若
，
故
，
同理可得
，即
是垂心，D 正确.
14．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）（多选）点
是
所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
，则点
为
的垂心
C．在
中，向量
与
满足
，且
，则
为等边三角形
D．若
，
，
分别表示
，
的面积，则
【答案】AC
【分析】根据三角形的重心、垂心、等边三角形、三角形面积以及向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，如图，取
边中点
，连接
边上的中线
，则
，
又∵由
，∴
，∴
，
∴
为
的重心，故选项A 正确；
对于B，如图，取
边中点
，
边中点
，连接
，
，
则
，
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，
，∴
，
，
∴
，
分别是
，
边上的垂直平分线，
∴
，
为
的外心，故选项B 错误；
对于C，
，
，
∵
，且
，∴
，
∴
为等边三角形，故选项C 正确；
对于D，设
，
，由
得
，
则由选项A 可知，
为
的重心，设
的面积
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，故选项D 错误.
15．（2026·山东济宁·二模）
是
的重心，过点
且不过
顶点的直线分别交边
，
于点
，
，记
和
的面积分别为
，
，则
的最小值是________.
【答案】
【分析】设
，利用三角形重心的性质，结合等高的三角形面积关系建立函数，再
利用基本不等式求出最小值.
【详解】设
，由
是
的重心，得
，
则
，又点
共线，因此
，即
，
而
，
，
则
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值是
.
16．（25-26 高三上·上海·期中）已知
为
的重心，过
的直线分别与边
交于点
，则
的最
小值为_____．
【答案】
【分析】根据题设条件，利用
表示
，根据平面向量基本定理得出系数间的关系式
，
利用三角形面积公式得出所求比值为
，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图，延长
交
于点
，因为
为
的重心，所以点
是
的中点，
则
，
因为
三点共线，所以可设
，
设
，则
，
所以
，即
，
又因为
为
的重心，所以
，
所以
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
17．（25-26 高三上·上海·期中）在
中，
为
内的一点．若
为
的重心，
且
，则
__________．
【答案】1
【详解】设
为边
的中点，因为
是三角形的重心，所以
，
，
，
．
18．（2026 高三·全国·专题练习）已知点
在
内，且是
的垂心，若
，则
____．
【答案】
【分析】利用五心的向量表达式可求
，利用两角和的正切公式得
，进而得
，即可求解.
【详解】依题意，取
的中点
，取
的中点
，连接
，
则
，
因为
，所以
，所以
.
所以
三点共线，且
，连接
，则
，且
，
所以
，
如图，延长
分别交
于点
，
在线段
上取
，使得
.连接
，
取
的中点
，取
的中点
，连接
，
则
，
因为
，所以
，
所以
三点共线，且
，
因为
为
的中点，所以
，且
，所以
，
所以
，
综上可得
，
设
，
因为
，
整理得
，可得
，因为
，
所以
．又
，所以
，所以
．
故答案为：
.
19．（25-26 高三·全国·二轮复习）已知点
均在
所在平面内，以下所有正确说法的序号是______．
①若动点
满足
，则点
为
的重心；
②若动点
满足
，则动点
的轨迹一定经过
的内心；
③若动点
满足
，则动点
的轨迹一定经过
的重心；
④若动点
满足
，则动点
的轨迹一定经过
的垂心．
【答案】①②③④
【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案.
【详解】对于①，因为动点
满足
，所以
，则点
是
的重心，①正确．
对于②，
，所以
，
所以点
在
的平分线所在直线上，所以动点
的轨迹一定经过
的内心，②正确．
对于③，
，所以
，
过点
作
，垂足为
，如下图：
则
，所以
，
则点
在
边上的中线所在直线上，因此动点
的轨迹一定经过
的重心，③正确．
对于④，
，所以
，
所以
，
所以
，所以动点
的轨迹一定经过
的垂心，④正确．
故所有正确说法的序号是①②③④．
故答案为：①②③④.
20．（25-26 高三上·北京东城·阶段检测）在三角形
中，点
是三角形
所在平面内一点，
的三个
内角
的对边分别是
，则下列给出的命题：
①若
，则点
是三角形
的垂心；
②若向量
，则点
的轨迹通过
的重心；
③若
，则点
是三角形
的内心；
④若
，则点
是三角形
的内心．
其中正确的命题是：___________
填写正确结论的编号
【答案】①②③
【分析】根据向量运算，以及三角形垂心、重心、内心、外心等知识对
个命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①由
得，
，即
，
同理可得，
，则点
是
的垂心，①正确；
②在
中，以
、
为邻边作平行四边形
，则
，
从而
，进而
一定在
的
边的中线上，
由此得到点
的轨迹一定过
的重心，②正确；
③
时，
向量
分别表示在边
和
上取单位向量
和
，
它们的差是向量
，当
，即
，
而三角形
是等腰三角形，
所以点
在
的平分线上，同理可得点
在
的平分线上，
故
为
的内心，③正确；
④
时，
是以
、
为平行四边形的一条对角线，
而
是该平行四边形的另一条对角线，
时，
表示这个平行四边形是菱形，即
，同理得
，
故
为
的外心，④错误．
故答案为：①②③
