四基”是当前高考数学命题的核心依据，也是新课标要求掌握的根本，它们之间是层层递进、相
辅相成的有机整体。
1.什么是“四基”？
“四基”具体包括以下四个方面：
· 基础知识：指数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等。
· 基本技能：指按照一定的程序与步骤进行运算、推理、画图、数据处理等的技能。
· 基本思想：指数学知识发生、发展过程中体现的抽象、推理、模型等思想。
· 基本活动经验：指亲自经历数学探究、建模等实践活动后获得的体验与感悟。
2.“四基”在高考中的地位
· 命题的“指挥棒”：高考试卷严格依据课标要求，全面覆盖“四基”内容，突出主干知识，确
保考查的全面性与基础性。
· 分数的“基本盘”：高考中约80% 的题目（选择、填空及解答题的前置问）直接考查基础知识
和基本技能。
· 核心素养的“基石”：“四基”是数学核心素养生成的土壤，扎实的基础是发展更高层次能力
的前提。
1. 集合运算时要根据代表元素注意区分集合的形式
{x|y=lgx} {y|y=lgx} {(x,y)|y=lgx}
【过关练】 —函数的定义域； —函数的值域； —函数图象上的
点集.
2. 已知集合、元素间的关系求参数时，注意验证集合元素的互异性【过关练】（2026·河北邯郸·二模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【答案】A
【分析】根据交集定义和集合元素的互异性求解即可.
【详解】已知 ，则 是 的公共元素，且 中元素不能重复.
因为 ， ，因此 或 ，解得 或 .
验证：若 ， ，集合 出现重复元素，舍去；
若 ， ， ，此时 ，符合条件
3.条件为A⊆B，在讨论的时候不要遗忘了 A=φ 的情况
【过关练】（2026·江苏无锡模拟）已知集合 ，若 ，则所有整数a的取值构成的集合为
（ ）
A． B． C． D．N
【答案】C
【分析】按照 和 这两种情况讨论求解，当 时，得到 符合题意；当 时， ，
求出 ，由 ，得到 或 ，计算出 的值，从而得到所求.
【详解】当 时， ，满足 ，故 符合题意；
当 时， ， ， ，
或 ， 或 ，
综上可知所有整数 的取值构成的集合为 .故选：C.
4.已知集合中有n个元素，如何确定子集、真子集的个数？（子集2n,真子集2n-1个）
【过关练】（2026·安徽·三模）已知集合 ，集合 ，则 的真子集
个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】由题意得 ，集合 ，则 ．
则 的真子集个数为 ．
5.如何判断充分必要条件？定义法、集合法、图示法.
【过关练】1．（2026·陕西榆林·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解 得 ，
解 得 ，
又 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
2．（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不等式 等价于 ，解得 .
找充分不必要条件，即找集合 的真子集，仅 C选项 是原解集真子集.6.会写全称命题、特称命题的否定吗？转换量词否定结论
【过关练】（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题 ，则命题 的真假以及否定分
别为（ ）
A．真， B．真，
C．假， D．假，
【答案】B
【分析】根据命题的真假判断即可.
【详解】 ，故命题 为真．
又 ， ．
7.利用基本不等式求最值的三个条件是什么？一正二定三相等
【过关练】（2026·广东广州·二模）已知 ，且 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数、正余弦函数单调性推理判断AD；举例说明判断B；利用基本不等式推理判断C.
【详解】由 ， ，得 ，
对于A， ，A正确；
对于B，取 ，则 ，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D，显然 ，则 ，D正确.
8.利用基本不等式求最值的常见模型有哪些？
n √ n
mx+ ≥2√mn(m>0,n>0) x=
(1)模型一： x ，当且仅当 m 时等号成立；n n √ n
mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0) x−a=
(2)模型二： x−a x−a ，当且仅当 m 时等号成
立；
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b
x=
√c
(3)模型三： x ，当且仅当 a 时等号成立；
mx(n−mx) 1 mx+n−mx n2 n n
x(n−mx)= ≤ ⋅（ ) 2 = (m>0,n>0,0<x< ) x=
(4)模型四： m m 2 4m m ，当且仅当 2m时
等号成立.
（5）模型五：“已知x+y=t(t为常数),求 的最值”的问题，先将 转化为 ，
再用基本不等式求最值.
【过关练】（2026·广东清远·二模）已知实数 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解.
【详解】实数 ，且 ，则
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
1、判断函数是否相同的三要素是什么？定义域、对应法则、值域
【过关练】（25-26高三上·浙江·月考）下列函数 和 为同一函数的是（ ）A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可.
【详解】对于A，函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，而 ，
所以函数 和 不为同一函数；
对于B，函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，
而 ， ，
所以函数 和 为同一函数；
对于C，函数 的定义域为 ，
函数 ，则 的定义域为 ，
所以函数 和 不为同一函数；
对于D，函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，
而 ，所以函数 和 不为同一函数.
故选：B.
2、函数的定义域一定要写成集合或区间形式还知道吗？如何求复合函数的定义域？
【过关练】（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数 的定义域为 ，则
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意求出 的定义域，结合函数 列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意可知函数 的定义域为 ，即 ，
故 ，则 的定义域为 ，
则对于 ，需满足 ，
即 的定义域为 ，
故选：C
3、一定要在函数的定义域内求单调区间，多个单调区间不能用 连接还记得吗？
【过关练】（2025高三·广东·模拟）函数 的单调增区间为（ ）
A． B． C． 和 D．
【答案】C
【分析】由 可得 且 ，然后求出 的减区间即可.
【详解】由 可得 且 ，因为 开口向下，其对称轴为 ，
所以 的减区间为 和
所以 的单调增区间为 和
故选：C
4、关于单调性的常用结论还知道吗？
（1）∀x，x∈I且x≠x，有>0(<0)或(x－x)[f(x)－f(x)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
（3）函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
（4）复合函数的单调性：同增异减．
【过关练】（25-26高三下·河南周口·月考）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 且
时，不等式 恒成立，设 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意判断函数 在 上的单调性，根据偶函数的性质及指数、对数的运算性质，结合
单调性判断即可.
【详解】因为当 且 时，不等式 恒成立，
所以函数 在 上单调递增.
因为函数 是定义在 上的偶函数，
所以 .因为 ，
所以 ，即 .
5、已知分段函数的单调性求参数，要注意什么？每段的单调性和分段处函数值的大小关系
【过关练】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 若对任意 ， ，且
，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得， 在 上是增函数，
所以 在 上单调递增，则 ①，
又 时， ，
时， ，故 ②，
联立①②，解得 ．
6、奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称这一必要条件还记得吗？
7、已知函数的奇偶性如何求参数？特殊值法、定义法.
【过关练】（2026·河北·二模）若函数 为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可求解 ，即可代入求解.
【详解】 的定义域为 ，由于 为偶函数，故 ，即 ，
整理可得 ，故 ，则 ，
所以 .
8、常见奇偶性函数模型有哪些？
(1)奇函数：
①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
(2)偶函数：
①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数.
9、函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)= ，则T=2a；
(5)若f(x+a)= ，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
10、对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线 对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点 对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点 对称.
11、函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
(2)若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
(3)若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.
【过关练】（2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足 ，且
为奇函数，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数 为奇函数可得 ，又 ，即可求解.
【详解】∵函数 为奇函数，∴ ，
又∵ ，
∴ ，故选项C正确.
其他三个选项条件不足无法计算，故选C.
故选：C.
12.求解抽象函数问题的常用方法是：赋值求值、探究性质、构造特殊函数【过关练】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为 的偶函数 满足 ，且
在 上是单调递增函数，若函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为偶函数 B． 在 上是单调递增函数
C． D．
【答案】C
【分析】先通过题干求出 的周期；根据偶函数定义判断A选项；通过 ，结合
的单调性与单调性运算性质可判断B选项；利用作差法，结合函数 的符号进行比较大小即可判
断C选项；结合函数 的周期性和对称性判断D选项是否具有周期性.
【详解】已知 （①），将 替换为 得
（②），
由①+②得 ，则 ，
即函数 周期为 ，且 恒成立，
又 是定义域 的偶函数，故 ，且 在 单调递增，
因此 ，结合 得 .
选项A： （③），
由 得 ，代入③式得 ，
而 ，显然 ，故A错误；
选项B： 时， ， ， 递增，
故 在 递减； 同时 ， 在 上单调递增，因此 ，根据单调性运算性质可知 递减函数，故B错误；
选项C： 因此 ，
已知 ，故 ，故C正确；
选项D： ，故D错误.
13.借鉴模型函数进行类比探究中常见的函数模型有哪些？
①正比例函数型： --------------- ；
②幂函数型： -------------- ， ；
③指数函数型： ---------- ， ；
④对数函数型： --- ， ；
⑤三角函数型： ----- 。
【过关练】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数 的定义域为 ，且
， ，则 （）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】利用已知条件 变换先计算周期，算出一个周期内的值，然后根据
周期性求结果即可.
【详解】因为 ，由 ，令 ，则 ，
即 ①，
所以 ②，
①②相加得： ，
所以 ，
所以函数的一个周期为6，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
又 ，
所以 ，
，
所以
所以由周期性得：
，
故选：D.
14.恒成立问题的求解策略有哪些？分离参数法；最值法；化为一次或二次方程根的分布问题.
【过关练】（2026·海南海口·一模）已知函数 （ ，且 ）为偶函数， ，恒成立，则实数 的可能取值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】由偶函数定义可得 ，令 ，分离参数得 ，由对勾函数性质计
算即可求解.
【详解】由 是偶函数可得 ，
即 ，得 ，
所以 ，令 ，
，此时， ，即 ，
令 ，因为 在 上单调递减，
所以 ，即 可以取 ，0，1.
故选：BCD
15.有解问题的求解策略呢？
∃x∈D
，使得a≥f(x)成立⇔a≥[f(x)] ;
∃x∈D
，使得a≤f(x)成立⇔a≤[f(x)] ;
min, max
【过关练】1.（25-26高三上·山东青岛·期末）对于任意实数 ，关于 的不等式 在 总有
解，则 的范围是________.
【答案】
【分析】根据函数单调性的性质，结合对数函数的单调性、绝对值不等式的公式解法分类讨论进行求解即
可.
【详解】因为函数 在 上都单调递增，
所以函数 在 上也单调递增，所以 .
当 时，显然关于 的不等式 在 总有解，
当 时， ，或 ；
当 时，
要想关于 的不等式 在 总有解，
只需 ；
当 时，
要想关于 的不等式 在 总有解，
只需 ，
所以 ，而 ，所以 ，
综上所述： ，
所以 的范围是
2.已知函数 ，对任意实数 ，存在实数 ，使得
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求出 在 上的最大值，问题转化为存在 ，使得 成立，分
离参数求解.
【详解】 ，当 时， ，所以 ，所以 ，
所以存在 ，使得 ，即 成立，
所以 ， ，所以 ，
故实数 的取值范围为 .
故选：C.
1、导数的定义式你知道吗？
【过关练】已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【分析】根据导数的定义可得 ，再用求导公式可得 ，代入
即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D
2、导数的数学意义、物理意义、几何意义分别是什么？
【过关练】一物体的运动方程是 ，其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 时的瞬
时速度为_____（答：5米/秒）
3、求导公式和法则是知道哪些？C' =0 (xn ) ' =nxn−1 (sinx) ' =cosx
①常见函数的导数公式: ① ； ② ； ③ ；
(cosx) ' =−sinx (ex ) ' =ex (ax ) ' =axlna
④ ； ⑤ ； ⑥ ；
1 1
(lnx) ' = (log x) ' =
x a xlna
⑦ ； ⑧ 。
(f(x)±g(x)) ' =f(x) ' ±g(x) ' (f(x)g(x)) ' =f(x) 'g(x)+f(x)g(x) '
； ；
② 导 数 的 四 则 运 算 法 则 ：
f(x) f(x) 'g(x)−f(x)g(x) '
'
( )=
g(x) g2 (x)
4、
如何区分在P点的切线和过P点的切线？如何求两个曲线的公切线？
【过关练】1.（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线 过坐标原点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 .
设切点为 ，则切线斜率 .
切线方程为 .
将原点 代入得 ，
即 ，因为 ，所以 ，解得 .
所以切线斜率 ，切线方程为 .
故所求切线方程为 .
2.（2026·河南焦作·一模）已知曲线 与 的公切线为 ，则 在 轴上的截距为
___________．【答案】 /
【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消
元求解即可.
【详解】设曲线 上的切点为 ，
又因为 ，所以直线 ，
即
设曲线 上的切点为 ，
又因为 ，所以直线 ，
即
因为 是公切线，所以 ，解得
所以
所以 在 轴上的截距为
5、
利用导数求函数的单调区间要注意什么？注意定义域，写成区间，不能取并
【过关练】（25-26高三·全国·一轮复习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】D
【分析】求导，根据导数判断函数单调性.
【详解】由题知 的定义域为 ，
，令 ，解得 或 ，
故函数 的单调递增区间为 和 ，
故选：D.
6、
含参函数的单调区间在讨论时要注意几方面：系数正负、根的存在性（是否有根，根是否在定义域）
和根的大小关系；已知函数的单调性如何求参数？
【过关练】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在定义域内单调递减，并且对任意正数 都有 ，求实数 的取
值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数分析单调性可得；
（2）结合（1）的结果，转化问题为 ，再构造函数 ，求导后分离
常数再结合换元法和基本不等式可得.
【详解】（1） ，
①当 时， 恒成立，故 在 上递增；
②当 时， 在 上递增， 在 上递减；
③当 时， 在 上递减．
（2）因为 在定义域内单调递减，所以 ．不妨设 ，那么有 ，
于是不等式 等价于 ， ，
设 ，则 ，即 在 上递
减，
故 对 恒成立，也即 对 恒成立，
令 ，则 ，故 ，
当且仅当 时取等号，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
7、
如何求函数的极值？
【过关练】（2026·江苏·二模）函数 的所有极值的和为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
【答案】A
【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值.
【详解】由题可得 ，令 ，解得： 或 ,
当 或 时， ,当 时， ,
所以 的单调递增区间为： 和 ，单调递减区间为 ,
所以 的极大值为 ，极小值为 ,
则函数 的所有极值的和为
8、
已知函数的极值求参数要注意什么？要检验是否满足，因为导函数的零点不一定是极值点
【过关练】函数 处有极小值10，则a+b的值为____
【答案】－7
9、
利用导数证明不等式的基本策略是什么？
【过关练】（2026·福建厦门·二模）设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递减，在
单调递增；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先求出导函数 ，再对 分情况讨论，分别求出函数 的单调区间；
（2）由（1）可知当 时， 的最小值为 ，令 ，利用
导数得到 的最小值为 ，
所以 ，即证得 .
【详解】（1）函数 的导数为 ，
当 时， 恒成立，故 ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递减，在
单调递增.
（2）由（1）知，当 时， 在 处取得最小值，
因此，对任意 ，有 .
只需证明 ，即
令 ， .
求导得 ，
，故 在 上单调递增.
由 知，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增.
所以 在 处取得最小值 .
因此 ，即 成立，等号当 且 时取得.
10、
什么是极值点偏移和隐零点问题？
【过关练】证明： ．
证明：令 ，则 在 上单调递增，
因为 ， ，所以 在 存在唯一实数根 ，且 ，
当 时， ， ， 时， ，
当 时，函数取得最小值，
因为 ，即 ，
故 ，
所以 ．
1. 处理数列中的最值问题的基本策略有哪些？
（1）数列单调性法（2）不等式法（3）分类讨论：含有 按奇偶数讨论（4）函数法（5）找变号项
（等差数列和的最值问题）
(7) n
【过关练】（1）在数列{a }中，a =(n+1) ，则数列{a }中的最大项可以是( )
n n 8 n
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项
【答案】AB
（2）已知数列{a}的通项公式为a＝，其最大项和最小项的值分别为( )
n n
A．1，－ B．0，－ C.，－ D．1，－
答案 A
解析 因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，a ＝<0，且单调递减；当n≥4时，a ＝>0，且单调递减，所以最
n n
小项为a＝＝－，最大项为a＝＝1.
3 4
2. 如何证明等差、等比数列？
3. 等比数列基本量计算中要注意 是同号的。
等比数列中 ，求
【过关练】【答案】2
4. 等差、等比数列常用的性质有哪些？
（1）等差数列的性质
（1）通项公式的推广：a＝a ＋（n－m）d（n，m∈N*）；
n m
（2）若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则a＋a＝a ＋a；
n k l m n
（3）若{a
n
}是等差数列，公差为d，则a
k
，a
k＋m
，a
k＋2m
，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列；（4）
数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列，公差为 m 2 d .
m 2m m 3m 2m
（2）等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则a a ＝ aa ，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则a a ＝ a ，其中 m，n，
m n p q m n
w∈N*.
(2)a
k
，a
k＋m
，a
k＋2m
，…仍是等比数列，公比为 q m (k，m∈N*)．
(3)若数列{a}，{b}是两个项数相同的等比数列，则数列{a·b}，{pa·qb}和 也是等比数列(b，p，
n n n n n n
q≠0)．
(4)等比数列{a}的前n项和为S ，则S ，S － S ，S － S 仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1
n n n 2n n 3n 2n
除外)
【过关练】（2026·广东湛江·二模）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由等比数列的性质得 .
由于 的各项均为正数，所以 .
5. 求通项公式的常见题型及解题策略有哪些？
（1）累加法（2）累乘法（3）已知 求 ：两大步一小结（4）已知 求 ：转化为
项的关系或和的关系，注意一定要判断递推关系是否到首项！！！！（5）构造法
【过关练】（2026·江苏·模拟预测）数列 的前 项和为 ，已知 且 .)求 的通项公
式；【答案】
【详解】∵ ①，
∴ ②，
①-②得： ， ，
为公比为 的等比数列 ，
②中令 ，则 ，
∴ .
当 时不符合题意，
所以 .
6. 数列的求和有哪些基本方法？每种方法适用于什么样的题型？
（1）裂项相消法（分式型和根式型）（2）错位相减（差比数列）（3）并项法（前后项的和为常数或特
殊数列）（4）倒序相减（首尾等距的两项和为常数或特殊数列）
7.分段数列求和的基本策略是什么？
注意奇偶数的讨论，复杂问题可列一列看一看，先求n为偶数的情况，当n为奇数时 ，求
则不用讨论。
【过关练】设 是等差数列， 是公比大于0的等比数列，已知 ， ， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，且 ．依题意得 ，解得 ，所以 或 ．
又因为 ，所以 ，所以 ，故 ， ．
（2） ，
．
一、空间几何体
1、空间几何体的体积、面积公式记得吗？圆台的侧面积公式是什么？体积公式是什么？表面积与侧面积
的区别是什么？
【过关练】某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为 ，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆台的母线长为l，高为h，
因为圆台上底面圆的半径 为1，下底面圆半径 为2，母线 ，
因此圆台的高为 ，
所以圆台的体积为 .
故选：A
2、外接球、内切球问题
(1)长方体的外接球的直径为体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长．(2)正四面体的外接球、内切球球心重合，且在垂线上，R ∶r ＝3∶1.
外接球 内切球
(3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心连线的中点．
(4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成长方体．
(5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补成直棱柱，如图①②.
(6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体，使三棱锥的棱为面对角线．
(7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂线，两垂线的交
点即为外接球球心．
【注意】旋转体的外接、内切问题一般画轴截面进行分析.
【过关练】在三棱锥 中， 平面 ， ， 为边长等于 的正三角形，则三棱锥
的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】易知 的外接圆的半径为1，将三棱锥 补形为一个直三棱
柱 ，
如图， 分别是上下底的外心，则 的中点 是外接球的球心，
由题设，易得底面外接圆半径 ， ，则 ，即外接球
的半径为 ，
其外接球的表面积是 .
3．直观图与斜二测画法
任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间的关系为S′＝S.
【过关练】已知正三棱锥的体积为 ，其底面三角形的斜二测直观图面积为 ，则三棱锥的高为
（ ）A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可.
【详解】设底面三角形面积为 ，三棱锥的高为 ，
由直观图的性质得 ，解得 ，
因为正三棱锥的体积为 ，所以 ，解得 ，故A正确.
故选：A
二、空间位置关系的证明：
1、平行关系的证明
（1）线面平行的证明：思路一：线面平行的判定定理
思路二：面面平行的性质定理：即构造一个包含该直线的平面，先证面面平行，再证线面平行.思路三：坐
标法
（2）线线平行的证明：思路一：线面平行的性质定理
思路二：平行公理
注：经常出现的结论和定理：（1）垂直于同一平面的两直线平行；（2）两平行平面与第三个平面相交，
则交线平行.
2、垂直关系的证明
（1）线面垂直的证明：思路1：线面垂直的判定定理
思路2：面面平行的性质定理.
（2）线线垂直：线面垂直的性质定理和勾股定理（涉及长度关系的相交直线）
（3）面面垂直：面面垂直的判定定理
注：能直接建系也可以用向量法证明
【过关练】如图，三棱柱 的侧面 与侧面 均为正方形， 为 的中点，
.(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ；
【分析】（1）证明出 ， ，可完成证明；
（2）通过证明 平面 ，可得 ⊥ ，进而可得 ⊥平面 ，即可完成证明；
【详解】（1）证明：因为侧面 与侧面 均为正方形，
所以 ， ，
又 平面ABC，所以 平面 ；
（2）证明：因为 ，所以 平面 ，
由 平面 得， ，
因为 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ .
因为 平面 平面 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ⊥平面 .
又 平面 ，故平面 平面
3.如何建系求坐标
建系三原则：重合性原则、对称性原则和右手系原则
注：必须先证垂直关系再建系4、求点的坐标
（1）直接法：
坐标轴、坐标平面上的点的坐标
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
(x，0， (0，y，
点的坐标 (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
0) 0)
记忆：“在哪哪非零，其他都为零”．
空间点的对称点
初始点的坐标 (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z)
对称轴(平面) x轴上 y轴上 z轴上 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
(－x，y，－ (－x，－y，
对称点的坐标 (x，－y，－z) (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z)
z) z)
记忆“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”．
空间点在坐标平面投影点的坐标
初始点的坐标 (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z)
坐标平面 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
投影点的坐标 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
记忆“投影到哪哪不变，第三个坐标为零”．
用法：以上规律一般逆用，在写空间中点的坐标时，先写坐标平面内的投影点的坐标，再确定第三个
坐标，而第三个坐标为该点到该坐标平面的距离．如在棱长为1的正方体中的点B，在Oxy平面内的投影
1
为B，而B(1，1，0)，则B(1，1，1)．
1
（2）公式法：
涉及到中点或重心的点的坐标，可直接利用公式求解：
x +x y + y z +z
若点A(x ,y ,z ),B(x ,y ,z ),C(x ,y ,z )，则线段AB的中点坐标( 1 2, 1 2, 1 2 )；
1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2
x +x +x y + y + y z +z +z
三角形ABC的重心( 1 2 3, 1 2 3, 1 2 3 ).
3 3 3
（3）根据向量关系
向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是
先设出所求点的坐标，再选取向量，两用向量之间的相等、平行、垂直等关系求解．
（4）待定系数法
类型1：当点在坐标轴上时，可直接设出点的坐标再根据条件求解
类型2：当点在直线上时，用一个变量就可以表示出所求点的坐标，如 ，再根据向量相等
表示出点的坐标或直接利用向量的线性运算求出所需向量的坐标．
（5）三角函数法
当知道OP与坐标轴的夹角时，可以利用三角函数的知识求出P点坐标
注：“与哪个轴的夹角已知，该轴上的坐标就是该点与原点的距离与夹角的余弦的乘积，另一个轴上
的坐标就是该点与原点的距离与夹角的正弦的乘积，第三个轴上的坐标为零”．
5.空间角与距离的计算公式（1）异面直线所成的角：
已知两条直线的方向向量分别为： ，异面直线所成的角为 ，则
（2）直线与平面所成的角：
已 知 直 线 的 方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量 分 别 为 ： ， ， 直 线 与 平 面 所 成 角 为 ， 则
（3）点到平面的距离
已知平面的法向量为 ，则
（4）.二面角：
已知两个半平面的法向量分别为： ，锐二平面角为 ，则
（5）点到线的距离公式【过关练】（2026·河北邢台·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ，
， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)四棱锥 的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据面面垂直的判定即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式即可求解；
（3）先说明四棱锥 的所有顶点在球心为 的球面上，再根据球的体积公式求解．
【详解】（1）证明：因为底面 是正方形，
所以 ，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）设 交 于点 ，过 作 ，垂足为点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， ， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
以 为坐标原点，向量 ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
在 ， ，所以 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 得 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
由 得 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则
，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
（3）连接 ，由（2）知 ，又 为 的中点，所以 ，又 ，所以 ，
所以四棱锥 的所有顶点在球 的球面上，所以球 的半径 ，
所以球 的体积 ．
1.扇形的弧长和面积
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝.
相关公式：(1)l＝ | α | r . (2)S＝lr＝|α|r2.
【过关练】（2026·陕西·二模）如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分
别为 和 为圆 上一点，且三角形 为直角三角形，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】设 ， .
因为三角形 为直角三角形，所以 .
所以阴影部分的面积 .
2. 任意角的三角函数的定义是什么？
【过关练】（2026·安徽·三模）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系 ．设时针长为 ，若某时刻时针指向 点到 点之间，且针尖所在点的纵坐标为 ，则在经过 小时后，时针针尖所在点的
横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 轴，垂足为 ，单位圆交 轴正半轴于点 ，根据条件求出 点坐标，由三角函数的定
义得 ，结合条件，由余弦的差角公式，即可求解.
【详解】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为 点，且在单位圆上，
如图所示， 点的纵坐标为 ，设 轴，垂足为 ，单位圆交 轴正半轴于点 ，
设经过 小时后，时针针尖所在点的坐标为 ，则 ，
在直角三角形 中， ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以点 在第一象限内，设 ，则点 坐标为 ，
设点 ，由 ，解得 或 舍去，
设 ，则 ，
所以 ．3. 同角关系式和诱导公式还记得吗？
注意：利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．
【过关练】（2026·江苏苏州·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先借助平方关系、商数关系及倍角公式化为齐次分式，再弦化切代入 即可求解.
【详解】
.
4. 三角变换涉及到的公式有哪些？变换的基本策略是什么？
能写出二倍角公式及其变形吗？cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝2cos2α－1＝ 1 － 2sin 2 α ，
降幂公式：sin2α＝，cos2α＝
【过关练】（2026·陕西咸阳·三模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出 ，再根据 结合商数关系化弦为切即可得解.【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
.
5. 三角函数的图像与性质有哪些？
注意：（1）在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
（3）求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值
后求解．
【过关练】（2026·山东东营·二模）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用辅助角公式化简函数，由 ，可得 ，从而得到答案.
【详解】 ，即 ．
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以函数 的值域为 ．
6. 如何进行三角函数图像的变换？三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为 ，而不是
φ.
【过关练】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象上
所有的点（ ）
A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
C．先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
D．先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
【答案】A
【详解】A选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 ，
再向右平移 个单位长度，得到 ，A正确；
B选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 ，
再向左平移 个单位长度，得到 ，B错误；
C选项，先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 ，
再向左平移 个单位长度，得到 ，C错误；
D选项，先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 ，再向右平移 个单位长度，得到 ，D错误；
7. 如何根据图像求函数的解析式？
8. 三角函数根据单调性、零点个数求参数范围的基本策略是什么？
【过关练】已知函数 在区间 ， 有且仅有3个零点，则 的取值范围是 ．
【解答】解： ， ，函数的周期为 ， ，可得 ，
函数 在区间 ， 有且仅有3个零点，
可得 ，所以 ．故答案为： ， ．
9. 利用正弦定理解三角形时如何判断解的个数？大边对大角以及正弦值的范围
【过关练】（1）在 中，内角 的对边分别为 .若 ，则
（ ）
【答案】A
（2） 中，已知 ， ， .（角对边型）
（1）若 恰有一解，则实数 的取值范围是 ；
（2）若 有两解，则实数 的取值范围是 ；
（3）若 无解，则实数 的取值范围是 ；
【答案】（1） （2） （3）
10.解三角形中的“三线”问题的处理策略是什么？
中线或比例端点的处理策略：
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD长．A
A
B D C
B D C
E
策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可
策略二：向量法， ,等式两边再进行平方
策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即
补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“ ”也适用，此时需要倍长等分线构造相似
角平分线问题的处理策略：
ABC中，AD平分∠BAC.
△
A
1 2
3 4
B D C
策略一：角平分线定理：
策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理
1 1 A 1 A
S =S +S ⟹ ×AB×AC×sinA= ×AB×AD×sin + ×AB×AD×sin ，
∆ABC ∆ABD ∆ADC 2 2 2 2 2
策略三：角互补：
∠ABD+∠ADC=π⟹cos∠ABD+cos∠ADC=0.【过关练】在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， 的平分线 的
长为 ，则 边上的中线 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由设 ， 可得 的值，进而可求得 的值，
结合余弦定理可得 ，由 可求得 ，即可求得结果.
【详解】由题意知，设 ，则 ，如图所示，
由 可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，
由 是 边上的中线，得.
所以，中线长 .
故选：A
11.解三角形中的范围问题如何求解？
【过关练】在锐角 中， ， ，
(1)求角A；
(2)求 的周长l的范围.
【详解】（1）∵ ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，所以 .
（2） ，所以 ,所以 ， ，
所以 ,
因为 是锐角三角形，且 ，
所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，
所以 .1. 直线方程的五种形式和使用环境是什么？
直线方程的五种形式
(1)点斜式： y － y ＝ k ( x － x)(直线过点P(x，y)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
0 0 0 0 0
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P(x，y)，P(x，y)，且x≠x，y≠y，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点
的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
【过关练】（1）过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
答案】 或
【
（2）直线 l 经过点（-2，3），且原点到直线l的 距离是2，直线l的方程.
5 13
答案：x=−2,y=− x+
12 6
2.如何判断两条直线的位置关系？
(1)当不重合的两条直线l 和l 的斜率都存在时：
1 2
①两直线平行：l∥l⇔k ＝ k.
1 2 1 2
②两直线垂直：l⊥l⇔kk ＝－ 1.
1 2 1 2
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
(2)直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
①若直线l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0，则l∥l⇔AB －BA ＝0且AC －AC ≠0(或BC －
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
BC ≠0)．
2 1
②若直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0，则l⊥l⇔AA＋BB＝0.
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，但平行求参数时一定检验是否重合！！！．
【过关练】若直线与直线 垂直，则 的值为（ ）
或 -3
【 解 析 】 因 为 直 线 与 直 线 垂 直 ， 所 以
，解得 或 .
当 时，直线 不存在，故舍去；当 时，满足题意，故选 .
【答案】
3.点到直线的距离公式是什么？
(1)点到直线的距离d＝(其中点P(x，y)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．
0 0(2)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A2＋B2≠0))．
1 1 2 2
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数对应相等．
4. 直线与圆的位置关系有几种？
【过关练】已知直线 与圆 相离，则实数 的取值范围是（
）
【解析】圆 的标准方程为 ，则 ，所以圆心为 ，半径为 ，由
直线与圆相离，可知圆心 到直线 的距离 ，可得 ，即实数 的取值范围为
.故选 .
【提醒】二元二次方程 对应的轨迹为圆是有条件的，满足 ，
即圆的半径大于0.
5. 求过某点的圆的切线方程时要注意什么？点与圆的位置关系，确定切线条数，勿忘斜率不存在的情况。
注意：圆的切线方程，切线长公式，切点弦方程，直线和圆相交的弦长，与圆相关的几何性质直线与圆关
系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，过圆x2+y2=r2上点P(x ,y)的切线
0 0
为:x x+yy=r2;过圆x2+y2=r2外点P(x ,y)作切线后切点弦方程:x x+yy=r2;过圆外点作圆切线有两条.若只求出
0 0 0 0 0 0
一条,则另一条垂直x轴.
6. 圆锥曲线的定义知道是什么吗？三种圆锥曲线定义中的限制条件各是什么？
7. 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式还记得吗？
【过关练】已知椭圆 上有一点 分别为左、右焦点， 的面积为
，则下列选项正确的是 （ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 面积的最大值为 D．若 为钝角三角形，则
【答案】ACD【详解】对于椭圆 ，设 ， ， ，则
，由此可得 …①，
所以 的面积 .
对于选项A：若 ，则 ，故A正确；对于选项B：由①知
（当且仅当 即点 是短轴端点时取等号），所以 ，因此 不可能是 ，故B错误；
对于选项C：当 为短轴的端点时， 面积的最大值为 ，故C正确.
对于选项D：由以上分析可知， 不可能是钝角，由对称性不妨设 是钝角.
先考虑临界情况，当 时，易得 ，此时 ，结合图形可知，
当 是钝角时 ，故D正确；故选：ACD.
8. 抛物线的焦点弦常用性质你知道多少？
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x ，y)，B(x ，y)，α为直线AB的倾斜角，且y>0>y ，
1 1 2 2 1 2
则(1)焦半径|AF|＝x＋＝，|BF|＝x＋＝.
1 2
(2)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2
(3)弦长|AB|＝x＋x＋p＝.
1 2
(4)＋＝.
(5)以弦AB为直径的圆必与准线相切．(6)S ＝(O为抛物线的顶点)．
△OAB
【过关练】已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，经过点 且斜率为 的直线 与抛
物线 交于 两点（点 在第一象限），若 ，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】选项A：过点 作 轴的垂线，垂足为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
由抛物线定义可得， ，所以 ，
解得 ，故A正确．
选项B：由A得抛物线 的方程为 ， ，直线 的方程为 ，
联立直线方程与抛物线 的方程并化简，得 ，得 或 ，
所以 ，故 ，故 ，B错误．
选项C：由 ， ，得 ，故C正确．
选项D：由上知 ，得 ，
故 ，故D正确．
故选：ACD
9.圆锥曲线在审题时的关键是什么？（1）圆锥曲线的焦点在哪个轴上？（不要受惯性思维影响默认焦点在
x轴）（2）动点的变化谁起决定性因素？
10.如何求动点的轨迹：直接法、定义法、相关点法、消参法
注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方
程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
11.如何处理圆锥曲线中“定”的问题：
圆锥曲线中的“定”问题常有以下 类题型：
题型1：定值问题——解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、
直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是
一个确定的值．
定值问题的解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在
推理计算的过程中消去变量，从而得到定值．这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能
力要求颇高）、三定值（确定定值）．
题型2：定点问题——解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如
何变化，直线和曲线都经过某一个定点．
定点问题的三种解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明．二是设出直线方程
y=kx+b，再根据条件寻找k,b的关系；三是根据动点坐标写出直线方程，根据直线方程判断所过定点（此
时可利用恒成立求解或结合对称性判断出定点位置，进而求出）.
题型3：定直线问题——对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动
点的轨迹方程．
【过关练】（2026·江西·二模）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求C的方程；
(2)已知点 ， ，点A在C上，直线AP与C交于另外一点B，直线AQ与C交于另外一
点D，且 ， ．
（ⅰ）证明：直线BD恒过定点；
（ⅱ）记直线AP，AQ的斜率分别为 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）由离心率的定义和点在椭圆上代入计算可得；
（2）（i）设 ， ， ，利用向量关系得到坐标关系，然后由对称性可知，若直线
BD过定点，则直线BD过的定点在x轴上，设其为 ，再利用B，D，M三点共线化简可得；
（ii）由点在椭圆上代入方程化简可得①②两方程，再表示出斜率关系化简可得.
【详解】（1）记C的半焦距为c，由题意知 ， ，
解得 ， ，
所以C的方程为 ．
（2）
（ⅰ）证明：设 ， ， ，
由 ，得 ，
则 ， ，
即 ， ，
同理得 ， ，
由对称性可知，若直线BD过定点，则直线BD过的定点在x轴上，设其为 ，
由B，D，M三点共线，得 ，则 ．
故直线BD恒过定点 ．
（ⅱ）解：因为B在椭圆 上，则 ，
所以 ，则 ，
又A在椭圆上，则 ，所以 ，
又 ，则 ，①
同理得 ，②
由 ，得 ，
由 ，得 ，
则 ， ．
因为 ， ，所以 ，
又 ，则 ，
所以
．
12、设点斜式要讨论！！！！何时何地、何情何景都需要
13、联立方程要看二次项系数和判别式【过关练】直线 过点 与双曲线 有且只有一个交点，则这样的直线有______条．
【答案】0
【分析】数形结合，可直接得到答案.
【详解】如图：
双曲线 的渐近线方程为 .
过原点的直线中，若斜率 ，则直线与双曲线有两个交点；
若 或 或直线斜率不存在，则直线与双曲线无交点.
所以过 且与双曲线 有且只有1个交点的直线不存在.
即满足条件的直线有0条.
故答案为： .
14、如何求离心率？别忘自带范围
【过关练】已知点 在双曲线 ： （ ， ）上， 到两渐近线的距离为 ， ，若
恒成立，则 的离心率的取值范围为______.
【答案】
【分析】设双曲线上的点 ，可得 ，利用点到直线的距离公式可求得，由 恒成立可得 ，从而可求得离心率的取值范围.
【详解】双曲线 ： （ ， ）的两条渐近线的方程为 和 ，
点 到两条渐近线的距离之积为 ，
而 恒成立，又因为 的最小值为 ，
故只需 ，又点 满足双曲线的方程，
， ，即 ，
则 的离心率 ， .
15、弦长公式的一式三变
16、最值范围问题的求解策略
【过关练】（2026·湖南·二模）已知动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比
是常数 ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若曲线 与 轴的交点分别为 、 （ 在 的左侧），过点 的直线交曲线 于点 （ 位于第二象
限）， 的角平分线交 于点 ．
（i）求证：点 在定直线上；
（ii）连接直线 且与曲线 的另一个交点为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【分析】（1）根据距离公式以及题干条件化简得出点 的轨迹方程；（2）（i）求出点 、 的坐标，直线 的方程为 ，将该直线方程与双曲线 的方程联立，
求出点 的坐标，点 ，利用角平分线定理得出 ，结合两点间的距离公式解出 的值，
即可证得结论成立；
（ii）先证明 、 、 三点共线，可得出 ，根据点 在第二象限求出 的取值范围，再利用
二次函数的基本性质可求出 的取值范围.
【详解】（1）设 是点 到直线 的距离，
根据题意，动点 的轨迹就是点的集合 ，
由此得 ，平方化简得 ，即 ．
（2）（i）令 ，代入 ，得 ，解得 ，故 、 ，
设直线 的方程为 ，与曲线 的方程 联立得：
，则 ，
所以 ，解得 ，
故 ，故 ，
设点 ，则 ，由题意得 ， ，
因为 平分 ，由角平分线定理得 ，即 ，
化简得 ，即 ，解得 ，
所以点 在定直线 上．
（ii）连接 并延长交双曲线于点 ，下证点 与点 重合，
因为 ， ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
将直线 与曲线 的方程 联立得： ，
所以 ， ，
故 ，则 ，
由（i）得 ，则 ，故 、 、 三点共线．
又因为 、 、 三点共线，即 与点 重合，所以 ，
因为点 在第二象限，则 ，解得 ，所以 ．
1、排列数、组合数公式还记得吗？
（1）排列数公式：A＝ n ( n － 1)( n － 2)…·( n － m ＋ 1) =
（2）组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.
（3）组合数的性质：①C＝ C ；② C ＝C＋C.
2、排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问
题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件．
【过关练】为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、
“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是
（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
【答案】ABC
【详解】A：6门中选2门共有 种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有 种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有 种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有 种排法，然后利用插空法
排课程“御”“书”“数”有 种排法，根据分步乘法计数原理，得共有 种排法，故C正
确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有 种排法，若先把“礼”不排在最后
一周，再排“数”，有 种排法，所以，共有 种排法，故D错误.
故选：ABC.
3、会求二项展开式的特定项吗？公式法、原理法.
二项式定理应用时的注意事项
(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
【过关练】在 的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为
【答案】AB
【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为 ，故A正确；
对于B, 二项式系数最大为 ，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C, ， 为有理项， 可取的值为 ，所以有理项共有三项，故C错误；对于D,令 ，则所有项系数和为 ，故D错误.
（2）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，令 ，则 ，故A正确；对于D，令 ，
令 ，两式相减得 ，故D正确；
易知 ，而 中的常数项为1，含 项为 ，
含 项为 ，含 项为 ，同理 中的常数项为 ，含 项为
，
含 项为 ，含 项为 ，所以 ，故B错误；
，故C正确.
4.全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝1，2，…，n，
1 2 n 1 2 n i
则对任意的事件B Ω，有P(B)＝∑P(A)P(B.
i
【过关练】为加强⊆学生体质健康，邢台市第一中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩
投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每
次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 ，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正
一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
A．第一次投篮的人是甲的概率为
B．第三次投篮的人是乙的概率为C．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
D．设第n次投篮的人是甲的概率为 ，则
【答案】BCD
【详解】对于A，直接使用古典概型方法知，第一次投篮是甲的概率都是 ，故A错误；
对于C，设 分别表示“第一次投篮的人是甲”和“第二次投篮的人是乙”，则
，故C正确；
对于B，D，设 表示“第n次投篮的人是甲”，则有
.
故 ， ，这得到 ， ，及 ，故B，D正确.
故选：BCD.
5.统计中四个数据特征
(1)众数：
①在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)百分位数：给出样本数据如何求？给出频率分布直方图如何求？
(3)平均数：样本数据和频率分布直方图如何求
(4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度．
方差：s2＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2]．
1 2 n
标准差：
s＝.
思考：（1）给出频率分布直方图如何求方差呢？公式是否一样？
（2）分层抽样中每一层的平均数和方差与总体平均数、方差有什么关系？
【过关练】数据2，3，5，6，7，7，8，10的上四分位数为（ ）
A．7.5 B．8 C．7 D．4
【答案】A【分析】根据题意，结合百位数的定义和计算方法，即可求解.
【详解】由题意，上四分位数是 分位数，又由 ，
所以 分位数为 .
故选：A．
（2）为了调查学生对两会相关知识的了解情况，某高校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动
的学生中随机抽取320名学生，他们得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．若全校参与该活动的学生共2000人，则得分在 内的人数约为650
B．全校参与知识问答活动的学生的平均分约为65分
C．该校学生得分的 分位数约为77.7（结果精确的到0.1）
D．若此次知识问答的得分 ，则
【答案】ABD
【详解】对于选项A:得分在 内的频率为0.325，因此人数约为650，故A正确；
对于选项B:
，故B正确；
对于选项C:该校学生得分的 分位数为 ，故C错误;
对于选项D:
，
故D正确．故选:ABD．
6.离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①p≥0(i＝1,2，…，n)；②p＋p＋…＋p＝1.
i 1 2 n
(2)均值公式：E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp
1 1 2 2 n n
(3)均值的性质
①E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b ；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝(x－E(X))2·p＋(x－E(X))2·p＋…＋(x－E(X))2·p=E(X2)-(EX)2，标准差为.
1 1 2 2 n n
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) ；②若X～B(n，p)，则D(X)＝ np (1 － p ) ；③若X服从两点分布，则D(X)＝ p (1 － p ) ．
正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是
对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
7.如何判断两个事件是否独立？
P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) ．
【过关练】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第
二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为奇数”，D=“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（
）
A. A 与 B 不互斥且相互独立 B. A 与 D 互斥且不相互独立
C. B 与 D 互斥且不相互独立 D. A 与 C 不互斥且相互独立
【答案】ABD
【解析】对于A，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即 A与B 相互独
立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A 与 B不互斥，故A正确；
对于B，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与 D 不相互独立；
第一次出现2点，则两次点数之和最为8，即A与D不能同时发生，即A与D互斥，故B正确.
对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即 B与 D不相互独立；
若第一次的点数为5，第二次的点数为4，则两次点数之和为9，即B与D可以同时发生，即B与D不互
斥，故C错误.对于 D，
则 ，故A与C 相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数为3，则两次点数之
和为5是奇数，即A与C可以同时发生，即A与C不互斥，故D正确.
8、独立性检验问题
【过关练】在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组[45，55），第二组 ，第三组 ，第四组 ，
第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组
的频率等于第五组的频率．
(1)求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和
中位数（中位数精确到0.1）；
(2)已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，
请补全下面 列联表．请问是否有 的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？（ 结果精确到
0.001）
性别
志愿者 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20
不想去冰上赛区
合计 60 60
附：
0.050 0.010 0.001
3.941 6.635 10.828
(3)滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取
4人服务该场地，记男生被抽中的人数为 ，求 的分布列及期望．
【答案】(1) ，平均值为： ，中位数为：
(2)列联表见解析，有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关(3)分布列见解析，
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出a，b，进而能估计这120名候选人成绩的平均数和
中位数；
（2）补全 列联表，求出 ，从而有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关；
（3）男生被抽中的人数 可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此求出 的分布列及期望．
【详解】（1）由题意： .
又 .
解得 ，
估计这120名候选人成绩的平均数为： ，
设中位数为 ： ，
解得中位数 .
（2）
性别
志愿者 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20 55
不想去冰上赛区 25 40 65
合计 60 60 120
所以有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关
（3）男生被抽中的人数 可能取值为2，3，4.
.
的分布列为：
2 3 4.
9、回归方程：线性、非线性
回归经验方程内容中如何应用相关线性系数进行判断？决定系数有什么作用？
非线性回归方程如何求解？近似求解要注意题目要求！
【过关练】（2025·山东济南·二模）每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．
某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况，
天数 1 2 3 4 5
胚芽长度 （厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2
通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：① ；② ，
(1)根据以上数据，计算模型①中的 关于 的相关系数 （结果精确到0.01），若 ，则选择模
型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？
(2)根据（1）的结果，试建立 关于 的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）．
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ．
样本相关系数为 ．
参考数据： ．
令 ．
【答案】(1)应选模型②；
(2) ，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米.【分析】（1）根据已知求得 ，结合已知及相关系数公式求相关系数，即可得结论；
（2）应用最小二乘法求回归方程，再将 代入预测第6天种子的胚芽长度.
【详解】（1）由题设， ，所以 ，
所以 ，故应选模型②；
（2）令 ，则求出线性回归方程 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，则 ，故 ，
所以回归方程为 ，故 ，有 厘米，
所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米.
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数⇔ b ＝ 0 ；②z是虚数⇔ b ≠ 0 ；③z是纯虚数⇔ a ＝ 0 且 b ≠ 0 .
(2)共轭复数：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(4)复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔ a ＝ 0 且 b ＝ 0 (a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝ ( a ± c ) ＋ ( b ± d )i ；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i ( c ＋ d i ≠ 0) ． (其中a，b，c，d∈R)
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.(2)＝i，＝－i.(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
（4） ；（5） ；（6）
【过关练】已知虚数 ， 互为共轭复数，则（ ）
A． 为实数 B． 为纯虚数
C． D．
【答案】AB
【分析】利用复数的代数形式表示 ，再逐项求解判断.
【详解】依题意，设 ，则 ，
对于A， ，A正确；
对于B， 为纯虚数，B正确；
对于C， ，C错误；
对于D， ，当 时， ， ，D错误.
故选：AB
3.如何根据平面向量的夹角求参数范围？
【过关练】设向量 ， ，向量 与 的夹角为锐角，则x的范围为 .【答案】 且
【分析】根据已知可得 ，且 不共线，求解即可.
【详解】向量 ， ，由 得， ，所以 .
由已知得， ，所以 ，即 ，且 不共线.
则 ，所以 .
又 不共线，则 .所以x的取值范围为 且 .
故答案为： 且 .
4.什么是极化恒等式？
1
⃗a⋅ ⃗b=|AM| 2 − |DB| 2
4
在三角形ABD中（M为BD的中点），则极化恒等式可表示为： （三角形模式）
【过关练】如图，已知正方形 的边长为4，若动点 在以 为直径的半圆上（正方形 内部，
含边界），则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】取 的中点 ，连接 ，如图所示，所 以 的 取 值 范 围 是 ， 即 ， 又 由
，
所以 .
5.三角形“四心”的向量表示的应用
【过关练】若 O 是 ABC 所在平面上一定点，H，N，Q 在 ABC 所在平面内，动点 P 满足
△ △
， ，则直线AP一定经过 的____心，点H满足 ，
则 H 是 的 ____ 心 ， 点 N 满 足 ， 则 N 是 的 ____ 心 ， 点 Q 满 足
，则Q是 的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心
【答案】B
【详解】 ，变形得到 ，
其中 分别代表 方向上的单位向量，
故 所在直线一定为 的平分线，
故直线AP一定经过 的内心，
，即点 到 三个顶点相等，故点 是 的外心，
因为 ，所以 ，
如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 ，
故 三点共线，且 ，
所以 是 的重心，
由 可得 ，
故 ，同理可得 ，
故 为 三条高的交点， 为 的垂心.
故选：B
