文档文本内容
2026 年高考考前信心增强卷
数学（全国Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法求出A，再利用要使二次根式有意义的未知数的取值范围求出B，再求 .
【详解】由于 ， ，
所以 .
2．已知复数 满足 为纯虚数，则 （ ）
A．13 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】利用复数运算法则化简，再结合复数的模求解.
【详解】因为 ，
又 为纯虚数，所以 且 ，解得 ，
所以 ．3．已知公比 的等比数列 ，且 ， ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【详解】已知数列 是等比数列，公比为 ，
则由 得 ，因为 ， ，所以 ，
又因为 ，则 ， ，故A正确．
4．若 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】由 可得 ，
因 ，则 ，可得 .
5．已知 ， 为单位向量，向量 在向量 方向上的投影向量为 ， 则 （ ）
A．2 B． C．8 D．12
【答案】B
【详解】因为向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
6．有甲、乙两个袋子，甲袋装有3个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和3个白球．现从甲袋中随机取出一个
球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用全概率公式，分从甲袋取出红球、白球两类互斥情形，分别计算对应条件下从乙袋取出红球的概率，
求和得到总概率.
【详解】设事件 为“从甲袋中取出的球为红球”，事件 为“从甲袋中取出的球为白球”，事件 为“从乙袋
中取出的球为红球”.
显然 与 为互斥事件，且 为样本空间的完备事件组.
， ；
若 发生，乙袋变为3个红球、3个白球，共6个球，故 ；
若 发生，乙袋变为2个红球、4个白球，共6个球，故 ；
由全概率公式得： .
7．已知函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数为偶函数，在 上递增求解即可.
【详解】因为 ，所以 为定义在 上的偶函数，
因为 ，当 时，即 时，解得 ，
所以 在 上递增， ，
由 ， ，故 .
8．已知实数 满足 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出点 是在圆 的上半部分，以及 表示点 到直线
距离的 倍，利用点到直线的距离即可求解.
【详解】
由 ，得 ，即 为圆 的上半圆，圆心 ，半
径为 ，
如图所示，取点 ，又因为 表示点 到直线 距离的 倍，
圆心 到直线 的距离 ，
即直线 与圆相离，点 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 的取值范围为 ，故B正确．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ， ， 为实数，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】ACD
【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对进行变形，然后利用基本不等式判断D.
【详解】选项A：已知 ，则 ，则 ，所以选项A正确；
选项B： 当 时，满足 ， ，
此时 ，显然 ，所以选项B错误；
选项C： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ， ，选项C正确;
选项D: 已知 ， ，将 变形为： ,
根据基本不等式，因为 ，所以 ，
则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）；
所以 ，即 ，所以选项D正确.
10．在正四棱锥 中， ，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ）
A．该正四棱锥的高为
B．该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为
C．该正四棱锥的外接球的半径为
D．该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90°
【答案】AC
【分析】对于A：设底面中心为 ，连接 ，则 底面 ,则 ，结合底面边长可求解；对于
B：过 作 ，连接 ，则 为所求角，结合边长值求解；对于C：作 的平分线 ，易知
，即 ，则线段 的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，在 中可求解；对于D：作 ，垂足为点 ，连接 ，则 为二面角 的平面角，在 中利用余弦定理求解.
【详解】
对于A：如图，连接 ， ，设交点为 ，则 底面 ，所以 ， ，所以 ，
所以A选项正确；
对于B：作 ，垂足为点 ，连接 ，则 为二面角 的平面角，易得 ， ，
所以 ，所以B选项不正确；
对于C：作 的平分线 ，交 于点 ，则 ，所以线段 的长即为该正四棱锥的外
接球的半径长，易得 ，所以 ，所以C选项正确；
对于D：作 ，垂足为点 ，连接 ，易得 ，则 为二面角 的平面角，由
，得 ，所以 ，所以D选项不正确.
11．已知函数 ，则（ ）
A．函数 为奇函数
B． 在 上的值域为
C．函数 在 上单调递增
D．满足 的 的取值范围为【答案】ABD
【分析】由奇函数的定义可判断A，由函数单调性可判断BC，结合函数单调性，得到 求解即可判断
D.
【详解】由题意知 ，所以 ，定义域为R，
所以 ，所以 为奇函数，故A正确；
，
当 时， 单调递增，且 ，
当 时， 单调递增，且 ，
所以 在 上单调递增，又 ， ，
所以 在 上的值域为 ，故B正确；
由
故 ，在 上单调递减，在 上单调递增，故C错误；
由 的单调性知 ，解得 ，故D正确．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．二项式 的展开式中常数项为第__________项．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，令 的指数为0求出r，即可得到常数项对应的项数.
【详解】展开式的第 项为： ，其中
令 ，得到 ，故展开式中常数项为第 项.
13．已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是 ，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______．
【答案】
【分析】由轴截面为等边三角形求出圆锥底面半径与圆锥高的关系，求出圆锥的体积、球的体积即可得解.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，球的半径为 ，
因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高 ，
所以圆锥的体积为 ，球的体积 ，
所以 ，解得 ．
14．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 从左到右依
次交于 ， 两点，则 ______.
【答案】 /0.5
【分析】根据抛物线标准方程求出焦点 的坐标，写出直线 的点斜式方程，联立直线方程和抛物线方程两点的坐
标，进而利用抛物线的焦半径公式计算比值即可.
【详解】由抛物线 ，可得 ，焦点 ，准线 ，
则过 斜率为 的直线 方程为 .
联立方程 ，整理得： ，即 ，
解得 （如图所示， 在左，纵坐标更小，故 的纵坐标为 ， 为 ）.
由 ，
可得 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，求使得 成立的最小正整数 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到 ，再由 与 间的关系，即可求解；
（2）利用裂项相消法得到 ，再由数列的单调性，即可求解.
【详解】（1）因为 ，数列 是公差为 的等差数列，所以 ，
则 ，当 时， ，
整理得到 ，则 ，所以数列 是常数列，
又 ，则 ，所以 ．
（2）由题意知 ，
所以 ，又 ，
所以 是递增数列，
又 ， ，
所以使得 成立的最小正整数 的值为 ．
16．如图，正三棱柱 的所有棱长均为2，点 分别为线段 和 上的动点，且
，其中 .
(1)求四棱锥 的体积与正三棱柱 的体积之比；
(2)若二面角 的大小为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取 中点 ，结合锥体和柱体的体积公式运算求解；
（2）建系并标点，求平面 和平面 的法向量，利用空间向量求二面角，列式求解即可.
【详解】（1）在正三棱柱 中，取 中点 ，
则四棱锥 的体积 ，
正三棱柱 的体积 ，
四棱锥 的体积与正三棱柱 的体积之比为 .
（2）在正三棱柱 中，取 的中点 ，连结 ，因为 ，且 ，
所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，且 平面 ，
所以 平面 ，且 ，
故以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
因为 ，则 ，
可得
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
由题意可知：平面 的一个法向量为 ，
因为二面角 的大小为 ，
则 ，
整理得 ，解得 .
17．飞机与高铁是人们远距离出行的两种方式，交通大学某班学生为了调查人们选择的远距离出行方式是否与年
龄相关，随机抽取该市1000名市民进行调查，得到如下 列联表：低于40岁 不低于40岁 总计
选择飞机出行 100
选择高铁出行 300
总计 500 1000
(1)补全表中数据，依据小概率值 的独立性检验，是否能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联?
(2)调查小组统计高铁站某处今天的客流量，从7：00开始，每小时作为一个时间段（ 为第1个时间段，
为第2个时间段，……），得到如下数据：
时间段 1 2 3 4 5
客流量 （千
1 1.5 2.5 3 3.5
人）
若 与 线性相关，建立每个时间段客流量 与时间段 的经验回归方程，并预测 的客流量.
附： ，其中 .
0.010 0.001
6.635 10.828
对于一组数据 ， ，…， ，其经验回归方程 的斜率 ， .
【答案】(1)表格见解析，与年龄有关联
(2) ，客流量约为4.25千人
【分析】（1）根据数据完成表格，求出 的值即可判断；
（2）根据数据求出回归方程，再代入 ，即可得答案.
【详解】（1） 列联表如下：
低于40岁 不低于40岁 总计
选择飞机出行 100 200 300
选择高铁出行 400 300 700
总计 500 500 1000
零假设为 ：市民选择的远距离出行方式与年龄没有关联.
由列联表中的数据，得 .
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
所以能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联.
（2） ， ，
所以 ，
，
所以每个时间段客流量 与时间段 的经验回归方程为 .
当 时， ，
所以预测12：00~13：00的客流量约为4.25千人.
18．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的短轴长为4，离心率 .
(1)求 的标准方程；
(2)若斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）根据条件求出 的值，即可求得椭圆方程；
（2）依题意，设 的方程为 ，与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用两点之间距离公式分别化简
与 ，再代入 计算即得定值.【详解】（1）由题意得 ，即 ，
又 ，解得 ，
则 的标准方程为 .
（2）设 ， ， ，由题意设 的方程为 ，
由 消去 ，可得 ，
由 ，得 ，
且 ， .
又 ，同理 ，
所以 ，
即 为定值12.
19．已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 在R上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)求证：当 时， 存在唯一极小值点 ，且 .【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用求导计算出切点的坐标和切线的斜率，再代入点斜式即可得出切线方程；
（2）将单调递增条件转化为导函数恒大于等于零，通过“分离参数法”求出剩余函数的最小值，从而确定参数
的取值范围；
（3）通过二次求导分析出导函数的单调性，以找出唯一的极小值点 ，直接代入原函数即可证明不等式.
【详解】（1）当 时， ， ，
， ，即切点为 .
故切线方程为 ，整理得： .
（2） ，由 恒成立得 对任意 恒成立，
，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故 在 处取得最小值，即 ，
由 恒成立，得 .
（3）当 时， ， ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
，
当 时， ，结合 在 上单调递减，可得在 上恒有 ，
在 上单调递增，且 ，
所以 是 的唯一零点，
则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 存在唯一极小值点 ，
且 ，即 .
