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2026 高考数学·百分卷（九）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．一组数据从小到大排列为： ，则该组数据的 分位数为（ ）
A．6.5 B．7 C．9 D．12
【答案】D
【解析】因为 ，所以该组数据的 分位数是第7个数12.
2．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合 由不等式 确定，解得 ，即 .集合 由不等式 确定，解
得 ，即 .则 .
3．从1至5的5个整数中随机取出2个不同的数，则这两个数都是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】1至5的5个整数中，有两个偶数，
从1至5的5个整数中随机取出2个不同的数，则这两个数都是偶数的概率 .
4．已知复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， .5．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】A
【解析】 ，所以最小正周期 .
6．已知点M是抛物线 上的一点，点F是C的焦点，点 为线段 的中点，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】如图，由 可得 ，准线为 ，又因点 为线段 的中点，则点 的
坐标为 ，而 等于点 到准线 的距离，即 .
7．如图,设 , ,线段 与 交于点F,且 ,则 （ ）
A.4 B.3 C. D.5
【答案】D【解析】 , ,
又 ,故 ,所以 ,
因为 , ,所以 ,
因为 三点共线,所以 ,故 .
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．已知 是递减的等比数列，其前n项和为 ，若 ，则（ ）
A．
B．
C． 为等比数列
D．设 为数列 的前 项积，当且仅当 时， 取得最大值
【答案】AC
【解析】由 ，结合等比数列通项公式和前 项和公式可得：
，消 可得： ，
解得 或 ，
当 时，代入 可得： ，此时满足 是递增的等比数列，
当 时，代入 可得： ，此时满足 是递减的等比数列，
综上要使得 是递减的等比数列，所以 ，故 A正确；再由 ，故B错误；
由 ，可得 ，
由 ，所以 为等比数列，故C正确；
由 ， ，
因为 满足 ，
且当 ，
所以当且仅当 或 时， 取得最大值，故D错误.
9．已知函数 的极大值点为0，极小值点为 ，且极小值为0，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由函数 ，可得 ，
令 ，即 ，设 ，
因为 的极大值点为0，极小值点为 ，
可得0和 为此方程 的两个根，且函数 的图象开口向上，
所以 ，且 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以A正确，B错误，C正确；
由 ，因为 ，即 ，化简为 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，所D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．在 中， ， ， ， 的面积为______________.
【答案】
【解析】由正弦定理得 ，解得 ,
因为 ，所以 ,所以 .所以 ,
所以 的面积为 .
11．已知圆台的体积为 ，上底面半径为1，母线与下底面所成角的余弦值为 ，则该圆台的下底面半
径为________.
【答案】2
【解析】如图，设圆台上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，梯形 为圆台的轴截面，高为 .
过 作 于 . 即为母线与下底面所成角，则
在直角三角形 中， ，
所以下底面半径 ，即
,解得 .四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．春节期间某商场举行购物抽奖活动，活动设置了两种抽奖方式（方式一和方式二），规则如下：凡
在商场消费满200元的顾客都可以通过掷一枚质地均匀的骰子来确定抽奖方式，若掷出5点或6点，则采
用方式一抽奖，否则采用方式二抽奖．活动期间顾客甲在该商场多次购物，其中有3次购物消费满200元，
均参与抽奖活动．
（1）求顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率；
（2）方式一：从装有4个红球，6个白球（所有球除颜色外完全相同）的箱子中随机摸一个球，摸到红
球即为中奖；方式二：“大转盘”，中奖的概率为 ．求顾客甲抽奖一次中奖的概率．
【解析】（1）记事件 为“顾客甲采用方式一抽奖”，则 ，
所以顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率为 ；
（2）记事件 为“顾客甲中奖”，事件 为“顾客甲采用方式二抽奖”，
则 ， ， ， ，
所以 ，
所以顾客甲抽奖一次中奖的概率为 .
13．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ．
（1）若 是棱 的中点，证明： 面 ；
（2）若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）设 与 的交点为 ，连接 ，因为 是菱形，所以 是线段 的中点，又 是棱 的中点，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；．
（2）过 作 ，连接 ，因为 ，所以 ，
又 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
作 ，则有 平面 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间
直角坐标系，因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
则 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 夹角为 ，所以 ，
综上，平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
14．已知椭圆 的中心在原点，离心率为 ，右焦点为 .
（1）求 的标准方程；
（2）若直线 与 交于 ， 两点， ， 是 上位于直线 两侧的两点，直线 的斜率为 ，且 ，
关于原点对称，求四边形 面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆 的方程为 ，
由题意得， ，解得 ，所以椭圆 的方程为 .
（2）因为 ， 关于原点对称，且直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
因为 ， 是 上两点，所以联立 ，解得 或 ，取 ，则 ， ，
因为直线 与 交于 ， 两点，
为了便于讨论，不妨设 在直线 的上方，所以 ，
即 ，且 ，
则 在直线 的下方，所以 ，即
又因为点 到直线 的距离 ，点 到直线 的距离 ，
所以四边形 面积
，
因为 ，
所以当 时，四边形 面积的最大值为 .
