文档内容
第 27 章 相似 章节测试练习卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形相似的判定定理，结合图形分析即可得出相似三角形的个数．
【详解】解：如图，
根据题意，DE∥BC，MN∥AB，
可得△ADE，△MNC，△MGE均与△ABC相似，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和平行线的性质．
2．如图，在 中，高 相交于点 ，图中与 相似的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，
△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．
【详解】解：∵高BD、CE相交于点F，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BFE=∠CFD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA，
∴△FBE∽△ABD，
同理可得△FCD∽△ACE，
∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.
3．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD
的距离是3m，则P到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答．
【详解】解：设P到AB 的距离为x m
AB CD，
即得x=
故选C．
【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握对应高的比等于相似比．
4．如图，在 中，点 分别在 边上， 与 不平行，那么下列条件中，不能判定
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠A=∠A，
A、 ，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、 ，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
C、 ，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、 ，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
5．如图， 是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛 的像为 ， 测量得到
， 蜡烛高为 ， 则像 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明
，得出 ，即可解答．
【详解】解：根据题意可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
6．如图，在 中，D，E，F分别是边 上的点， ，且 ，那
么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．7．小明想借助网格在线段AB上找一点P，使AP∶PB＝2∶3，下列作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平行可证得三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例，对各选项逐一判断．
【详解】解：A、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为2∶3，故AP∶PB＝2∶3，故正确，故此选项不
符合题意．
B、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为2∶3，故AP：PB＝2∶3，故正确，故此选项不符合题意．
C、如图，
根据图形可知：∠CAD=90°，线段CD绕点O顺时针旋转90°与AB重合，则∠APC=旋转角=90°=∠CAD，
∠ACD=∠DCA，
∴△ACD∽ DCA，
△
∴ ，
∵AC= ，AD=2 ， CD= ，∴AP= ，
∵S BCD= ，
△
∴BP= ，故AP∶PB＝2∶3，故正确，故此选项不符合题意．
D、可知两个三角形不相似，故AP：PB之比无法判断，故错误，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是 （ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE︰AD是位似比
D．点B与点E、点C与点D是对应位似点
【答案】C
【详解】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，
∴A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意；
B、点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；
C、AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；
D、点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，
故选C．
9．在Rt ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋
转，两条△直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中， OEF与 ABC的关系是（
） △ △A．一定相似 B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似 D．无法判断
【答案】A
【分析】略
【详解】连结OC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵点O为AB的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EOC=∠BOF，
在△COE和△BOF中，
∴△COE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，
∴△OEF∽△△CAB．
故选A．
【点睛】略
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(4,8)，OB的垂直平分线分别交BC、OA于点D、E，过点D的反比例函数 (x＞0)的图象交AB于点
F，连接OD，在反比例函数图象上存在点P，使∠ODP为直角，则点P的坐标为( )
A．(2,6) B． ) C．(3,4) D．(1,12)
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD=OD，求得OC=4，BC=8．设BD=OD=x，则CD=8-x，根据勾
股定理列方程求得x=5．得到点D(4,3)．将点D的坐标代入 中，求得k=12，设 ，过P作
PQ⊥BC于Q，求得PQ=4-m，DQ= -3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵DE垂直平分OB，
∴BD=OD，
∵B(4，8)，
∴OC=4，BC=8．
设BD=OD=x，则CD=8-x，
∵四边形OABC矩形，
∴∠C=90°．
在Rt△OCD中，OD2=CD2+OC2．即 x2=(8-x)2+42．
解得x=5，
∴CD=8-5=3，．
∴点D(4,3)．
将点D的坐标代入 中，解得：k=4×3=12．
∴反比例函数表达式为 ，
∵P点在反比例函数图象上，
∴设 ，
过P作PQ⊥BC于Q，
∴PQ=4-m，DQ= -3，
∵∠ODP=90°，
∴∠PDQ+∠CDO=90°，
∵∠CDO+∠COD=90°，
∴∠PDQ=∠COD，
∴△DQP∽△OCD，
∴ ，
∴ ，
解得： 或m=4(不合题意舍去)，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，
矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．已知四边形 四边形 ，且相似比为 ，则四边形 与四边形 的周长比为．
【答案】
【分析】相似多边形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案．
【详解】∵四边形 四边形 ，且相似比为 ，
∴四边形 与四边形 的周长比为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了相似多边形的周长比等于相似比，解题的关键是熟练掌握相似多边形的周长比等于相
似比．
12．如图，在 中， ， 分别与 相交于点D、E，若 ， ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键，根据 ，由平
行线分线段成比例定理可得 ，将已知条件代入即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ．
故答案为 ．
13．把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为 ．
【答案】
【详解】试题分析：不妨设原矩形长为 ，宽为 ，因为对折后与原矩形相似，则必定是沿着长的垂直平
分线对折，且对折后矩形的两边长为 和 .根据相似三角形性质，有 ，所以 ，则
.
考点：1.相似三角形的性质；2.求两个量之比.
14．相似图形：①定义：形状相同的图形叫做 ．
②性质：两个图形相似是指它们的形状相同，与他们的 无关．
全等图形与相似图形的联系与区别：全等图形是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．
【答案】 相似图形 位置
【解析】略
15．如图，在 中，E是边AB的中点，EC交BD于点F，则 与 的面积比为 ．
【答案】1：6
【分析】首先证明 并得出相似比，根据相似比求出 与 的面积比．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，E为边AB的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
与 的面积比为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及判定，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
16．已知在 中， ，点 、 分别在边 、 上， ， ，如果
与 相似，那么 的长等于 ．
【答案】 或
【分析】根据题意由勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．
【详解】∵AC=4，BC=3，∠C=90°，∴AB= =5，
当 APQ∽△ABC时，
△
，即 ，
解得，AP= ；
当 APQ∽△ACB时，
△
，即 ，
解得，AP= ，
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是
解题的关键．
17．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么 ＝ ．
【答案】
【分析】过点C作 ，交DF于点G，根据平行线分线段成比例定理可得 ， ，由
此即可求得答案．
【详解】解：如图，过点C作 ，交DF于点G，∵ ，E是AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，C是BD的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能作出正确的
辅助线是解决本题的关键．
18．如图，在 ▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，
且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有 对．
【答案】16
【分析】根据相似三角形的判定，判断出△BFE∽△ADE，△BFE∽△APB，△BFE∽△CFD，从而得到
△ADE∽△APB，△ADE∽△CFD，△APB∽△CFD，类似可得与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．
【详解】解：∵AD∥BF，
∴△BFE∽△ADE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠CBE，
∵DE∥BP，
∴∠E=∠PBA，
∴△BFE∽△APB，
∵AE∥DC，
∴△BFE∽△CFD，
∴△ADE∽△APB，
∴△ADE∽△CFD，
∴△APB∽△CFD，
故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；
类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；
与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；
与△ABC相似的有△CDA，共1对．
故答案为16．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的
关键．
三、解答题
19．下图中， ABC与 DEF是位似图形.那么，DE与AB平行吗?为什么?EF与BC呢?DF与AC呢?
△ △
【答案】DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，理由见解析.
【分析】根据位似图形是相似图形，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，结
合平行线分线段成比例定理即可求解.
【详解】∵ ABC与 DEF是位似图形，
∴ ABC∽ D△EF， △
△ △∴ ，
∴DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC.
故答案为DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，理由见解析.
【点睛】本题考查位似的性质，关键是明确位似比与相似比的关系.
20．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
【答案】x=24，y=28，α=75°
【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题．
【详解】∵两个四边形相似，
∴20：5=x：6=y：7，
解得：x=24，y=28，
∵四边形内角和等于360°，
∴α= =75°，
∴x=24，y=28，α=75°．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于
相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键．
21．如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6.
试说明：（1） ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长.
△
【答案】（1）证明见解析；（2）DE=4.5
【分析】（1）由条件可得 ，且 为公共角，则可证明 ；
（2）由（1） 可得 ，可求得 .【详解】⑴ ∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6，
∴AB=8，AC=10，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴ ADE∽△ACB；
⑵△ ∵△ADE∽△ACB，
∴ ，
∵BC=9，
∴DE=4.5.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定方法，即有两组角对应相等、两
组对应边的比相等且夹角相等或三组对应边的比相等是解题的关键.
22．如图，在直角三角形ABC中，直角边 ， ．设P，Q分别为AB、BC上的动点，在
点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速
度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒．
（1）当t为何值时， 是以 为顶角的等腰三角形？
（2） 能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．
【答案】（1） 秒；（2） 或 秒．
【分析】（1）根据 是以 为顶角的等腰三角形，可得BP=BQ，分别表示出BP和BQ，列出方程
即可求出t的值；
（2）分△PBQ∽△ABC与△PBQ∽△CBA两种情况进行讨论，分别根据相似三角形对应比成比例列出方程求
解即可．
【详解】解：（1）∵直角边 ， ，∴由勾股定理可得， ，
∴ ， ， ，
∵ 是以 为顶角的等腰三角形，
∴BP=BQ，即5-t=t，解得 秒，
∴当 秒， 是以 为顶角的等腰三角形；
（2）能．
理由：当△PBQ∽△ABC时，
，即 ，解得： 秒；
当△PBQ∽△CBA时， ，即 ，解得： 秒，
∴当 或 秒时， 与直角三角形ABC相似．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三
角形的性质和判定，等腰三角形的性质．
23．图纸上一个零件的长是23mm，比例尺是1：20，你能算出这个零件的实际长度吗？
【答案】460mm
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式求得这个零件的实际长．
【详解】解：设这个零件的实际长是xmm，则：
1：20=23：x，
解得x=460（mm），
答：这个零件实际的长是460mm.
【点睛】本题考查了比例尺的应用，熟练掌握有关比例尺问题的求解方法是解题的关键.
24．如图，在 中， ， 是 上一点， ， ，分别交 ， 于 、 ，求使
平行四边形 面积最大时点 的位置．【答案】点P为BC中点，S AEPF最大．
平行四边形
【分析】设△ABC中BC边上的高为h，△EBP中BP边上的高为h，△PFC中PC边上的高为h，由
1 2
， ，可证△ABC∽△EBP∽△FPC，设BP= ，则PC=1- ,利用相似三角形的性质可得 ，
，求出平行四边形的面积S AEPF=S ABC-S EBP-S = ，
平行四边形 PFC
△ △ △
求其最值时的 值即可．
【详解】解：设 ABC中BC边上的高为h， EBP中BP边上的高为h， PFC中PC边上的高为h，
1 2
∵ ， △ △ △
∴∠B=∠FPC，∠EPB=∠C，
∴△ABC∽△EBP∽△FPC，
设BP= ，则PC=1- ,
∴ ， ，
∴ ， ，
∴S AEPF=S ABC-S EBP-S PFC，
平行四边形
△ △ △
= ，
，
，∴当 时，S AEPF最大，
平行四边形
∴点P为BC中点，S AEPF最大．
平行四边形
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，利用变量 表示平行四边形面积，配方变形，掌握相似三角
形的判定与性质，利用变量 表示平行四边形面积，配方变形是解题关键．
25．如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，
求原矩形的长与宽的比．
【答案】
【详解】试题分析：设原矩形的长与宽分别为a、b，表示出剩下矩形的长与宽，然后根据相似多边形的对
应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求解．
试题解析：
设原矩形的长是a，宽是b，则DE＝CF＝a－b，已知 ＝ ，即 ＝ ，整理，得a2－ab－b2＝0，两
边同除以b2，得( )2－ －1＝0，解得 ＝ 或 (舍去)．∴长与宽的比为 .
点睛：本题考查了相似多边形的性质，设原矩形的长和宽，表示出剩下的矩形的长与宽，据相似的性质得
到方程，解方程即可解决本题.
26．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5．
【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；
（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB．
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE= ，
∴EF= AE= ．
∵ ，即 ，
∴PE=5，即x=5．
∴满足条件的x的值为2或5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形
中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准
确率．
