文档内容
第 24 章 圆 章节测试练习卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝26°，则∠C的大小为（ ）
A．26° B．52° C．60° D．64°
【答案】D
【知识点】圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质有∠OAB＝∠OBA，利用三角形的内角和定理求得∠AOB＝
128°，然后由圆周角定理求得∠C的度数即可．
【详解】解：连接OB，
在△OAB中，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
又∵∠OAB＝26°，
∴∠OBA＝26°；∴∠AOB＝180°﹣2×26°＝128°；
∴∠C＝ ∠AOB＝64°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，掌握等腰三角形的性质，三
角形内角和定理，圆周角定理是解题的关键．
2．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得答案．
【详解】解：在 中，∠BOC=2∠BAC=50°，
故选A
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，并能找出同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．
3．如图，将一根木棒的一端固定在 点，另一端绑一重物．将此重物拉到 点后放开，让此重物由 点
摆动到 点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．双曲线的一部分 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了动点的运动轨迹，根据在移动的过程中，木棒的长度始终不变即可知重物移动路径的
形状为圆弧，即可求解，掌握圆的定义是解题的关键．【详解】解：∵在移动的过程中，木棒的长度始终不变，
∴重物移动路径的形状为圆弧，
故选： ．
4．如图，正六边形 内接于 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到 ，
得到 为等边三角形，进而得到 ，判断出 为等边三角形是解题的关键．
【详解】解： ∵ 是正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故选：C．
5．如图，已知 是 的直径，弦 ，垂足为 ，且 ， ，则 的半径长
为（ ）A．2 B． C．4 D．10
【答案】B
【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】根据垂径定理得出 ，根据圆周角定理得出 ， 中，根据勾股
定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，弦 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
6．如图，⊙O的半径是2，直线 与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线 的异侧，
若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB= OA= ，
∵S =S +S ，
四边形MANB MAB NAB
△ △
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S =S +S = AB•CD+ AB•CE= AB（CD+CE）= AB•DE=
四边形DAEB DAB EAB
△ △
．故选C．
考点：1．垂径定理；2．圆周角定理．
7．如图，已知 是半圆 的直径， 是半圆 的切线，切半圆 于点 , 是半圆 的弦，
，则 的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】A
【知识点】切线的性质定理【分析】连接DO，AD，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于PE，由 ，得到
；又因为直径所对的圆周角是直角，得∠DAB=60°，半径相等，得出 为等边三
角形，从而解答
【详解】解：如解图，连接DO，AD，
是半圆O的切线，DO为半圆O的半径， .
是半圆O的直径，
， .
， 为等边三角形，
.
故选：A.
【点睛】本题考查切线的性质，突破此类问题的关键是熟练掌握切线的性质与判定及与切线有关的证明及
计算.
错因分析：1、对圆切线的性质掌握不熟练，不能灵活的运用切线性质解题；2、看到切线，不能灵活地连
接切点和圆心构造直角三角形解题，属于容易题.
8．如图，抛物线y＝﹣ x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，
E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（ ）A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】求一点到圆上点距离的最值、与三角形中位线有关的求解问题、求抛物线与x轴的交点坐标
【分析】连接AD，令y＝0，则 ，得OE是△ABD的中位线，当A、C、D三点共线，且点C
在AD之间时，AD最大，即可求解．
【详解】解：连接AD，如图，
令y＝0，则 ，解得 ，则A（−4，0），B（4，0），
∴O是线段AB的中点，
∵E是线段BD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴ ，
设圆的半径为r，则r＝2，
当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，此时OE最大，
，
∴线段OE的最大值是 ．
故选：B．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点以及三角形中位线的性质，解题的关键是根据圆的基本性
质，确定AD的最大值．
9．如图，等腰 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E、F，且 ， ，
则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形、三线合一
【分析】连接 ， ， ， ， ， ， 交 于点M，根据“从圆外一点可以引圆的两条
切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”可得 ， ，
，结合 求得点E是 中点，然后由等腰三角形三线合一的性质求得点A，O，E共线，
在 中由勾股定理求得 后，利用 的面积求得内切圆的半径 ；由切线长定理和等腰三角形三线合一的性质可得 垂直平分 ，在 中由勾股定理求得 后，再利用面积法求得
即可解答；
【详解】解：如下图，连接 ， ， ， ， ， ， 交 于点M，
由切线长定理可知 平分 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理根据切线长定理可知 平分 ， ， ，
∴ ，
∴点E是 中点，
根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在 的延长线上，即点A，O，E共线，
∴ ，
中由勾股定理可得 ，
∵ 且 ，
∴ ，
中由勾股定理可得 ，
等腰 中由三线合一的性质可得 垂直平分 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故选： D．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质；利用面积法求三角形内切圆半径可使计
算简便．
10．如图， 是半径为1的圆弧，∠AOC等于45°，D是 上的一动点，则四边形AODC的面积S的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形
【分析】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC面积最大，则要使
△COD面积最大，以CO为底DE为高，要使△COD面积最大，则DE最长，进而得出答案.
【详解】解：如图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE⊥CO于点E，
∵CO=AO=1，∠AOC=45∘，∴CF=FO= ，
∴△AOC的面积= ×1× = ，
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，
∴最小面积无限接近 但是不能取到．
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高，要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD=90°时，DE最长为半径，
四边形AODC面积的最大值=△AOC的面积+△COD的面积
= + ×1×1= ，
即四边形AODC的面积S的取值范围是
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的综合，正确得出四边形的最大值是解题关键.
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．已知扇形的圆心角度数为 ，半径是2，则该扇形的面积为 ．
【答案】 /
【知识点】求扇形面积
【分析】此题考查了扇形面积，根据扇形面积列式计算即可．
【详解】解：扇形的面积为 ，
故答案为： ．
12． 的半径为2，弦 ，点 是 上一点，且 ，则点 到 的距离为 ．【答案】1或3
【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】根据垂径定理推论得 ，由勾股定理得 ，分两种情况分别求出 的值，即可
【详解】解：∵ 的半径为2，点 是 上一点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，即 ，
解得 ，
当如图1所示时， ；
当如图2所示时， ．
∴点 到 的距离为1或3．
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
13．如图， ， 是半径为1的 的切线，A，B是切点．若 ，则弧 的长为 ．【答案】
【知识点】求弧长、切线的性质定理
【分析】根据 ， 是切线可得 ，根据四边形的内角和可求出圆心角 的度数，
再根据弧长公式即可求得 的长．
【详解】∵ ， 是切线
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质、四边形的内角和、弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
14．如图，已知 是 的切线， 是切点 是过圆心的一条割线，点 、 是它与 的交点，且
， ．则 的半径为 ．
【答案】6
【知识点】切线的性质定理
【分析】根据切割线定理得PA2=PB•PC，从而可求得PC与BC的长，从而不难求得半径的长．
【详解】解：∵PA2=PB•PC，PA=8，PB=4，∴PC=16，∴BC=12，∴圆的半径是6．
【点睛】本题主要是运用了切割线定理，注意最后要求的是圆的半径．
15．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形
AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是 ．【答案】6π．
【知识点】扇形的定义及面积、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质
【详解】试题分析：∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AB=BE=CD=6，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴S扇形BAE= 6π，
考点：扇形面积的计算；平行四边形的性质．
16．如图，点O为弧AB所在圆的圆心，OA⊥OB，点P在弧AB上，AP的延长线与OB的延长线交于点
C，过点C作CD⊥OP于D．若OP=3，PD=1，则OC= ．
【答案】3
【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理
【详解】解：根据题意得：∠A+∠ACO=90°，
∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∵∠APO=∠DPC，∠D=90°，
∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠ACO=∠DCP，
即CP平分∠OCD，
∴ 到 的距离相等，
∴∴
∴OC=3 .
故答案为：
17．如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 、 ；点 是以 为圆心，1为半径的圆上
一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，当线段PQ取最小值时，P点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】切线的应用、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式
【分析】先判断当线段PQ取到最小值时的情形：过点C作CP⊥AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点
为Q，此时PQ取到最小值.根据互相垂直的两条直线的解析式中k互为负倒数，可设直线CP的解析式为：
，把点C（0，-1）代入 中，求出解析式，再联立直线CP和直线AB这两个函数解析式，
求出点P的坐标即可.本题也可用相似三角形结合勾股定理来求点P的坐标.
【详解】解：如下图，过点C作CP⊥AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ取到最小值，
连接CQ，∵直线
当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，
∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（4，0），
∵直线CP⊥直线AB，
∴设直线CP的解析式为： ，
把点C（0，-1）代入 中，
解得：b=-1，
∴直线CP的解析式为： ，
∵直线CP与直线AB交于点P，
∴ ，
解得： ，
∴点P的坐标为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查切线的性质、互相垂直的两条直线解析式系数之间的特点、两个一次函数的交点坐标等，
准确确定线段PQ取到最小值时的情形是解题的关键.
18．在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 是第一象限内任意一点，连接 ， ．若
， ，则我们把 叫做点 的“角坐标”．
（1）点 的“角坐标”为 ;
（2）若点 到 轴的距离为3，则 的最小值为 ．【答案】
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理
【分析】本题考查了坐标与图形的相关性质，明确圆的相关性质、三角形的内角和及外角性质等知识点是
解题的关键．
（1）过 作 轴于 ，由 ， 可得 ，进一步得到
，再根据“角坐标”定义求解即可；
（2）由（1）可得 ，则 过 ， ， 三点，且 ，再由三角形内角和可
得 ，要使得 取得最小值，则需 取得最大值．根据圆周角和三角形外角
确定相切时角度最大即可得答案．
【详解】解：（1）过 作 轴于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴点 的“角坐标”为 ；
故答案为： ；（2）由（1）可得 ，
∴ 过 ， ， 三点，且 ，
∵ ，
∴ ，
∵直线 与 轴平行，
∴ ，
∵ ，
∴直线 与 相切于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴要使得 取得最小值，则需 取得最大值．
在直线 上任取一点不同于点P的一点 ，连接 交 于点Q，连接 ， ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，若a+b＝4，a2+b2＝10，求
剩下的钢板的面积．
【答案】
【知识点】圆的周长和面积问题、完全平方公式在几何图形中的应用、整式的混合运算
【分析】由大圆面积减去两个小圆面积求出阴影部分面积即可．
【详解】根据题意得：S ＝( )2π-( )2π-( )2π＝ ，
阴影
∵a+b＝4，a2+b2＝10，∴ab＝ ＝ ，
∴S ＝ ．
阴影
【点睛】此题考查了圆的面积和整式的混合运算，以及完全平方公式的应用，应用完全平方公式求得ab是
解本题的关键．
20． 于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之
自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的
弦 长 ，弓形高 长 求半径 的长．
【答案】半径 的长为
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】此题主要考查了弓形的概念，熟练掌握弓形的概念，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关
键．设半径 的长为 ，则 ，由已知可得 然
后在 中，由勾股定理得 ，即 ，由此解出r即可．
【详解】解：设半径 的长为 ，则 ，
∵弓形高 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得： ．
答：半径 的长为 ．
21．如图，一个横截面为Rt△ABC的物体，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米，师傅要把此物体搬到墙边，
先将AB边放在地面（直线m上），再按顺时针方向绕点B翻转到△ B 的位置（B 在m上），最后沿
射线B 的方向平移到△ 的位置，其平移距离为线段AC的长度（此时， 恰好靠在墙边）．
（1）直接写出AB、AC的长；
（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，
并求出该路径的长度．
【答案】解：（1）AB=2米， AC= 米.
（2）A点的路径如图中的粗线所示，
路径长为（ ）米.
【知识点】求某点的弧形运动路径长度
【详解】考点：弧长的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析：（1）根据直角三角形的三边关系，30°的角所对的直角边是斜边的一半，可以直接确定AB、AC．
（2）根据要求画出路径，再用弧长公式求解路径的长度．
解：（1）∵∠CAB=30°，BC=1米
∴AB=2米，AC= 米．（2）画出A点经过的路径：
∵∠ABA =180°-60°=120°，A A =AC= 米
1 1 2
∴A点所经过的路径长= ▪π▪2+
= π+ （米）．
22．如图，E、F分别为△ABC中AC、AB上的动点(点A、B、C除外)，连接EB，FC交于点P，BC=6．我们
约定：线段BC所对的∠CPB，称为线段BC的张角．
(1)已知△ABC是等边三角形，AE=BF．
①求线段BC的张角∠CPB的度数；
②求点P到BC的最大距离；
③若点P的运动路线的长度称为点P的路径长，求点P的路径长．
(2)在(1)中，已知△A'BC是⊙P的外切三角形，若点A'的运动路线的长度称为点A'的路径长，试探究点A'的
路径长与点P的路径长之间有何关系？请通过计算说明．
【答案】(1)①∠BPC=120°；②点P到BC的最大距离 ；③ ；(2)点A'的路径长是点P的路径长的2倍．
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、垂径定理的推论、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合
（SAS）
【分析】（1）①利用等边三角形的性质证△AEB与△BCF全等，得到∠EBA=∠BCF，利用三角形的内角和
定理即可求出∠CPB的度数；
②由题意可知当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大，根据垂径定理及三角函数即可求出点P到BC的
最大距离；
③由题意知点P的路径长为弧BC的长，在②的基础上直接利用公式即可求出结果；
（2）中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，可得∠CBP+∠BCP=60°，因为圆P是△A'BC的内切圆，由此可推出A'是等边三角形ABC外接圆上优弧BAC上的一动点，其半径为2 ，圆心角240°，根据弧长公式
可直接求出其长度，并计算出点A'的路径长是点P的路径长的2倍．
【详解】(1)①∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBA=∠A=60°，AB=BC，
∵AE=BF，
∴△AEB≌△BCF(SAS)，
∴∠EBA=∠BCF，
∵∠EBA+∠CBE=60°，∠EBC+∠BCF+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°；
②如图1所示，由于∠BPC始终为120°，故过点B，P，C作圆O，
∴∠BOC=120°，
当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大，
∵OB=OC，
∴∠BOP= ∠BOC=60°，
NB= BC=3，
∴ON= ，OB=2 ，
∴点P到BC的最大距离PN=2 - = ；
③点P的路径长为弧BC的长，∴弧BC= = = ；
(2)由(1)中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，
可得∠CBP+∠BCP=60°，
又∵圆P是△A'BC的内切圆，
∴∠CBA'+∠BCA'=120°，
∴∠CA'B=60°，
∴A'是等边三角形ABC外接圆上优弧BAC上的一动点，
由题意可得等边三角形ABC外接圆的半径为2 ，
∴点A'的路径是优弧BAC的长度，即以240°的圆心角，半径为2 的弧长，
如图，所以点A'的路径长= = = ，
∵ ： =2：1，
∴点A'的路径长是点P的路径长的2倍．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的的判定与性质，勾股定理，垂径定理，弧长公式等，
解题的关键是能够根据题意画出图形．
23．【综合与实践】
当进入博物馆的展览厅时，你是否留意分隔观赏者和展品围栏所放的位置？对于你的身高而言，你认为它
的位置恰当吗？(1)要找出围栏摆放的适当位置，首先要知道对于一般高度的观赏者何处观赏最理想．
如图（1），观赏最佳的位置就是当展品的最高点P与最低点Q与观赏者的眼睛E所形成的视角q最大．
如图（2），当经过 三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角q最大，站在此处观赏最理
想．这是为什么呢？
请思考后完成填空：
设点 是 上任意一个异于E的点，
∵ __________ （填“>、=或<”），
又 __________，
∴ __________ （填“＞、=或<”）．
∴眼睛位于点E处时，q最大．
(2)如图（3），假如墙壁上的展品的最高点P距离地面的高度为 米，最低点Q距离地面的高度为2米，
观赏者的眼睛E距离地面的高度为 米，那么围栏放在什么位置最合适呢？由题意可得， 米，
米， 米．请求出 的值．（提示：作 ，分别连接 ．在 中，
运用勾股定理求得 ）
【答案】(1)>， ，>(2) 米
【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】该题主要考查了圆周角定理和垂径定理、勾股定理和矩形的性质和判定，解题的关键是读懂题意，
掌握以上知识点；
（1）根据三角形外角等于与之不相邻的两个内角之和判断 ，根据圆周角定理判断出 ，
即可确定 ；
（2）根据 米， 米， 米，得出 米， 米，根据垂径定理得出
米，根据 为矩形， ，从而得出 半径 米，在 中，运用勾股
定理即可求解；
【详解】（1）设点 是 上任意一个异于E的点，
因为 为三角形的外角．
∴ ，
又 ，
∴ ．
∴眼睛位于点E处时，q最大．
故答案为：>， ，>；
（2） 米， 米，
米，
米，
米．
米，
，
为矩形，
，
米．
，半径 米，
在 中， 米， 米，
则 (米)，
∴ 米．
24．利用以下素材解决问题．
探索货船通过拱桥的方案
图1中有一座对称石拱桥，图2是其
素 桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽
材 AB端点到拱顶点C距离
1 ，拱顶离水面的距离
如图3，一艘货船露出水面部分的横
截面为矩形 ，测得
， ．因水深足够，货船可
素
以根据需要运载货物，据调查，船身
材
下降的高度y（米）与货船增加的载
2
重量x（吨）满足函数关系式
素
本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧
材
一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分
3
问题解决
任
务 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径．
1
根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱
任
桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加
务 根据小组1的结论探索方案
多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考
2
数据： ）
任 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱
务 根据小组2的结论探索方案 桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加
3 多少吨货物才能通过？
【答案】任务1： ；任务2：货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物；任务3：货船不能通过
抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过
【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形、拱桥问题(实际问题与二次函数)【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，勾股定理：
任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接 ，先证明 垂直平分 ，设圆O的半径为 ，
则 ，利用勾股定理得到 ，解方程即可得到答案；
任务2：当 恰好为圆O的弦时，由垂径定理得到 ，则 ，可得
，则货船能通过圆形拱桥，进而得到 ，则 ，则货船能通过圆
形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点， 所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，设桥拱所在的抛物线解析
式为 ，由勾股定理得 ，则 ，利用待定系数法求出桥拱所在的抛物线解析
式为 ，在 中，当 时， ，由于 ，则货船不能通过抛物线拱桥，
根据 ，得到 ，则货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
【详解】解：任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接 ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴O、C、D三点共线，
设圆O的半径为 ，则 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴圆形桥拱的半径为任务2：当 恰好为圆O的弦时，
∵ ， ，
∴ （垂足为M），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴货船能通过圆形拱桥，
∵ ，
∴ ，
∴最多还能卸载19吨货物，
∴货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点， 所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，
设桥拱所在的抛物线解析式为 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
把 代入 中得： ，∴ ，
∴桥拱所在的抛物线解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴货船不能通过抛物线拱桥，
∵ ，
∴ ，
∴至少要增加20吨货物才能通过
∴货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
25．已知在 中， ， ，H为直线 上一点．
(1)如图1，若 ， ，求线段 的长；
(2)如图2，过点B作 于点D，点E为 中点，连接 ，作 交 于点F，连接 ，若
G为 中点，试判断线段 与 的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）问的条件下，若 ，当 最小时，直接写出 的面积．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析(3)
【知识点】圆的基本概念辨析、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】
（1）过 作 ，利用 和 计算即可．
（2）采用中线倍长，得 ，得 ，故 ．再证明 ，
即可．
（3）先证明 、 、 、 四点共圆．则 、 、 三点共线时 最短，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）
解：过 作 ，
，
，
，
．
．
即线段 ．
（2）
线段 与 的数量关系是 ．
理由如下：
延长 至 ，使 ，连 ．
为 中点，，
在 和 中，
，
，
，
，
．
，
．
，
．
即 ，
．
， 为 中点，
．
，
，
．
在 和 中，
，
，
，
．
在 和 中，
，
，，
．
即线段 与 的数量关系是 ．
（3）
如图，连 ．
，
，
为 中位线，
，
，
，
．
、 、 、 四点共圆．如图所示，
取 中点 ，过 作 ．
此时， 过圆心时， 最短．
．
．．
面积 ，，
．
．
．
．
，
，
．
．
在 和 中，
，
，
．
的面积 ．
的面积 ．
【点睛】
本题考查了三角形的综合题．涉及等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线、勾股定
理以及四点共圆，数形结合是解题关键，同时利用勾股定理也是解题必备的技能．
26．动手操作：如图①，把长为l、宽为h的矩形卷成以 为高的圆柱形，则点 与点 ___________重合，点 与点
___________重合；
探究发现：
如图②，圆柱的底面周长是40，高是30，若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面A出发，沿圆
柱侧面绕一周到上底面B，则这条丝线最短的长度是 ___________；
实践与应用：
如图③，圆锥的母线长为4，底面半径为 ，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥的底面上的点
A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A．求这条彩带最短的长度是多少？
拓展联想：
如图④，一棵古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体．测得树干的周长为3米，高为18米，有一根紫藤
自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，你能求出这条紫藤至少有多少米吗？
【答案】动手操作：A，B；探究发现：50；实践与应用： ；拓展联想：30米
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用垂径定理求值、求圆心角、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】[动手操作]根据圆柱的侧面展开图是矩形即可得到答案；
[探究发现] 连接 ，根据矩形的性质及勾股定理求出 即可得到答案；
[实践应用]将圆锥展开得到展开图，连接 ，根据弧长公式求出∠ 的度数，过点O作 于
点D，根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质求出 ，再利用勾股定理求出 即可得到答案；
[拓展联想]将树干的高度分成相等的8段，利用树干的周长建立勾股定理的等式求出一圈紫藤的长，由此
得到答案．
【详解】解：[动手操作]：易得点A与点 ，B与 重合；
[探究发现]：由题意知该圆柱的侧面展开图即是矩形 ，则 ， ，
连接 ，
∵ ，∴ ，
∴这条丝线最短的长度是50；
[实践应用]
圆锥的侧面展开图，如图所示：
连接 ，
则 为最短路径．
弧 的长为： ，
由弧长公式得 的度数为： ，
过点O作 于点D，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中 ，
∴这条彩带最短的长度是 ；
[拓展联想]
∵树干的高是18米，缠绕8圈紫藤，
∴每相邻两圈紫藤的距离是 （米），
∵树干的周长是3米，∴一圈紫藤的长度是 （米），
∴8圈紫藤的长度最少是 （米）．
【点睛】此题考查圆柱的侧面展开图，勾股定理的实际运用，弧长公式，矩形的性质，解题中注意同类思
想的运用，正确理解题意是解题的关键．
