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2026届高考压轴题冲刺演练（四）
圆锥曲线
1．（2026·河北·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上
顶点为E，且 ，点 在C上.
(1)求C的方程.
(2)已知A，B是椭圆 上的点， 是C 上一点，若线段 PA，PB 的中
点都在 上，记
（i）当点 P 运动时，证明： 的面积是定值；
（ii）求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i） 的面积定值为 ，证明见解析；（ii）
【分析】（1）利用焦点距离关系与椭圆基本量关系求出 ，再代入已知点得方程
（2）（i）由中点条件推出 共线方程，联立直线与椭圆，用弦长公式和点到直线距离，
结合 的椭圆方程化简得面积为定值；（ii）用三角形面积公式与向量点积将 表示为
关于点积的函数，利用韦达定理求点积范围，从而得 的取值范围.
【详解】（1）由题意得 ， ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
联立 ，整理得 ，即 ，
所以 ，代入 得 ，解得 ，则 ，所以椭圆 的方程为：
（2）（i）设 在 上，
则 的中点为 在 上，
代入得 ，整理得 ，
代入得 ，整理得 ，
因为 在 上，则 ， 在 上，则 ，
联立 ，整理得 ，
联立 ，整理得 ，
因此 在直线 上，
联立 ，得 ，则 ，，
直线 的斜率为 ，
则 ，
点 到 的距离 ，
则 ，
因为 即 ，代入得 ，
即 的面积是定值 .
（ii）设 ，则 ，
，
故 ，
由（i）知 ，
，则
，
结合 ， 整理得 ，
其中 ，故 ，则 .
2．（2026·浙江温州·二模）已知曲线 与点 ，O为原点，动点
，且 的最大值为 ．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知有 个点 ， ， ，…， 按逆时针顺序依次在E上，且 ， ．
（ⅰ）当 ， 关于y轴对称，且 的面积为1时，求直线 的斜率；
（ⅱ）当 的面积都相等时，记多边形 的周长为 ．若对于
，都有 ，求整数 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)（i） ；（ii）9.
【分析】（1）设过点 的切线方程，联立曲线方程，根据判别式等于0即可得到答案；
（2）（i）利用参数方程法，设出点坐标，代入计算即可；
（ii）设 ，写出相关面积表达式，再分 和 时讨论即可.
【详解】（1）设过点 的切线为 ．
联立 ．因为是切线，则 ，
化简得 ，则 ，
又 取最大值时， 为切线，且 ．
.
（2）（i）由（1）知椭圆为 ．
设 .
则 .
又 .
因 ,则得 ,
故 ，即直线 的斜率为 ．
(ii)设 ，
.
则 ．
题目条件为各面积相等， ．
当 时，设 ．记 ．
则 ，
设 ，则 ，
.
又 ，
.
当 时，若存在 ，由 得 ．
又 ，其余各 ，这与 矛盾．
．
记 ．则
.
故 .
又 ，
.
由柯西不等式， ．又 ．
又 ．
取 ，则满足面积相等，
且 ．
又对一切满足条件的 ，都有 ．
3．（2026·山东青岛·一模）已知 为坐标原点，椭圆 ： （ ）的离心
率为 ，长轴长为4.
(1)求 的方程；
(2)若过 的直线 交 于 ， 两点，点 在 上，点 为直线 与 轴的交点，点
的横坐标为点 横坐标的3倍.
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）若点 ， 都在曲线 ： （ ）上，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
【分析】（1）利用离心率及长轴长计算即可得；
（2）（ⅰ）法一：设 ， ，借助点差法计算即可得；法二：设 ：，联立椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出 与 后，由
可得 ，即可得证；（ⅱ）设 ， ，则有
，两式相乘可得 ，则可得
，设
，可得 在 上单调递增，故可得
，即可得解.
【详解】（1）由题得， ， ，得 ， ， ，
所以 的方程为 ；
（2）（ⅰ）（法1）设 ， ， ， ，
因为 ，两式作差得： ，
又因为 ，即 ，所以 ，
所以 ；
（法2）由题可知直线 斜率存在且不为0，
设 ： ， ， ， ， ，由 ，得 ，所以 ，
所以 ， ，
因为 ，则 ，即有 ，所以 ；
（ⅱ）设 ， ，其中 ， ， ，
因为 ，所以 ，
两式相乘得： ，又因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 （ ），
所以 ，
令 ，又因为 在区间 上单调递增；
所以 ，
显然 在 上单调递增，因为 ，得 ，
所以 ，所以 （当且仅当 ， 时取等号），综上， 的最大值为 .
4．（25-26高三下·江西·月考）若椭圆： 上一点 处的切线
方程为 .已知椭圆 分别为左､右顶点且离心率
.直线 过 交椭圆 于 两点.当直线 垂直于 轴时， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)连接 ，并过 两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点 ，过 作
的平行线交 于 点，直线 （ 为坐标原点）交直线 于点 ，直线 和直
线 的斜率分别为 和 两点横坐标分别为 .
证明（i） 为定值：
（ii） 为定值.
【答案】(1) ；(2)（i）（ii）证明见解析.
【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程组，解出即可；
（2）（i）设直线 ，联立椭圆方程得到韦达定理式，得到和积关系式，再代
入 计算即可；
（ii）根据切线方程结论得到两直线方程，联立得到 ，再计算得 ，从而有
，即得 .
【详解】（1）由题意可知 在椭圆上，且由 ，可得 ，
联立方程 ，所以椭圆 .
（2）（i）由题意可知直线 不与 轴重合，设直线 ，
点 ， .
，
.
又因为 ，所以 ，
（ii）由题意可知过点 的切线和点 的切线分别为： ，和 ，联立方程 .
，所以 .
直线 ，直线 ，
，
，又由（i）可知 ，所以 ，
即 .
可得 为 中点，所以 ，即 ．
5．（2026·广东广州·一模）已知双曲线 ： （ ， ）的焦点到其渐近线的距离为 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)点 ， 分别在 的两条渐近线上运动，且 ，线段 的中点为 ．
（ⅰ）设 ， ，求 的最大值；
（ⅱ）设 ， （ ），点 不在 轴上，若 ，求 的
取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）4；（ⅱ）
【分析】（1）由焦点到渐近线的距离求得 ，再将点 代入到双曲线方程即可
求解；
（2）（i）设出渐近线上的点 ，由中点坐标和 得出 的轨迹为椭圆
，发现 为其焦点，结合椭圆的定义即可求得 ，再使用基本不等
式即可求解；（ⅱ）由 及正弦定理，用坐标表示 ，并使用三
角函数恒等变换和椭圆方程消去 ，得到比值关于 的表达式，结合 的取值范围即可求解.
【详解】（1）设右焦点 ，其中一条渐近线方程为 ，即 ，
由题意得 到 的距离 ，
即 ，因为点 在 上，
将 代入，得 ，解得 ，即双曲线 .
（2）（i）由（1）得渐近线方程为 ，设 ，
设 ，则有 ，即 ，
则 ，
所以 ，
即 ，整理得 ，
即 的轨迹是椭圆 ，易得其焦点为 ，长半轴长为2，
所以 是点 轨迹的焦点，所以 ，
则 ，当且仅当 时等号成立.
（ⅱ）在 中，由正弦定理得 ，因为 ，所以 应在 轴右侧，即 ，
且 ，
所以 ，设 ，则 ，
不妨令 ，因为 在 上，且 ，
所以 ，
又 ，
联立 ，整理得 ，
而 ，解得 ，
设 ，则 ，
易得当 时 ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，因为 短半轴长为1，因此 ，
由 整理得 ，
因为 ，解得 ，
因为 ，代入 ，所以整理得 ，
令 ，则 ，则 ，代入 ，
整理得 ，设 其中 ，
易得当 时 单调递增，则 单调递减， 单调递增， 单调递增，
单调递增， 单调递增，最终有 在 上单调递增，
所以 ，即 .
由于椭圆的对称性，当 时结果一致，
综上，
6．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线 的焦点 到一条渐近线
的距离为 ，且点 在双曲线 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)斜率为 的直线与双曲线 的右支交于 、 两点（异于点 ）．
①求直线 、 的斜率之和；
②若 的外接圆圆心为 ，试问在 轴上是否存在定点 使 为定值，若
存在，求出 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)① ；②存在，且点 .
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出 的值，将点 的坐标代入双曲线 的方程，
求出 的值，即可得出双曲线 的方程；
（2）①设点 、 ，设直线 的方程为 ，将该直线方程与双曲
线 的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线 、 的斜率之和；
②设 的外接圆方程为 ，分析可知方程
与方程 为同解方程，可得出关于
、 、 的方程组，解出 、 ，可得出点 的坐标，求出直线 的方程，当
时，求出直线 的方程，取点 为直线 与 轴的交点，结合勾股定理可得出结论.
【详解】（1）双曲线 的右焦点为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，即
，
所以焦点 到一条渐近线的距离为 ，
因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，
故双曲线 的标准方程为 .
（2）①设点 、 ，设直线 的方程为 ，
因为点 不在直线 上，则 ，可得 ，
联立 ，可得 ，则 ，解得 或 ，
由题意可得 ，所以 且 ，
所以
，
即直线 、 的斜率之和为 .
②设 的外接圆方程为 ，
则 ，
由 代入 ，
可得 ，
可得 ，
同理可得 ，
所以 、 为关于 的方程 的两根，
又因为 、 为关于 的方程 的两根，
所以方程 与方程 为同解方程，所以 ，解得 ，
易知点 ，即点 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
当 时，直线 的方程为 ，即 ，
直线 与 轴的交点为 ，不妨取点 ，此时 ，
则 ，
故在 轴上存在定点 ，使得 为定值 .
7．（2026·四川广安·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点
为双曲线 上的点，按如下方式依次构造点 （ 且 ），过点 作斜率
为 的直线与双曲线 的另一支交于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，记 的坐标
为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)证明 为等比数列；(3)记 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 取何值时 最小．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) 时
【分析】（1）借助离心率与 及双曲线上的点 计算即可得；
（2）由题意可得 ，联立曲线方程，可表示出 ，
从而可用 、 表示出 、 ，再表示出 后利用等比数列定义即可得证；
（3）表示出 可得数列 也为等比数列，则可表示出 、 坐标，再利用
三角形面积公式计算可得 ，由点 关于 轴的对称点为 ，可得
，则可表示出 ，最后得到 后，利用 及对勾函
数性质计算即可得.
【详解】（1）由题意可得 ，则 ，故 ，
故有 ，解得 ，则 ，
即曲线 的方程为 ；
（2）由题意可得 ，
由点 关于 轴的对称点为 ，则 ，联立 ，则 ，
则 ，则 ，
，
故 ，
又 ，故 为以 为首项， 为公比的等比数列；
（3）由（2）知 为以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
由 ， ，
则 ，
又 ，故 为以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
故 ， ，
设 ，则 ， ，
则 ，即 ，
，即 ，
，即 ，则
，
故 ，
由 ，
，
，
，
则
，
由点 关于 轴的对称点为 ，故 轴，
故 ，
，， ，
则
则 ，
由 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，则当 ，即 时，
有最小值，则 .
8．（2026·江苏南京·一模）已知圆 ，点 ，对于圆 上的点
，按照如下方式构造点 ；过点 作直线 垂直于 轴， 为点 在
轴上的射影，点 满足 （ 为常数， ），直线 交 于点 ，
其中 为坐标原点，点 异于点 ．(1)若 ，求 的坐标；
(2)证明：数列 为等比数列；
(3)已知 ，设 及 的面积分别为 ， ，若存在正整数 ，
使得 ，求 所有可能的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) 或 ．
【分析】（1）根据 ，代入坐标运算，即可求解；
（2）根据向量关系 ，并联立直线 和圆的方程，求得点 的坐标，再
根据等比数列的定义证明；
（3）根据（2）的结果求通项公式，表示点 和 的坐标，并代入求 ，同时将条
件等式变形为 的形式表示，并构造函数 ，判断函数的单调性，分情况代入
数值求 .
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 ， ，
由 得 或因此 ．
（2）因为 ， ， ，
所以 ， ，
由 得 或
因此 ， ，
因为 ，即 ，
所以 ，
因此 ，
又 ，所以 ，
因此 ，即数列 为等比数列．
（3）由（2）得 ，即 ，
于是 ，
注意到 ，因此 ，由 ， ，
得 ，
因此 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
设 ， ， ，
则 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，即 单调递增．
又 ， ，
所以 或2，
若 ，则 ， ，
当 时， ，
因此 或3，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ．若 ，则 ， ，
当 时， ，
因此 ，
所以 ，解得 （舍），
综上， 或 ．
9．（2026·广东·一模）设双曲线 的离心率为2，其左、右焦点分别
是 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于点 ．当 与 轴垂直时， ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)求 的最小值；
(3)记 的内切圆 与双曲线 的一个公共点为 ，双曲线 的左顶点为 ，证明：
．
【答案】(1)
(2)9
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意列出关于 的方程组，求解即得双曲线的标准方程；
（2）设直线 的方程为 与双曲线方程联立，推得 ，写出
的表达式，利用 的范围，即可求得 的最小值；
（3）先证明 与边 的切点即为点 ，再证 ，由此推得点 在直线上，再证 ，结合 ， 且 ，可得点
均在 上，即得证.
【详解】（1）不妨设点 在第一象限，点 在第四象限，离心率 ① ，
在 中，当 时， ，故 ，即 ② ，
又因 ③ ，联立① ②③，解得 ，
故双曲线 的标准方程为 .
（2）由（1）得 ，当直线 的斜率为0时，直线 与双曲线的两个交点分别在
左支和右支，不符合条件；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
由 ，化简得 ，
设 ，则 ，解得 ，
则 ，
因 ，则 ，故 ，即 .
故 的最小值为9.
（3）如图，设 与边 切于点 ，
由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，，即点 与点 重合，即 与边 切于点 .
设 与边 切于点 ，则 ，
在 中， .
设点 ，点 ，则 ，解得 ，
即点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，交直线 于点 ，
其中， ，
设点 关于直线 的对称点为点 ，所以 .
因为点 与点 ，点 与点 分别关于直线 对称，
所以 ， 且 ，
所以点 均在 上，且 ，
所以 .
10．（2026·江苏·一模）已知双曲线 的离心率为 ， 是
上一点，直线 的斜率为 ，且与 交于 两点.(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3)证明： 的外接圆的圆心 在定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得 ，即可
求解；
（2）设 ，联立方程组，由 ，求得 ，且 ，
结合 ，根据向量数量积的运算公式，列出方程，求得 的值，即可求解；
（3）由（2）求得线段 的垂直平分线的方程为 ，设点 的坐标为 ，根
据 及 ，列出方程，化简得到 ，代入
，求得 ，得到圆心 在定直线 上，即可得证.
【详解】（1）因为双曲线 的离心率为 ，且 是 上一点，
可得 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，且 ，联立方程组 ，整理得 ，
则 ，解得 ，所以 或 ，
且 ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，
可得 ，
所以
，
将 代入上式得，
，
因为 ，可得 ，即 ，
解得 或 ，
又因为 或 ，所以 ，
所以直线 的方程为 .
（3）由（2）知 ，可得 的中点 的横坐标为 ，
则点 的纵坐标为 ，即 ，
所以线段 的垂直平分线的方程为 ，即 ，
设点 的坐标为 ，
因为 ，可得 ，又因为 ，
代入得 ，
整理得 ，
又由 ，可得 ，
则 ，可得 ，
其中 ，
则 ，
整理得 ，
①当 时，两边同除以 ，可得 ，
代入 ，可得 ，即 ，
所以 的外接圆的圆心 在定直线 上；
②当 时，即 时，可得直线 的方程为 ，
此时点 满足直线 的方程，此时 三点共线，不能构成三角形，舍去，
综上可得， 的外接圆的圆心 在定直线 上.
11．（25-26高三下·山东·月考）已知动圆 过点 ，且与 相切，记该动圆的圆
心轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；(2)若 ，直线 与 交于 两点（点 在点 的右侧），直线
与 交于 两点， 在第一象限，记直线 与 的交点为 ，直
线 与 的交点为 ，线段 的中点为 ．
（ⅰ）证明： 三点共线；
（ⅱ）若 ，过点 作 的平行线，分别交线段 于点 ，记
与 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 的最大值36
【分析】（1）根据已知条件可得 的轨迹为抛物线，可求得 的方程；
（2）（ⅰ）设线段 的中点为 ，利用向量证明 三点共线，同理可证 三
点共线，进而可得结论；
（ⅱ）将 转化为四边形 面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直
线 和直线 的方程，则可求出 坐标，然后利用面积公式求解最值即可.
【详解】（1）已知圆 过点 ，且与 相切，
所以圆心 到点 的距离与点 到直线 的距离相等，
根据抛物线的定义可知，圆心 的轨迹为抛物线，且点 为焦点，直线 为准线，
设抛物线方程为 ，则 ，所以 .
所以曲线 的方程为 .
（2）（ⅰ）设线段 的中点为 ，因为 ，所以可设 ，
因为 ，
所以 三点共线，同理， 三点共线，所以 三点共线．
（ⅱ）设 ， 的中点为 ， 的中点为 ，
将 代入 得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，所以 ，
同理 ， ，所以 ，（ 均在定直线 上），
因为 ，所以 与 面积相等， 与 面积相等；
所以 等于四边形 的面积，
设 ，直线 ： ，即 ，
整理得，直线 ： ，又 ，所以 ，
同理，直线 ： ，又 ，所以 ，
所以，
所以四边形 面积
，
当且仅当 ，即 ，等号成立，
所以四边形 面积的最大值为36，即 的最大值为36.
12．（2026·四川·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为
2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若动直线l与椭圆 有且仅有一个公共点，过原点O作l的垂线，垂足为M，设点M的
轨迹为E．
（ⅰ）求轨迹E的方程；
（ⅱ）以坐标原点O为公共端点作两条互相垂直的射线 ， ，分别与E交于点P，Q，与
椭圆 交于点 ， ，求以P， ，Q， 为顶点的四边形的面积的最大
值.
【答案】(1)(2)（i） （ii）
【分析】（1）根据短轴长求出 ，再由离心率得到 与 的关系，最后结合椭圆的基本关
系式 解出 ，从而确定椭圆方程；
（2）（i）先设出直线方程并与椭圆联立，利用相切条件得到参数关系，再结合垂足在直
线上且与直线垂直的条件，消去参数后得到轨迹方程，最后验证斜率不存在的情况；（ii）
先设两互相垂直的射线斜率为 与 ，分别求出四条线段长度的平方，利用发现的倒数关
系表示四边形面积，再通过换元法转化为二次函数最大值，进而得到面积的最大值.
【详解】（1）已知椭圆 ，离心率 ，短轴长 ，
由短轴长得 ，由离心率 ，得 ，
结合 ，得 ，解得 ，
因此，椭圆 的方程为： .
（2）（i）若动直线 的斜率存在，设其方程为 ，
联立直线与椭圆方程： ，得 ，
直线与椭圆相切，故判别式 ，即 ，可得 ，
因为 ，所以直线 的斜率为 ，设点 的坐标为 ，则有：
，即 ，
点 也在直线 上，所以 ，即代入 ， ，
整理得轨迹 的方程： （当 时， ， ，代入上式
也成立）；
若动直线 的斜率不存在，切线方程为 ，过原点 作垂线，垂线即 轴，垂足 的
坐标为 ，满足 ，
综上，轨迹 的方程： .
（ii）点 在轨迹 上，将 代入得：
，即 ，则 ，
同理可得 ，
点 在椭圆 上，代入 得 ，即 ，
则 ，同理可得 ，
因为 ，四边形面积
因为 ，令 ，则 ，
因为 与 在 时都是增函数，所以 是增函数.
因为 ，令 ，则 ， ，则 ，
令 ， ，则当 时，即 时， 取得最大值，
最大值为 ，此时 ，
.
13．（2026·河南南阳·一模）用圆规画一个圆 ，然后在圆外标记点 ，并把圆周上的点
折叠到点 ，连接 ，标记出直线 与折痕所在直线 的交点 （如图），若不断在
圆周上取新的点 ， ，…进行折叠并得到标记点 ， ，…，设圆 的半径为4，点
到圆心 的距离为6，以 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴建立平面直角坐标
系，所有的点 ， ， ，…形成的轨迹记为曲线 ．
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)设 为曲线 上第一象限内的一点，记 的重心为 ，内心为 ．
①若 ，求点 的坐标；②连接 交曲线 于第四象限一点 ，设 的内心为 ，求四边形 的面积 的
取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；② ．
【分析】（1）由已知可得 ，进而由双曲线的定义知点 ，
， ， 形成的轨迹是以 ， 为焦点，以 为实轴长的双曲线，进而可求
曲线 的标准方程；
（2）①由 得 ，可求得内心 的纵坐标及 的内切圆半径为 ，
结合三角形面积公式计算可解得 ，再联立的距离方程与双曲线方程即可求得 的坐
标；②利用双曲线定义与三角形内切圆性质，先求 内切圆在 轴上的切点横
坐标均为 ，进而可得 和 均为角平分线，通过直线 倾斜角为 ，将 转化为
，再通过 计算即可得出结果.
【详解】（1）把圆周上的点 折叠到点 ，折痕所在直线 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
若不断在圆周上取新的点 ， ，…，进行折叠并得到标记点 ， ，…，
总有 ， 成立，
符合双曲线定义，故点 ， ， ，…形成的轨迹是以 ， 为焦点，
以 为实轴长的双曲线，故 ，
由 ，得 ，∴ ， ，即曲线 的标准方程为： ．
（2）方法一：
①设点 （ ， ），则 的重心 的坐标为 ，
由题 知 ，即内心 的纵坐标为 ，也即内切圆半径为 ，
于是由 ，
得 ，而 ， ，
即 ，解得 ，
从而有 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ．
②设内切圆 与 轴的切点为 ，其横坐标为 ．
根据双曲线定义和内切圆性质：
， ，
联立解得： ， ，
所以圆心 的横坐标为： ，
同理 的内切圆与 轴的切点横坐标也为2，
连接 和 ，则 和 均为角平分线，
设直线 倾斜角为 ，通过几何关系得：，
由题 ， 均在右支上，可知 ，或 ，从而可得 ，即
，
所以 ，
即 的取值范围 ．
方法二：
①连接 并延长交 轴于 ，由题 知 ，即 ，
由角平分线性质知： ，于是有 ，且 ，
解得 ， ，故 ，易得 ；
设内切圆 与 轴的切点为 ，其横坐标为 ．
根据双曲线定义和内切圆性质： ，
，联立解得： ， ，
所以圆心 的横坐标为： ，
于是 ，即 ，故 ，
代入曲线 得 ，
所以点 的坐标为 ．
②，由①知 的横坐标为2，同理 的内切圆与 轴的切点横坐标也为2，
连接 和 ，则 和 均为角平分线，设直线 倾斜角为 ，通过几何关系得：
，
由题 ， 均在右支上，可知 ，或 ，从而可得 即
，
所以 ，
即 的取值范围是 ．
14．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线 的焦点F到直线
的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程．
(2)点 为直线 上的一点，过点 作 的切线，切点分别为 ．
①问：直线 是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．②若点 在抛物线 的准线上，切点 在第一象限内，存在过点 的直线与 相交于
两点，过点 作平行于 的直线，分别与直线 和直线 交于点 ，若
，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)① ；② .
【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式计算即可求解；
（2）①求得切线方程，由题意 在切线方程上可得直线 的方程为
，由此计算可解；②直线 的方程为 ，联立 ，可
得 ，设 ，直线 的方程为 ，可得
，设直线 的方程为 ，联立可得
，设直线 的方程为 ，联立可得
，由此可计算 ，计算可解.
【详解】（1）由题意可得 ，
故焦点 到直线 的距离 ，所以 ，解得 或 （舍去）；
所以抛物线 的方程为 ；
（2）设抛物线 在点 的切线方程为 ，
切线与抛物线联立方程组 ，得
，
则 ，
化简可得 ，所以 ，
因为点 在抛物线 上，则 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，
将 代入化简可得 ，
所以抛物线 在点 的切线方程为 ；
①设 ，因为抛物线 ，
所以点 处的切线方程为 ，点 处的切线为 ，
设点 ，由题意可得，点 在直线 和直线 上，
所以 ，所以直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，故 ，
令 ，解得 ，
所以直线 过定点 ；
②由题意可得 ，直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，所
以 ，
设 ，直线 的方程为 ，
联立方程 ，解得 ，
设直线 的方程为 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，
联立方程 ，解得 ，
设直线 的方程为 ，联立方程 ，消去 可得 ，
由韦达定理可得， ，
整理可得 ，
所以
，
所以 ，即 .
15．（25-26高三下·河北沧州·月考）平面直角坐标系 中，抛物线 ：
上的点到 的最小距离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 不垂直于坐标轴的直线 与 交于 ， 两点，记点 关于 轴的对称点为 .
（i）证明：直线 过定点；（ii）记 的外接圆圆心为 ，求直线 斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【分析】（1）首先设抛物线 上任意一点为 ，利用两点间距离公式表示该点到
的距离平方，转化为关于 的二次函数，根据二次函数的单调性求最小值，进
而求出 .
（2）（i）设直线 的方程为 ，与抛物线联立，利用韦达定理得到 和 ，
再写出直线 的方程，分析定点.
（ii）先求 的外接圆圆心 的坐标，再表示出直线 的斜率，结合 的取值和 的
范围求斜率范围.
【详解】（1）设抛物线 上任意一点为 .
由 得 .
则点 到点 的距离的平方为
.
令 ， .
其对称轴方程为 .①
当 ，即 时， 在 处取得最小值，即 ，
由题意知 的最小值为 ，则 ，即 .解得 或 .
因为 ，所以 .②
当 ，即 时， 在区间 上单调递增；
在 处取得最小值 ，此情况无解.
综上所述， ，故抛物线 的方程为 .
（2）
（ⅰ）由（1）知 的方程为 ，点 的坐标为 .
设直线 的方程为 .
联立直线与抛物线方程 ，即 .
设 ， ，则 ， .
由题意知点 的坐标为 ，直线 的方程为 .
因为 ， ，所以 ，
代入得直线 的斜率为 ，
整理得 ，即 ，将 代入得 ，
所以直线 恒过定点 .
（ⅱ）设 的外接圆圆心为 ，
则 到 ， ， 三点的距离相等，即 ，
由 得 ，
也即 .
因为 ，代入得
，
，
也即 .
因为点 在抛物线上，且 在 轴上，故 ，
所以 ，解得 .
同理，由 可得 .
由 ，化简得 .
因为直线 与抛物线交于两点，且构成三角形，故 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 .由 得 ，也即 ，
将 代入得 ，
则点 的轨迹方程为 （其中 ）.
设直线 的斜率为 ，则 ，所以 .
将轨迹方程代入，得 .
令 ，
，
令 .因为 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，又 ，
故当 时， ，函数 在 上单调递增，则 ，
又 ，即 ，解得 或 .
综上所述，直线 斜率的取值范围是 .
16．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆 的左顶点 ，上顶点
．
(1)求椭圆 的方程和直线 的方程；
(2)过椭圆 上异于 的点 作 轴的垂线交直线 于 点，延长 至点 ，使
，直线 交椭圆 于点 ．（i）求证：直线 的斜率之和为定值；
（ii）求 面积的最大值．
【答案】(1) ， ；
(2)（i）证明见解析；（ii） .
【分析】（1）根据给定条件，直接写出椭圆及直线方程.
（2）（i）设出直线 方程，与椭圆方程联立求出点 的坐标，进而求出点 的坐标，
再利用斜率坐标公式计算得证；（ii）由（i）求出点 坐标，进而求出三角形面积关系，
利用换元法，结合导数求出最大值.
【详解】（1）由椭圆 的左顶点 ，上顶点 ，得 ，
所以椭圆 的方程为 ，直线 的方程为 .
（2）（i）直线 斜率存在，设其方程为 ，点
由 ，得 ，则 ，
解得 ，即点 ，
直线 交直线 于点 ，
由点 是线段 的中点，得点 ，
因此直线 的斜率 ，即 ，
所以直线 的斜率之和为定值.（ii）由（i）同理得 ， ，
点 到直线 的距离 ，
则 的面积
，
显然 ， ，令 ，
，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，函数 在 上递增，在
上递减，
当 时， ，所以 面积的最大值为 .
17．（2026·湖北襄阳·一模）如图，设抛物线方程为 ，点P为直线
上任意一点，过P作抛物线的切线，切点分别为 ， ．(1)若 的坐标为 ，求证：直线 的方程为 ；
(2)已知P点的坐标为 ， ，求此时抛物线的方程；
(3)是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点D在抛物线 上，
其中点 满足 （ 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 或
(3)存在，
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）设 ，则可得 的方程为 ，结合 点坐标及 、 在抛物线
上，可得 ， 是方程 的两根，则可得与 ， 有关韦达定理，再表示
出直线 的斜率后，利用弦长公式计算即可得解；
（3）设 ，结合（1）、（2）中所得，可得 ，再利用 在抛物线
上，可得 或 ，即有 或 ，再分 及 讨论即可得.
【详解】（1）由 得 ，当 时， ，
所以 ，则 的方程为： ，
则 ，又 ，
故 ；
当 时， ，
所以 ，则 的方程为： ，
则 ，又 ，
故 ；
综上可得， ；
（2）设 ，由（1）可得 的方程为 ，
又P点的坐标为 ， ，则 ，
又 ，所以 ，同理 ，
所以 ， 是方程 的两根，
因此 ， ，又 ，
由弦长公式得 ，
化简得 ，即 ，所以 或 （负值舍去），因此所求抛物线方程为 或 ；
（3）设 ，由题意得 ，
则 的中点坐标为 ，
由（1）（2）可知：直线 的方程为 ，
由点 在直线 上， 中点 也在直线 上，
则 ， ，
作差得 ，即 ，
若 在抛物线上，则 ，
因此 或 ，即 或 ；
① 时，则 ，此时，点 适合题意；
②当 ，对于 ，此时 ， ，
又 ，由 ，所以 ，
即 ，矛盾，故不符；
对于 ，因为 ，此时直线DH平行于x轴，
又 ，所以直线 与直线 不垂直，与题设矛盾；
所以 时，不存在符合题意的P点；
综上所述，仅存在一点 适合题意.18．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线： 焦点为 ，直线 与抛物
线有且只有一个交点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设抛物线的准线与 轴交于点 ，过点 作直线 与抛物线交于 两点.
（i）若 的面积为4，求直线 的方程；
（ii）设 内切圆的半径为 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)（i） 或 ；（ii）
【分析】（1）联立直线方程 与抛物线的方程 ，得 ，
由 求得 ，从而得到抛物线的方程；
（2）（i）易得 ，设 ，代入 得， .设
，结合韦达定理，根据 的面积，求得 的值，即可得到直线 的方
程；（ii）利用三角形的面积公式，将 表示为 的函数，利用导数分析其单调性，并求得
其最大值.
【详解】（1）由 得 ，由已知可得 ，
所以抛物线方程为 ；（2）（i）抛物线 的准线方程为 ，所以 .
设 ，代入 得， ，
设 ，且 ，则 .
，所以
，
所以直线l的方程为： 或 ；
（ii）由（i）得
，
，
.
设 ，则
显然 关于m是增函数.
令 ，则 ，
两边平方，化简整理得 ，此时对应的 值满足题意.由于 关于m是递增函数， ； ，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，
所以 的最大值为 .
19．（2026·四川泸州·二模）设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于
两点（ 点在 轴上方），点 ，直线 与 的另一个交点为 ，直线 与 的
另一个交点为 ．
(1)若 的倾斜角为 ，求 ；
(2)探究直线 是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由；
(3)若线段 的中点分别为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设 ，结合抛物线关系化简出直线 的方程，由于直线过 ，代入得 ，由 的倾斜角得出斜率关系，得 ，结合抛物线定义求弦长 ；
（2）结合（1），设 ，得出 ， ， ，得出直线 所过定点；
（3）结合（1）（2），令 ，设 与 轴交于 ，逐步表示出点的坐标，
利用 得出 的表达式，换元求范围即可.
【详解】（1）设 ，
当 不与 轴垂直时，直线 的两点式方程为 ，
代入 整理得 ，
当 与 轴垂直时也符合，
故直线 的方程为 .
由于直线 过 ，代入得 ，
若 的倾斜角为 ，则 ，则 ， ，
则 .
（2）设 ，由（1）同理可得直线 的方程为 ，
由于直线 过点 ，代入得 ，
设 ，则直线 的方程为 ，
由于直线 过 ，代入得 ，
则 ，直线 的方程为 ，
即 ，过定点 .
（3）由（1）（2），令 ，则 ， ， ，
则 ， ，
， ，
设 与 轴交于 ，
直线 的两点式方程为 ，
代入得 ，
则 ，
设 ，则 ，
则 ，
由于 ，则 单调递增，
则 ，
的取值范围为 .20．（2026·河北衡水·模拟预测）已知动圆 过点 ，且与 相切，记该动圆圆心
轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)若 ，直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ，
点 在第一象限，记直线 与 的交点为 ，直线 与 的交点为 ，线段
的中点为 ．
①证明： 三点共线；
②若 ，过点 作 的平行线，分别交线段 于点 ，记 与
的面积分别为 和 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②16
【分析】（1）设 ，根据题目条件列式化简可得轨迹；
（2）①设线段 的中点为 ，利用向量证明 ， ， 三点共线，同理可证 ， ，
三点共线，进而可得结论；
②将 转化为四边形 面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线
和直线 的方程，则可求出 坐标，然后利用面积公式 求解最值即
可.【详解】（1）已知圆 过点 ，且与 相切，所以圆心 到点 与点 到直
线 的距离相等，
根据抛物线的定义可知，圆心 的轨迹为抛物线，且点 为焦点，直线 为准线.
设抛物线方程为 ，则 ，所以 ，故 .
所以曲线 的方程为 .
（2）①设线段 的中点为 ，
因为 ，所以可设 ， ,
因为
所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线，
所以G，E，H三点共线．
②设 ， ， ， ， 中点为 ， 中点为 ，
将 代入 得： ，所以 ， ，
所以 ，
同理 ， ， （ 均在定直线 上）
因为 ，所以 与 面积相等， 与 面积相等；
所以 等于四边形 的面积，设 ， ，
直线 ： ，即
整理得，直线 ： ，又 ，所以 ，
同理，直线 ： ，又 ，所以 ，
所以
所以四边形 面积
，
当且仅当 ，即 ，即 时取等号，
所以四边形 面积的最大值为16，即 的最大值为16.
21．（2025·浙江宁波·一模）已知椭圆 的离心率为 ，
是 上的点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆 在 轴上方部分于 ， 两点.
（i）求 面积的最大值；
（ii）过 延长线上的点 作椭圆 的两条切线 ， ，若 与 交于点 ， 与 交于点 ，求证：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得 ，即可得椭
圆方程；
（2）（i）设DE的方程为 ，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出 ，
利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出 面积，利用基本不等式即可
求得 面积的最大值；
（ii）设 ，设出过点 的椭圆 的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，
由相切得 ，再设 ，与切线方程联立，表示出点 ，点 的横坐标，再
由则 ，化简可得 ，可得直线MN过定点 .
【详解】（1）已知椭圆 的离心率为 ， 是 上的点.
则 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）（i）显然当DE与 轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补，
设DE的方程为： ，设 ，联立 ,消x得： ，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
代入得： ，
所以 ，即直线DE过定点 .
所以 ， ，
所以 ，
又T到DE的距离为 ，
所以 ，当 时取等号.
即 面积的最大值为 ；
（ii）设 ，设过点 的椭圆 的两条切线为 ， ，
联立 ，
得 ，
由相切得 ，化简得 ，所以 ， ，
设 ，联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ，
则 ，化简得： ，
所以直线MN过定点 .
22．（2025·山东济南·一模）已知双曲线 的离心率为 ，点
为坐标原点，过 的右焦点的直线 交 的右支于 两点，当 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)过点 作直线 的垂线，垂足为 .
①证明：直线 过定点；
②求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得 ，结合已知令 ，代
入双曲线求参数值，即可得方程；
（2）①设 ，则 ，设 ，联立双曲线并应用韦达定理，
结合直线 、双曲线对称性确定定点位置并得到 ，再作化简求值，即可得定
点坐标；
②应用三角形面积公式、弦长公式，结合 求面积的最小值.
【详解】（1）由题可知 ，
则 ，
由 轴时， ，可令 ，
代入双曲线得 ，
解得 ，
则所求方程为 ；
（2）①证明：设 ，则 ，
由 斜率不为0，可设 ，
联立双曲线并整理得 ，
则 ， ，
所以 ，
由 ，直线 ，
根据双曲线的对称性，直线 所过定点必在 轴上，
令 ，则 ，解得 ，因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，则 ，
所以 过定点 ；
② ，
由①得 ，解得 ，
令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，当 时取等号，
所以 的最小值为 .
