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2026 届高考压轴题冲刺演练（一）
立体几何
一、解答题
1．（2026·福建·二模）已知 平面 ，垂足为 ，直线 ， 是 内的动点，
且 始终在 的两侧．
(1)若 ，证明： 是锐角三角形；
(2)若 ， 是线段 上靠近 的三等分点， ．
（i）证明：二面角 为锐角；
（ii）直线 与 所成的角分别为 ，记 ．若平面 ，且
不是任何一个长方体的截面，求 的最小值．
2．（2026·河北保定·一模）某个圆锥容器的轴截面是边长为8的等边三角形（容器壁厚度
忽略不计），一个半径为r的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的
区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为 和 ，如图所示．
(1)求圆台 的体积（用r表示）；
(2)设小球半径 ，圆台 的轴截面为等腰梯形 ，B为底面圆周上一点，且，平面 平面 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值的
取值范围；
(3)在第（2）问条件下的圆台 内放置若干个小球，要求每个小球均和该圆台上、下底
面相切，则最多能放几个小球，并说明理由．
3．（25-26高三下·安徽·月考）如图，在 中， .将
以 为轴旋转至 ，动点 与原来的 形成三棱锥 ，点 在棱
上，且 .
(1)证明： 平面 .
(2)记二面角 为 ，二面角 为 .
（i）证明： 为定值；
（ii）当 取最大值时，求 .
4．（2026·湖南怀化·一模）如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，侧面
是等边三角形， ，二面角 的平面角大小为
为 的中点.(1)设平面 平面 ，求直线 与直线 的夹角大小；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值；
(3)设 为侧棱 上一点，四边形 是过 两点的截面，分别交 于 两
点，其中 为 的中点， 平面 ，求四棱锥 的体积的取值范围.
5．（2026·福建泉州·一模）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程
是：从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小
三角形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体
执行上述操作，最终得到科赫四面体.
现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为 的正四面体经
过持续重复上述操作得到的.记第 次操作后生成的几何体为 ，设 的表面积为 ，体
积为 .
(1)求 ；
(2)在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.
根据比表面积 随 的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因.
(3)是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若
不存在，请说明理由.
6．（25-26高三下·湖南·月考）如图，锐二面角 的大小为γ，α，β均为半平面，
，过A作 垂直于 ，垂足为 过B作 垂直于 ，垂足为 ，且(1)若 ，求γ的值；
(2)在(1)的条件下，设 P为 内任意一点，且 ，满足 ，求
点 P到 的距离；
(3)设点 M为二面角 内部的一个点，且 ， ，且点 M满足:
① ；
② 与 所成的角为 ，射线 与 所成的角为 设点M到直
线. 的距离为 ，若对满足上述条件的任意 和 ，均有 恒成立，求 的
最小值.
7．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
， ， ， 为 的中点， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)点 为底面 所在平面内一点，且 ．
（ⅰ）若点 在两平行直线 与 之间，设平面 和平面 的夹角为 ，求的最大值；
（ⅱ）已知 ， ， ， ， 在同一球面上，设该球的球心为 ，证明：球心 在平面
上，并判断是否存在点E在球 的球面上，请说明理由．
8．（2026·四川凉山·二模）如图，在三棱柱 中， ， ，
二面角 的平面角为 ，点 在平面 上的射影为点 .
(1)若四边形 是矩形，求 ；
(2)若 ， .
①若 ，求直线 与平面 所成角的最大值；
②当点 在其轨迹上运动时，点 的轨迹是离心率为 的圆锥曲线，记数列 的前
项和为 ，若 ，求 的最小值.
9．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在平行六面体 中，三棱锥
是底面边长为 的正三棱锥.(1)证明：四边形 是矩形；
(2)已知 .
（i）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（ii）若点 、 、 、 都在球 的表面上，求球 的表面积.
10．（2026·江苏·二模）一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图
形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱 中，椭圆
的长轴长为4，短轴长为 是椭圆 上关于 对称的两点， 是椭圆
上关于 对称的两点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与底面所成角的正弦值；
(3)求四面体 的内切球半径的最小值．
11．（2026·四川宜宾·一模）在四棱锥 中，四边形 为矩形， 为锐角
三角形， ， ， ， 为棱 的中点，平面 与平面
的交线为 ，直线 与 相交于点 ．(1)求线段 长度的最小值；
(2)若异面直线 与 所成角为 ．
（ⅰ）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥 的外接球的表面积．
12．（2026·湖北恩施·二模）如图，四面体 中， 是
的中点．若 是点 在平面 内的投影，存在实数 满足
．
(1)（i）求 的值；
（ii）若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，异面直线 与 所成角为 ，记四面体 外接球的半径为 ，求
证：当 取最小值时， ．
13．（2026·山东烟台·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，
， ，(1)证明： ；
(2)若点 在底面 内的正投影为 的中点．
（i）当 为何值时，平面 与平面 夹角的余弦值最大？
（ii）设平面 与 交于点 ；在平面 内，过 作 的平行线交 于点 ，
设平面 与 交于点 ：在平面 内，过 作 的平行线交 于点 ，设平
面 与 交于点 ；依次类推，…，设平面 与 交于点 ，求
．
14．（2026·福建福州·模拟预测）如图1，圆内接四边形 中， 为等腰直角三
角形，且 ， ， .
(1)求 的长；
(2)如图2，将 沿 翻折，形成四面体 ，当 时，
（i）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（ii）找出一组依次排列的四个相互平行的平面 ， ， ， 使得 ， ，， ，且其中每相邻两个平面间的距离都相等，并求出相邻两个平面间的距离.
15．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知七面体 中的三个面都是平行四边
形，其余四个面都是三角形，如图所示，
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 平面 ，
（i）求直线 与平面 所成角的余弦值；
（ii）将 以 为折痕进行翻折得到 ，且 平面 .在翻折的过程中，
棱 与棱 所形成的曲面与平面 所围成的图形记为 ，记 的内切球体积为 ，
七面体 的体积为 ，求 的值.
16．（2026·山东威海·一模）在如图所示的圆柱中，AB，DC分别是下底面圆 、上底面
圆 的直径，AD，BC是圆柱的母线，过直线BD且与平面ABCD垂直的平面记为 ，平
面 与该圆柱侧面的交线记为 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)已知 为下底面圆周上的一点，当 时，求平面 与平面 所成角的正弦值；
(3)将圆柱沿母线BC剪开，并展开为如图所示的平面图形，在平面展开图中，以 为原点，
以 的方向分别为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系，求 的平面展开曲线
的方程．
17．（24-25高三下·贵州遵义·月考）如图1，在 中， ， ， 为
的中点，现将 及其内部以边 为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，
点 为点 在旋转过程中形成的圆的圆心，点 为圆 上任意一点.
(1)求新的几何体的体积；
(2)记 与底面 所成角为 ，求 的取值范围；
(3)当 时，求点 到平面 的距离.
18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，点
在底面 （不含边界）上的射影为点 ，且 ，设直线 与平面 所成
角为 ，直线 与平面 所成角为 ．
(1)已知 ．
（i）证明： 的面积为定值；（ii）若平面 平面 ，求四棱锥 外接球的表面积；
(2)若 ，判断是否存在点 ，使得 平面 ．
