文档文本内容
专题26 立体几何解答题综合（一）
（空间中的平行关系与垂直关系）
（七大考点，76 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 证明线面
平行
2026 全国一卷/北京、2025 全国
二/北京、2024 全国甲/天津/新课
标Ⅰ/上海、2023 全国乙/天津/上
海、2022 全国甲/北京、2021 浙
江/新高考Ⅱ、2020 北京、2019 全
国Ⅰ/天津/江苏、2018 江苏/北
京、2017 天津/浙江/全国Ⅱ
1.立体大题第一问高频基础证明，
属于必拿分题型。
2.核心方法：中位线平行、平行四
边形、面面平行推线面平行。
3.几何体载体：棱柱、棱锥、棱
台、折叠多面体，证明后常搭配线
面角、二面角、点到距离计算。
考点02 线面平行
的性质定理
2020 全国Ⅱ、2017 北京
1.中档衍生证明，考查平行性质逆
向运用。
2.核心：线面平行则线与交线平
行，用于判定线段中点、构造平行
截面。
3.常结合四棱锥、三棱柱载体，衔
接体积计算。
考点03 面面平行
的判定及性质
2026 天津、2025 天津、2023 北
京、2020 海南、2019 北京/全国
Ⅱ、2018 北京/浙江、2017 天津
1.常规平行类大题，判定需两组相
交线分别平行。
2.考法：证明两面平行、利用面面
平行推线线/线面平行。
3.后续配套二面角、三棱锥体积求
解。
考点04 线面垂直
的判定
2023 上海、2025 上海、2020 山东
1.垂直体系基础证明，核心判定：
直线垂直平面内两条相交直线。
2.载体多为圆锥、折叠几何体，证
明后求解线面角。
考点05 线面垂直
的性质
2026 全国二、2024 上海/新课标
Ⅱ、2023 新课标Ⅱ、2022 浙江/全
国甲、2021 全国甲、2017 全国Ⅲ
1.由垂直推导线线垂直的核心工
具。
2.考法：已知线面垂直，证直线垂
直平面内任意直线；常用于二面角
找垂线。
考点06 面面垂直
的判定
2025 全国一卷、2023 全国甲、
2022 全国乙、2021 新高考Ⅱ/全国
乙、2020 全国Ⅰ/江苏、2019 全国
1.高考立体大题高频垂直证明，判
定定理：一个平面过另一平面一条
垂线。
Ⅲ、2018 全国Ⅰ/Ⅲ、2017 全国
Ⅰ/Ⅲ
2.载体含棱锥、棱柱、折叠图形，
是建立空间直角坐标系的重要条
件。
3.证明后多考查二面角、线面角、
几何体体积。
考点07 面面垂直
的性质
2025 上海、2020 浙江、2019 浙
江、2021 新高考Ⅰ
1.大题关键解题工具，由面面垂直
作垂线建系。
2.核心：两面垂直，在一面内作交
线垂线，则垂直另一平面。
3.多用于找点到平面距离、求解二
面角与体积。
考点01 证明线面平行
1. （2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分
别为
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)设
，直线
与平面
所成的角为
，求直线
到平面
的距离．
2. （2026·北京·高考真题）已知直三棱柱
，
，
，
，
、
分别为
、
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)点
在平面
内，且
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
得
唯一确定，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
①
；
②
；
③
平面
．
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分．
3. （2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点E
在AB 上，
，
.将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成的二面角为
．
(1)证明：
平面
；
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值．
4. （2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，E 为BC 的中点．
(1)若
分别为
的中点，求证：
平面PAB；
(2)若
平面ABCD，
，求直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值．
5. （2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
6. （2024·全国甲卷·高考真题）如图，
，
，
，
,
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到
的距离.
7. （2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边
形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
8. （2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
9. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
10. （2023·上海·高考真题）在直四棱柱
中，
，
，
，
，
(1)求证：
平面
；
(2)若四棱柱
体积为36，求二面角
大小.
11. （2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
．
(1)求证：
//平面
；
(2)若
，求三棱锥
的体积．
12. （2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
的正弦值.
13. （2023·天津·高考真题）如图，在三棱台
中，
平面
，
为
中点.，N 为AB 的中点，
(1)求证：
//平面
；
(2)求平面
与平面
所成夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
14. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
15. （2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面
是边长为8（单位：
）的正方形，
均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面
垂直．
(1)证明：
平面
；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
16. （2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，M，N 分别为
，AC 的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17. （2020·北京·高考真题）如图，在正方体
中， E 为
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
18. （2019·全国I 卷·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，
∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N 的正弦值．
19. （2019·全国I 卷·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，
∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C 到平面C1DE 的距离．
20. （2019·天津·高考真题） 如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为等边三角
形，平面
平面
，
，
，
，
（Ⅰ）设
分别为
的中点，求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
21. （2019·江苏·高考真题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
22. （2018·江苏·高考真题）在平行六面体
中，
,
．
求证：（1）
；
（2）
．
23. （2018·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，平面
平面
，
，
，
、
分别为
、
的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）求证：
平面
.
24. （2017·天津·高考真题）如图，在三棱锥
中，
底面
，
．点
，
，
分
别为棱
，
，
的中点，
是线段
的中点，
，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）已知点
在棱
上，且直线
与直线
所成角的余弦值为
，求线段
的长．
25. （2017·浙江·高考真题）如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC AD
∥
，CD AD
⊥
，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.
（I）证明：CE∥平面PAB；
（II）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值
26. （2017·全国II 卷·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2 的等边三角形且垂直于
底面
，
是
的中点．
（1）证明：直线
平面
；
（2）点
在棱
上，且直线
与底面
所成角为
，求二面角
的余弦值．
27. （2017·全国II 卷·高考真题）四棱锥
中，侧面
为等边三角形且垂直于底面
,
（1）证明：直线
平面
;
（2）若△
面积为
，求四棱锥
的体积.
28. （2017·江苏·高考真题）如图，在三棱锥ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，
F(E 与A，D 不重合)分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
考点02 线面平行的性质定理
1. （2020·全国II 卷·高考真题）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是矩形，
M，N 分别为BC，B1C1的中点，P 为AM 上一点．过B1C1和P 的平面交AB 于E，交AC 于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O 为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=
，求四棱锥B–EB1C1F 的体积．
2. （2017·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，平面
平面
，
点
在线段
上，
平面
，
，
．
（1）求证：
为
的中点；
（2）求二面角
的大小；
（3）求直线
与平面
所成角的正弦值．
考点03 面面平行的判定及性质
1. （2026·天津·高考真题）在长方体
中，
，
，
，
，
．
(1)求证：
面
；
(2)求面
与面
的夹角的余弦值；
(3)求三棱锥
的体积．
2. （2025·天津·高考真题）正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求三棱锥
的体积．
3. （2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
(1)求证：
平面PAB；
(2)求二面角
的大小．
4. （2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PD
底面ABCD．设平面PAD 与平
面PBC 的交线为．
（1）证明：
平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q 为上的点，QB=
，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．
5. （2019·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，底部ABCD 为菱形，E 为
CD 的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
6. （2019·北京·高考真题）如图，在四棱锥P–ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，
PA=AD=CD=2，BC=3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P 的余弦值；
（Ⅲ）设点G 在PB 上，且
．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．
7. （2019·全国II 卷·高考真题）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，
BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥
的体积．
8. （2018·北京·高考真题）如图，在三棱柱ABC−
中，
平面ABC，D，E，F，G 分别为
，
AC，
，
的中点，AB=BC=
，AC=
=2．
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；
（3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．
9. （2018·浙江·高考真题）如图，已知多面体
均垂直于平面
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
10. （2018·全国II 卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）若点
在棱
上，且
，求点
到平面
的距离．
11. （2018·全国II 卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）若点
在棱
上，且二面角
为
，求
与平面
所成角的正弦值．
12. （2017·天津·高考真题）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
.
（I）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（II）求证：
平面
；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
考点04 线面垂直的判定
1. （2023·上海·高考真题）已知三棱锥
中，
平面
为
中
点，过点
分别作平行于平面
的直线交
于点
.
(1)求直线
与平面
所成的角的正切值；
(2)证明：平面
平面
，并求直线
到平面
的距离.
2. （2025·上海·高考真题）如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且
．
(1)若直线PA 与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为
，
．设点M 在线段OC
上，证明：直线
平面PBD．
3. （2020·山东·高考真题）已知点
，
分别是正方形
的边
，
的中点.现将四边形
沿
折起，使二面角
为直二面角，如图所示.
（1）若点
，
分别是
，
的中点，求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
考点05 线面垂直的性质
1. （2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥
中，点
在
上，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若
，
，
，
．求直线
与平面
所成角的正弦值．
2. （2024·上海·高考真题）如图，
、
、
为圆锥三条母线，
.
(1)证明:
；
(2)若圆锥侧面积为
为底面直径，
，求二面角
的大小
3. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
4. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
5. （2022·浙江·高考真题）如图，已知
和
都是直角梯形，
，
，
，
，
，
，二面角
的平面角为
．设M，N 分别为
的
中点．
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
6. （2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥
中，
底面
．
(1)证明：
；
(2)求PD 与平面
所成的角的正弦值．
7. （2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，
F 分别为
和
的中点，
.
（1）求三棱锥
的体积；
（2）已知D 为棱
上的点，证明：
.
8. （2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，
F 分别为
和
的中点，D 为棱
上的点．
（1）证明：
；
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
9. （2017·全国III 卷·高考真题）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体
ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
考点06 面面垂直的判定
1. （2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥
中，
底面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，且点
，
，
，
均在球
的球面上．
（i）证明：点
在平面
内；
（ⅱ）求直线
与
所成角的余弦值．
2. （2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱
中，
平面
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，求四棱锥
的高．
3. （2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱
中，
底面ABC，
，
到平面
的距离为1．
(1)证明：
；
(2)已知
与
的距离为2，求
与平面
所成角的正弦值．
4. （2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体
中，
，E 为AC 的
中点．
(1)证明：平面
平面ACD；
(2)设
，点F 在BD 上，当
的面积最小时，求三棱锥
的体积．
5. （2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体
中，
，E 为
的
中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，点F 在
上，当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正
弦值．
6. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在四棱锥
中，底面
是正方形，若
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
7. （2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，M 为
的中
点，且
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，求四棱锥
的体积．
8. （2020·江苏·高考真题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F 分别是AC，B1C 的
中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
9. （2020·全国I 卷·高考真题）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
是底面的内接正三
角形，
为
上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=
，圆锥的侧面积为
，求三棱锥P−ABC 的体积.
10. （2020·全国II 卷·高考真题）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是矩形，
M，N 分别为BC，B1C1的中点，P 为AM 上一点，过B1C1和P 的平面交AB 于E，交AC 于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O 为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E 与平面A1AMN 所成角的正弦
值.
11. （2019·全国III 卷·高考真题）图1 是由矩形
和菱形
组成的一个平面图形，其中
，
，将其沿
折起使得
与
重合，连结
，如图2.
（1）证明图2 中的
四点共面，且平面
平面
；
（2）求图2 中的四边形
的面积.
12. （2018·全国I 卷·高考真题）如图，在平行四边形
中，
，
，以
为折
痕将△
折起，使点
到达点
的位置，且
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）
为线段
上一点，
为线段
上一点，且
，求三棱锥
的体积．
13. （2018·全国I 卷·高考真题）如图，四边形
为正方形，
分别为
的中点，以
为折痕
把
折起，使点
到达点
的位置，且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求
与平面
所成角的正弦值.
14. （2018·全国III 卷·高考真题）如图，矩形
所在平面与半圆弧
所在平面垂直，
是
上异于
，
的点．
（1）证明：平面
平面
；
（2）在线段
上是否存在点
，使得
平面
？说明理由．
15. （2017·全国III 卷·高考真题）（2017 新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，
△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C
的余弦值.
16. （2017·全国I 卷·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD，且
.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，
，求二面角A−PB−C 的余弦值.
17. （2017·全国I 卷·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，
，且四棱锥
的体积为
，求该四棱锥的侧面积．
18. （2017·北京·高考真题）如图，在三棱锥P－ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D
为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE 时，求三棱锥E－BCD 的体积．
考点07 面面垂直的性质
1. （2025·上海·高考真题）在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，
(1)若O 是棱
的中点，证明：
平面
，并求三棱锥
的体积；
(2)求二面角
的大小．
2. （2020·浙江·高考真题）如图，三棱台ABC—DEF 中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，
DC =2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．
3. （2019·浙江·高考真题）如图，已知三棱柱
，平面
平面
,
，
分别是
的中点.
（1）证明：
；
（2）求直线
与平面
所成角的余弦值.
4. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点.
（1）证明：
；
（2）若
是边长为1 的等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
的大小为
，
求三棱锥
的体积.
