文档文本内容
专题27 立体几何解答题综合（二）
（空间角、体积、距离的计算）
（五大考点，76 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 异面直线
所成角
2025 全国一卷、2019 上海、2018
天津、2017 天津
1.立体几何常规计算小问，常搭配
平行垂直证明一同出现。
2.解法：几何平移法、空间向量夹
角公式，求解余弦值。
3.载体：四棱锥、四面体、正三棱
锥，常作为第二小问基础计算。
考点02 线面角
2026 全国二/上海、2025 北京、
2024 上海、2023 全国甲/上海、
2022 上海/浙江/全国甲、2021 浙
江/全国乙、2020 山东/北京/浙
江、2019 天津、2017 浙江/上海
1.高考立体大题高频计算题型，属
于必考小问。
2.核心思路：找直线在平面内投
影，或向量法求线面角正弦。
3.几何体涵盖棱锥、棱柱、棱台、
圆柱、折叠几何体。
考点03 面面角
（二面角）
2026 全国二、2025 全国二、2024
新课标Ⅰ/甲/天津/北京/上海、
2023 全国乙/天津/上海/新课标
Ⅰ/Ⅱ、2022 天津/新高考Ⅰ/Ⅱ、
2021 天津/全国甲/乙/新高考Ⅱ、
2020 全国Ⅲ/海南、2019 全国
Ⅱ/Ⅲ、2018 全国Ⅰ/Ⅲ、2017 山
东/全国Ⅰ/Ⅲ
1.立体几何大题核心压轴计算，分
值占比高。
2.方法：几何找平面角、空间向量
法求余弦/正弦。
3.题型含普通二面角、翻折形成二
面角、棱台棱柱二面角。
考点04 体积的计
算
2026 天津/上海、2025 天津/上
海、2023 全国乙、2022 上海/全国
甲、2021 上海/全国甲/乙、2020
全国Ⅰ/Ⅱ、2019 上海/全国Ⅱ、
2018 全国Ⅰ、2017 北京/全国
Ⅱ/Ⅲ
1.稳定高频考点，第一、三小问均
可能出现。
2.常用公式：棱锥V = 1
3 Sh、等体
积转换、割补法。
3.载体：棱锥、棱柱、旋转体、折
叠包装盒组合几何体。
考点05 距离的计
算
2026 全国一卷、2024 全国甲/天
津、2023 全国甲、2022 新高考
Ⅰ、2019 全国Ⅰ、2018 全国Ⅱ
1.中档计算题型，主要考点到平面
距离。
2.解法：等体积法、空间向量距离
公式。
3.常和线面平行、二面角配套设
问。
考点01 异面直线所成角
1. （2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥
中，
底面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，且点
，
，
，
均在球
的球面上．
（i）证明：点
在平面
内；
（ⅱ）求直线
与
所成角的余弦值．
2. （2019·上海·高考真题）如图，在正三棱锥
中，
（1）若
的中点为
，
的中点为
，求
与
的夹角；
（2）求
的体积.
3. （2018·天津·高考真题）如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M
为棱AB 的中点，AB=2，AD=
，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
4. （2017·天津·高考真题）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
.
（I）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（II）求证：
平面
；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
考点02 线面角
5. （2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥
中，点
在
上，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若
，
，
，
．求直线
与平面
所成角的正弦值．
6. （2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台
，其中
，
.
(1)当
时，求
和平面
所成角；
(2)证明：
平面
；若棱台高为3，求三棱锥
的体积.
7. （2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥
为底面
的中心．
(1)若
，求
绕
旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的大小．
8. （2023·上海·高考真题）已知三棱锥
中，
平面
为
中
点，过点
分别作平行于平面
的直线交
于点
.
(1)求直线
与平面
所成的角的正切值；
(2)证明：平面
平面
，并求直线
到平面
的距离.
9. （2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱
中，
底面ABC，
，
到平面
的距离为1．
(1)证明：
；
(2)已知
与
的距离为2，求
与平面
所成角的正弦值．
10. （2022·上海·高考真题）如图，在圆柱
中，底面半径为，
为圆柱
的母线.
(1)若
，
为
的中点，求直线
与底面的夹角大小；
(2)若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
11. （2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，E 为BC 的中点．
(1)若
分别为
的中点，求证：
平面PAB；
(2)若
平面ABCD，
，求直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值．
12. （2020·山东·高考真题）已知点
，
分别是正方形
的边
，
的中点.现将四边形
沿
折起，使二面角
为直二面角，如图所示.
（1）若点
，
分别是
，
的中点，求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
13. （2020·上海·高考真题）已知边长为1 的正方形ABCD，沿BC 旋转一周得到圆柱体.
（1）求圆柱体的表面积；
（2）正方形ABCD 绕BC 逆时针旋转
到
，求
与平面ABCD 所成的角.
14. （2020·北京·高考真题）如图，在正方体
中， E 为
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
15. （2022·浙江·高考真题）如图，已知
和
都是直角梯形，
，
，
，
，
，
，二面角
的平面角为
．设M，N 分别为
的
中点．
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
16. （2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体
中，
，E 为
的
中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，点F 在
上，当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正
弦值．
17. （2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，M，N 分别为
的中点，
.
（1）证明：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
18. （2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
，
为
的中点，且
．
（1）求
；
（2）求二面角
的正弦值．
19. （2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥
中，
底面
．
(1)证明：
；
(2)求PD 与平面
所成的角的正弦值．
20. （2020·浙江·高考真题）如图，三棱台ABC—DEF 中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，
DC =2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．
21. （2020·全国II 卷·高考真题）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是矩形，
M，N 分别为BC，B1C1的中点，P 为AM 上一点，过B1C1和P 的平面交AB 于E，交AC 于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O 为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E 与平面A1AMN 所成角的正弦
值.
22. （2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PD
底面ABCD．设平面PAD 与平
面PBC 的交线为．
（1）证明：
平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q 为上的点，QB=
，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．
23. （2019·天津·高考真题） 如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为等边三角
形，平面
平面
，
，
，
，
（Ⅰ）设
分别为
的中点，求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
24. （2017·上海·高考真题）如图，直三棱柱
的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分
别为4 和2，侧棱
的长为5.
（1）求三棱柱
的体积；
（2）设M 是BC 中点，求直线
与平面
所成角的大小.
25. （2017·浙江·高考真题）如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC AD
∥
，CD AD
⊥
，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.
（I）证明：CE∥平面PAB；
（II）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值
考点03 面面角
26. （2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点E
在AB 上，
，
.将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成的二面角为
．
(1)证明：
平面
；
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值．
27. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
28. （2023·上海·高考真题）在直四棱柱
中，
，
，
，
，
(1)求证：
平面
；
(2)若四棱柱
体积为36，求二面角
大小.
29. （2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
的正弦值.
30. （2023·天津·高考真题）如图，在三棱台
中，
平面
，
为
中点.，N 为AB 的中点，
(1)求证：
//平面
；
(2)求平面
与平面
所成夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
31. （2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，
F 分别为
和
的中点，D 为棱
上的点．
（1）证明：
；
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
32. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点.
（1）证明：
；
（2）若
是边长为1 的等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
的大小为
，
求三棱锥
的体积.
33. （2020·全国III 卷·高考真题）如图，在长方体
中，点
分别在棱
上，且
，
．
（1）证明：点
在平面
内；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
34. （2024·上海·高考真题）如图，
、
、
为圆锥三条母线，
.
(1)证明:
；
(2)若圆锥侧面积为
为底面直径，
，求二面角
的大小
35. （2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
36. （2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边
形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
37. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
38. （2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
(1)求证：
平面PAB；
(2)求二面角
的大小．
39. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
40. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
41. （2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱
中，
，点D、E、F 分别为
的中点，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值．
42. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
43. （2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD
的中点．
（I）求证：
平面
；
（II）求直线
与平面
所成角的正弦值．
（III）求二面角
的正弦值．
44. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在四棱锥
中，底面
是正方形，若
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
45. （2021·北京·高考真题）如图：在正方体
中，
为
中点，
与平面
交于点
．
（1）求证：
为
的中点；
（2）点
是棱
上一点，且二面角
的余弦值为
，求
的值．
46. （2020·天津·高考真题）如图，在三棱柱
中，
平面
，
，点
分别在棱
和棱
上，且
为棱
的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
47. （2020·江苏·高考真题）在三棱锥A—BCD 中，已知CB=CD=
,BD=2，O 为BD 的中点，AO⊥平面
BCD，AO=2，E 为AC 的中点．
（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；
（2）若点F 在BC 上，满足BF=
BC，设二面角F—DE—C 的大小为θ，求sinθ 的值．
48. （2019·全国II 卷·高考真题）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，
BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
49. （2017·山东·高考真题）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直
线为旋转轴旋转120°得到的，G 是
的中点.
(1)设P 是
上的一点，且AP BE
⊥
，求∠CBP 的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2 时，求二面角E－AG－C 的大小.
考点04 体积的计算
50. （2026·天津·高考真题）在长方体
中，
，
，
，
，
．
(1)求证：
面
；
(2)求面
与面
的夹角的余弦值；
(3)求三棱锥
的体积．
51. （2026·上海·高考真题）已知四棱锥
，底面
为矩形，
底面
，垂足
在
边上，且
，
，
．
(1)求证：
；
(2)若四棱锥
的体积为
，求二面角
的大小．
52. （2025·天津·高考真题）正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求三棱锥
的体积．
53. （2025·上海·高考真题）如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且
．
(1)若直线PA 与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为
，
．设点M 在线段OC
上，证明：直线
平面PBD．
54. （2025·上海·高考真题）在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，
(1)若O 是棱
的中点，证明：
平面
，并求三棱锥
的体积；
(2)求二面角
的大小．
55. （2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
．
(1)求证：
//平面
；
(2)若
，求三棱锥
的体积．
56. （2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O 为AC 边中点，且
底面ABC，
(1)求三棱锥P-ABC 的体积；
(2)若M 为BC 中点，求PM 与平面PAC 所成角大小（结果用反三角数值表示）.
57. （2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体
中，
，E 为AC 的
中点．
(1)证明：平面
平面ACD；
(2)设
，点F 在BD 上，当
的面积最小时，求三棱锥
的体积．
58. （2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面
是边长为8（单位：
）的正方形，
均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面
垂直．
(1)证明：
平面
；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
59. （2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，
F 分别为
和
的中点，
.
（1）求三棱锥
的体积；
（2）已知D 为棱
上的点，证明：
.
60. （2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，M 为
的中
点，且
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，求四棱锥
的体积．
61. （2021·上海·高考真题）四棱锥
，底面为正方形
，边长为4，
为
中点，
平
面
.
（1）若△
为等边三角形，求四棱锥
的体积；
（2）若
的中点为
，
与平面
所成角为45°，求
与
所成角的大小.
62. （2020·全国I 卷·高考真题）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
是底面的内接正三
角形，
为
上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=
，圆锥的侧面积为
，求三棱锥P−ABC 的体积.
63. （2020·全国II 卷·高考真题）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是矩形，
M，N 分别为BC，B1C1的中点，P 为AM 上一点．过B1C1和P 的平面交AB 于E，交AC 于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O 为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=
，求四棱锥B–EB1C1F 的体积．
64. （2019·全国II 卷·高考真题）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，
BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥
的体积．
65. （2018·全国I 卷·高考真题）如图，在平行四边形
中，
，
，以
为折
痕将△
折起，使点
到达点
的位置，且
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）
为线段
上一点，
为线段
上一点，且
，求三棱锥
的体积．
66. （2017·全国III 卷·高考真题）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体
ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
67. （2017·全国I 卷·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，
，且四棱锥
的体积为
，求该四棱锥的侧面积．
68. （2017·北京·高考真题）如图，在三棱锥P－ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D
为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE 时，求三棱锥E－BCD 的体积．
69. （2017·全国II 卷·高考真题）四棱锥
中，侧面
为等边三角形且垂直于底面
,
（1）证明：直线
平面
;
（2）若△
面积为
，求四棱锥
的体积.
考点05 距离的计算
70. （2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分
别为
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)设
，直线
与平面
所成的角为
，求直线
到平面
的距离．
71. （2024·全国甲卷·高考真题）如图，
，
，
，
,
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到
的距离.
72. （2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
73. （2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱
中，
平面
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，求四棱锥
的高．
74. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱
的体积为4，
的面积为
．
(1)求A 到平面
的距离；
(2)设D 为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的正弦值．
75. （2019·全国I 卷·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，
∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C 到平面C1DE 的距离．
76. （2018·全国II 卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）若点
在棱
上，且
，求点
到平面
的距离．
