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2026 届高考压轴题冲刺演练（二）
数列
1．（25-26高三下·江西·月考）已知数列 的前 项和为 ，且长为 ，宽为 的矩形
的周长为 .
(1)求 、 ；
(2)求 的通项公式；
(3)已知数列 的前 项和为 ，证明： .
2．（2026·安徽滁州·一模）在数列 中， ，若存在自然数 ，使得对于任意正整数
n，数列 是以 为公差的等差数列，则称 为“ 组差数
列”．
(1)若 ，判断 是不是“ 组差数列”，并说明理由．
(2)若 是“ 组差数列，且 为定值，证明： ．
(3)记 的前n项和为 ，且 为“ 组差数列”，证明：存在常数C，使得
恒成立．
3．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知数列 的前n项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，若 ，求 的取值范围；(3)请比较 与 的大小，并说明理由．
4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知数列 ， 满足 是公差为2的等
差数列， 是首项为4的等比数列，且 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和；
(3)是否存在两个不同的正整数 ， ，使得 可以按某种顺序构成一个新的等差
数列？如果存在，求出所有的 ， ；如果不存在，请说明理由．
5．（2025·广东广州·一模）已知数列 的前n项和为 ，且满足
，又知 ， ．
(1)求 ， ；
(2)求 的通项公式；
(3) ，求 的前n项和 ．
6．（2026·天津河北·一模）对于数列 ，如果存在一个正整数m，使得对任意的
都有 成立，那么就把这样一类数列 称作周期为m的周期数列，m的
最小值称作数列 的最小正周期，以下简称周期．
(1)设数列 满足 ， ， ，且数列 是周期为3的周期
数列，求常数 的值；(2)设数列 的前n项和为 ，且 ．若 ，试判断数列 是否为周
期数列，并说明理由；
(3)设数列 满足 ， ， ， ，数列 的前n项
和为 ，试问是否存在p，q，使对任意的 ，都有 成立，若存在，求出p，
q的取值范围；若不存在，说明理由．
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）线性反馈移位寄存器是现代通信应用中的关键技术，利用
它进行简单的逻辑运算和移位操作能生成伪随机序列，因而被广泛用于干扰码、加密和同
步等场景．某线性反馈移位寄存器通过以下规则生成由0和1组成的序列：
①初始设置：前三位为 ；
②生成规则：从第4位开始，计算公式为 其中 是正整数．
(1)求数列 的前6项；
(2)设 ，求 的通项公式；
(3)设 ，求 的值．
8．（2025·福建厦门·三模）已知数列 的前项和为 ， ，且 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，
（i）求数列 的前 项和；
（ii）当 时，设集合 ，集
合 中所有元素的和记为 ，求数列 的通项公式.9．（2026·河北衡水·模拟预测）设 是正整数，有穷整数列 ：
. 若存在正整数 满足： ，
恒成立，则称 为 数列，数列 的所有项之和记为 .
(1)数列 ：1， ，3， ，1是否为 数列？是否为 数列？请说明理由.
(2)若 ， 是 数列，且 ，求 的最小值.
(3)若 ， 是 数列，且 ，将 各项重新排列后能构成等差数列，求 的
最小值.
10．（2026·河北廊坊·一模）若数列 满足对任意的 ，都有 ，则称数
列 为 伪等比数列．
(1)若数列 为 伪等比数列， ，求 的所有可能取值；
(2)证明：对任意的 ，存在 以及一个首项为1的 伪等比数列 ，
使得数列 的前n项和 ；
(3)若数列 为 伪等比数列，数列 的前n项积 ，当 时，证明：
或 ， ．
11．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有 （
），则称数列 为 阶跳跃等差数列.
(1)已知数列 为1阶跳跃等差数列，且 ， ， .
（i）求 ， ；（ii）求 的前n项和 .
(2)已知数列 为 阶跳跃等差数列，且 ， ， ，从 的
前 （ ）项中任选1项，记该项大于 的概率为 ，证明： .
12．（2026·广东汕头·一模）设各项为整数的等差数列 ， ，…， 的公差 ，首项
．已知从中能抽取 个项并按原顺序排成公比为q的等比数列 ， ，…，
，其中 ， ．
(1)若从等差数列1，3，5，…， 中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求
的最小值；
(2)求证： ；
(3)请举出一个满足 的例子．
13．（2026·江苏·二模）已知有限等比数列 的项数为 ，公比 ．
将 的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列 ，使得 时， ．
(1)若 ，写出所有满足条件的 ；
(2)是否存在 ，使得对任意 ， 都成立？并说明理由；
(3)从满足条件的所有数列 中随机抽取一个，求抽到的 为等比数列的概率．
14．（2026·四川成都·二模）在数列 中， ，设 的前n项和为 ．
记 表示不超过x的最大整数．
(1)求 ；(2)是否存在常数A， ，使得 ？若存在，求A和 的值；若
不存在，请说明理由；
(3)求 ．
15．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设无穷数列 的前 项和为 ，若 ，
， ，则称数列 为“ 型”数列．
(1)若数列 为“ 型”数列，且 ，求 ， ， 的值；
(2)若数列 为“ 型”数列，且 ，求数列 的通项公式；
(3)若“ 型”数列 中可以存在无穷多项为0，求 的取值集合．
16．（2026·河北邢台·一模）已知数列 中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，
按从小到大的顺序排列，构成 的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，
则称该子列为数列 的完美子列.
(1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列；
(2)将数列1，2，3，…， ， ， ，…， 的所有完美子列的个数记为
求数列 的通项公式；
(3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列.
17．（2025·山东·三模）已知数列 满足：① ， 是 的前n项和；②对于
，从集合 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后
所得数的绝对值为互不相同的正整数 ， ，…， ；③， ，…， 与 ， ，…， 一起恰好组成数列 ．
(1)求 ， 的值．
(2)（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）对于数列 ，若 ， ，证明：当 时， ．
