专题1-3“12345”模型·选填压轴必备大招（共3种类型）（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 1-3 “12345”模型·选填压轴必备大招（共 3 种类型） 目录 知识点梳理.............................................................................................................................................................1 例题演练.................................................................................................................................................................4 【例1·性质一】............................................................................................................................................4 2022黔东南州................................................................................................................................................5 【例2·性质二】：“345”三角形与倍半角................................................................................................7 【例3·其它角的配凑】................................................................................................................................9 【压轴题实战篇】一题多解........................................................................................................................9 重点题型·归类精练.............................................................................................................................................12 题型一：【性质一】·专练.................................................................................................................................12 2022乐山......................................................................................................................................................12 2021宜宾......................................................................................................................................................12 2022黔东南州中考数学真题.....................................................................................................................13 题型二 【性质二】解题：“345”三角形与倍半角........................................................................................23 2023·湖北黄冈·统考中考真题....................................................................................................................24 2022·四川泸州·统考中考真题....................................................................................................................29 2022北部湾经济区......................................................................................................................................30 2023·四川广元·统考中考真题....................................................................................................................38 2023·呼和浩特·中考真题............................................................................................................................38 题型三：其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用......................................................................................40 2023·内蒙古·统考中考真题........................................................................................................................40 深圳中考真题..............................................................................................................................................43 知识点梳理 导语：在众多几何模型中，“12345”模型就像夜空中的木星一样明亮而璀璨，是中考解题的顶级神器，需 要我们不断钻研、锤炼。初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次 函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直 角二角形中，345的三角形比含有30°的直角二角形的1： ：2以及含有45°的直角三角形的1：1： 更加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2： 及1：3： )，综合性非常大，深受命题老师的喜爱。 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 12345模型介绍：若 ， ， 【性质一】 ； 【性质二】 ； 【性质三】 ； 【简证】 1． 如图，在 3×3 的网格中标出了∠ 1 和∠ 2，则∠ 1＋∠ 2＝ 【图解】 2． 如图 ，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD 是 BC 边上的高，BD＝3，DC＝2， AD 的长为 . 第2题 第3题 3． A（0,6）B（3,0）在x轴上有一点P，若∠PAB=45°，则P点坐标为 . 【“1 2 3”+“4 5”的来源】——构造倍半角 （一）基本模型 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在CA的延 D 长线上，点E在CB的延长线上，且AD＝BE＝AB． A 结论1：∠D＋∠E＝45°． E B C 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4 3 结论2：tan2∠D＝3 ，tan2∠E＝4 ． 结论3：tan∠D＝ ，tan∠E＝ ． 因为在 ， ，45°中出现数字12345，所以这种模型叫做12345模型． （二）结论推导 结论1：∠D＋∠E＝45° 证明：∵AD＝BE＝AB，∴∠ABD＝∠D，∠BAE＝∠E， ∴∠BAC＝2∠D，∠ABC＝2∠E． ∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∴2∠D＋2∠E＝90°，∴∠D＋∠E＝45°． 4 3 结论2：tan2∠D＝3 ，tan2∠E＝4 ． BC 4 证明：∵∠ACB＝90°，∴tan2∠D＝tan∠BAC＝ AC ＝3 ， AC 3 tan2∠E＝tan∠ABC＝ BC ＝4 ． 结论3：tan∠D＝ ，tan∠E＝ ． 32 42 证明：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝ ＝5， ∴AD＝BE＝AB＝5，∴CD＝8，CE＝9， BC 4 AC 3 ∴tan∠D＝CD ＝8 ＝ ，tan∠E＝CE ＝9＝ ． （三）解题技巧 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4 3 如果题目中出现角的正切值或直角三角形的两条直角边的比为 ， ，3 ，4 ，或45°配 ， 时（对于 角α和β，若满足α＋β＝45°，tanα＝ ，则一定有，tanβ＝ ，并且这三个式子，只要满足其中任意两个， 都可以推出第三个），则考虑使用12345模型，将45°，90°，135°这几个特殊的角度联系起来，简化此类 选择题或填空题的运算．12345模型在中考题中常以选择题或填空题的形式出现 除此之外，还能得出 ，你看出来了吗？ 【补充】其它角度配凑与正切和差公式 “ ”＋45°＝“ ”和“ ”＋45°＝“ ” 6 1 β 7 8 α 45° φ θ 1 7 正切和差公式： 例题演练 【例 1·性质一】 如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE长 是( ) 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式1-1】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，∠EAF＝ 45°，BE＝2，则DF的长为_________． A D F B E C 2022 黔东南州 【变式1-2】如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长 ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm． D C M E A F G B 【变式1-3】在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接 GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________． 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【例 2·性质二】：“345”三角形与倍半角 （广东省中考）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为 BC 的中点，将△ABE沿直线 AE 折叠后， 点 B 落在点F 处，AF 交对角线 BD 于点 G，则 FG 的长是________． A D G F B E C 【变式2-1】如图，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，使得点 C 落在点 G 处，若 DE=1，CE=2，BC=6，则 AF 的长为 ． 【变式2-2】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线交直线 BC 于点 E，交直线 AB 与点 F， 若 AB=4，BE=3，则 BF 的长为 ． 【变式2-3】如图 ，等腰Rt ABC 中，∠C= 90° ， D 为 BC 中点，将△ABC 折叠，使A 点与 D 点 重合，若 EF 为折痕，则sin ∠BED 的值为 ． △ 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【例 3·其它角的配凑】 在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交 于O，则tan∠BOD的值等于__________． 【压轴题实战篇】一题多解 如图，在等腰Rt ABC中，∠B=90°，BA=BC，D为BC上一点，且 ， 为AD上点， 连接CE，∠CED△=45°， ，则 的长________. A E B D C 题型一：【性质一】·专练 2022 乐山 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ，点D是AC上一点，连接 BD．若tan∠A＝ ，tan∠ABD＝ ，则CD的长为（ ）． 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．2 5 B．3 C． D．2 C D A B 2021 宜宾 2．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点 B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的 长是（ ）． 7 3 2 A．2 B．4 C． 2 D．3 C D H F G B E A 3．如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为点B'，折 痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B'C上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝ 1 BC 3 ，则矩形纸片ABCD的面积为_________． B′ F A D E D′ B C 2022 黔东南州中考数学真题 4．如图，折叠边长为4cm的正方形纸片 ，折痕是 ，点 落在点 处，分别延长 、 交 于点 、 ，若点 是 边的中点，则 cm． 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5．如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE=√5，∠EAF=45°,则AF 的长为 . 6．（丽水·中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－1的图像分别交x、y轴于点A、 B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是______________ _ 7．如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E 是 CD上一点，∠ABE＝ 45°，则tan ∠AEB 的值等于（ ） 3 5 A． 2 B．2 C．2 D．3 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 8．如图,三角形OEF的顶点E,F分别在正方形ABCD边AB,CD上,O为正方形ABCD的中心, 若∠EOF=135°,DF=1,CF=2,则EF的长度为 √10 9．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 ，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 在 BC 上， 且 CE=2BE,过 B 点作 BF⊥AE 于点 F，连接 OF，则线段 OF 的长度为 。 10．（四川省成都市中考模拟）如图，正方形 ， ，点E为 上一动点，将三角形 沿 折叠，点A落在点F处，连接 并延长，与边 交于点G，若点G为 中点，则 ． 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D，E 在边 BC 上，tan∠BAD＝ ， ∠DAE＝45°，将△ABD 沿 AD 翻折得到△AB'D，AB'交 BC 于点 F，若 DF＝3，则 EF 的长为 _________． A B D F E C B′ 12．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接 6√2 AE，过点 D 作 DG⊥AE 于点 F，交 AB 边于点 G，连接 GE。若 AD= ，则 GE 的长是 ___________. 13．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折 痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H，则线段FH的 长为 ． 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四点共圆型相似+12345模型 14．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，过点C作CD⊥BC，CD＝2，连接 BD，过点C作CE⊥BD，垂足为E，连接AE，则AE长为 ． 题型二 【性质二】解题：“345”三角形与倍半角 2024届·深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中 15．如图，在正方形 中，点E是边 上一点，其中 ．线段 的垂直平分线 分别交 于点F，G，H，则 的值为 ． 2023·湖北黄冈·统考中考真题 16．如图，矩形 中， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射线 ，过点C作 的垂线 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 分别交 于点M，N，则 的长为（ ） A． B． C． D．4 17．（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形 中， 是 中点，连接 ， ，作 交 于 ，交 于 ，交 于 ，延长 交 延长线于 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 18．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF 沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ） A． B． C．1 D． 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 19．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F是CD的中点，∠EAF＝45°，连接AE与BF交于点 DH G，连接AF与DG交于点H，则 HG 的值为_________． A D H F G B E C 2022·四川泸州·统考中考真题 20．如图，在边长为3的正方形 中，点 是边 上的点，且 ，过点 作 的垂线交正 方形外角 的平分线于点 ，交边 于点 ，连接 交边 于点 ，则 的长为（ ） A． B． C． D．1 2022 北部湾经济区 21．如图，在正方形ABCD中，AB＝4 2，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接 BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点 H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_________． A D H′ E O G F H B C 22．（2022泰州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，O为△ABC的内心，过点O的直线 分别与边AC，AB相交于点D，E，若DE＝CD＋BE，则线段CD的长为_________． 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 B O C A 23．如图，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点．将正方形折叠起来，使点 A和点E重合，折痕为 1 MN．若tan∠AEN3，DC＋CE＝10． (1)求△ANE 的面积； ⑵求sin∠ENB 的值． 24．如图．RtABC内接于O，BC为直径，AB4，AC 3，D是 AB的中点，CD与AB的交点为E CE 则DE 等于 ． 25．如图，AB是圆O的直径，点C为左半圆上一点，CAB的平分线与圆O交于点D，连接CB交AD DN 1  于点N，若 NB 5 时，则cosBAD的值为 ( ) 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 4 5 2 5 A．5 B．5 C． 5 D． 5 26．如图，四边形 ABCD内接于O， AB为直径， ADCD，过点D作DE  AB于点E，连接 AC 交 3 sinCAB DE于点F ．若 5 ，DF 5，则BC的长为 ( ) A．8 B．10 C．12 D．16 27．如图 ，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过 A 作 OP 的垂线 AB，垂足为点 C， 交⊙O 于点 B， 延长 BO 与⊙O 交于点 D，与 PA 的延长线交于点 E． ⑴求证：PB 为⊙O 的切线； ⑵若 tan∠ABE= ，求 sin∠E． 28．如图，已知点 ， ， 为坐标原点，点 关于直线 的对称点 恰好落在反比例函数 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的图象上，则 ． 2023·四川广元·统考中考真题 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 在 轴上，且点 在点 右方，连接 ， ，若 ，则点 的坐标为 ． 2023·呼和浩特·中考真题 30．如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ， ． 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型三：其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用 2023·内蒙古·统考中考真题 31．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针方向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的值为 ． 32．如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接 交 于点E，连接 ．给出4个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的 是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 深圳中考真题 33．已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），点F为x轴上任意一动点， 当 时，直接写出所有F点的坐标_________________. 18