专题1-3“12345”模型·选填压轴必备大招（共3种类型）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 1-3 “12345”模型·选填压轴必备大招（共 3 种类型） 目录 知识点梳理.............................................................................................................................................................1 例题演练.................................................................................................................................................................4 【例1·性质一】............................................................................................................................................4 2022黔东南州................................................................................................................................................5 【例2·性质二】：“345”三角形与倍半角................................................................................................7 【例3·其它角的配凑】................................................................................................................................9 【压轴题实战篇】一题多解........................................................................................................................9 重点题型·归类精练.............................................................................................................................................12 题型一：【性质一】·专练.................................................................................................................................12 2022乐山......................................................................................................................................................12 2021宜宾......................................................................................................................................................12 2022黔东南州中考数学真题.....................................................................................................................13 题型二 【性质二】解题：“345”三角形与倍半角........................................................................................23 2023·湖北黄冈·统考中考真题....................................................................................................................24 2022·四川泸州·统考中考真题....................................................................................................................29 2022北部湾经济区......................................................................................................................................30 2023·四川广元·统考中考真题....................................................................................................................38 2023·呼和浩特·中考真题............................................................................................................................38 题型三：其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用......................................................................................40 2023·内蒙古·统考中考真题........................................................................................................................40 深圳中考真题..............................................................................................................................................43 知识点梳理 导语：在众多几何模型中，“12345”模型就像夜空中的木星一样明亮而璀璨，是中考解题的顶级神器，需 要我们不断钻研、锤炼。初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次 函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直 角二角形中，345的三角形比含有30°的直角二角形的1： ：2以及含有45°的直角三角形的1：1： 更加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2： 及1：3： )，综合性非常大，深受命题老师的喜爱。 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 12345模型介绍：若 ， ， 【性质一】 ； 【性质二】 ； 【性质三】 ； 【简证】 1． 如图，在 3×3 的网格中标出了∠ 1 和∠ 2，则∠ 1＋∠ 2＝ 【图解】 2． 如图 ，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD 是 BC 边上的高，BD＝3，DC＝2， AD 的长为 . 第2题 第3题 3． A（0,6）B（3,0）在x轴上有一点P，若∠PAB=45°，则P点坐标为 . 【“1 2 3”+“4 5”的来源】——构造倍半角 （一）基本模型 D 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在CA的延 长线上，点E在CB的延长线上，且AD＝BE＝AB． A 结论1：∠D＋∠E＝45°． E B C 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4 3 结论2：tan2∠D＝3 ，tan2∠E＝4 ． 结论3：tan∠D＝ ，tan∠E＝ ． 因为在 ， ，45°中出现数字12345，所以这种模型叫做12345模型． （二）结论推导 结论1：∠D＋∠E＝45° 证明：∵AD＝BE＝AB，∴∠ABD＝∠D，∠BAE＝∠E， ∴∠BAC＝2∠D，∠ABC＝2∠E． ∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∴2∠D＋2∠E＝90°，∴∠D＋∠E＝45°． 4 3 结论2：tan2∠D＝3 ，tan2∠E＝4 ． BC 4 证明：∵∠ACB＝90°，∴tan2∠D＝tan∠BAC＝ AC ＝3 ， AC 3 tan2∠E＝tan∠ABC＝ BC ＝4 ． 结论3：tan∠D＝ ，tan∠E＝ ． 32 42 证明：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝ ＝5， ∴AD＝BE＝AB＝5，∴CD＝8，CE＝9， BC 4 AC 3 ∴tan∠D＝CD ＝8 ＝ ，tan∠E＝CE ＝9＝ ． （三）解题技巧 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4 3 如果题目中出现角的正切值或直角三角形的两条直角边的比为 ， ，3 ，4 ，或45°配 ， 时（对于 角α和β，若满足α＋β＝45°，tanα＝ ，则一定有，tanβ＝ ，并且这三个式子，只要满足其中任意两个， 都可以推出第三个），则考虑使用12345模型，将45°，90°，135°这几个特殊的角度联系起来，简化此类 选择题或填空题的运算．12345模型在中考题中常以选择题或填空题的形式出现 除此之外，还能得出 ，你看出来了吗？ 【补充】其它角度配凑与正切和差公式 “ ”＋45°＝“ ”和“ ”＋45°＝“ ” 6 1 β 7 8 α 45° φ θ 1 7 正切和差公式： 例题演练 实战练习 【例 1·性质一】 如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE长 是( ) 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 1 【解析】根据BG是AB的一半，可得tan∠BAG= ，连接AE，易证△AEF≌△AED，∴tan∠DAE=1/3， 2 ∴DE=2 【变式1-1】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，∠EAF＝ 45°，BE＝2，则DF的长为_________． A D F B E C 【答案】2 【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°． ∵tan∠BAE＝ ＝ ＝ ，∴tan∠DAF＝ ， ∴ ＝ ，∴DF＝ ＝2． 2022 黔东南州 【变式1-2】如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长 ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm． 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D C M E A F G B 5 【答案】 3 【解析】连接DF． 由题意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°． ∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF． ∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°． CM AF ∵tan∠CDM＝ ＝ ，∴tan∠ADF＝ ＝ ， CD AD 4 tan∠DGA＝tan∠CDG＝ ． 3 4 ∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝ cm， 3 5 5 ∴FG＝ EF ＝ cm． 4 3 【变式1-3】在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接 GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________． 【答案】 【分析解答】 法一：观察发现tan∠ADE=1/3，且∠GHD=45°，条件已经具备，考虑GF可动，平移GH，将α、β、45°汇 于直角处。可知CF=3， 所以DF长度为 ． 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 法二：平移 【例 2·性质二】：“345”三角形与倍半角 （广东省中考）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为 BC 的中点，将△ABE沿直线 AE 折叠后， 点 B 落在点F 处，AF 交对角线 BD 于点 G，则 FG 的长是________． A D G F B E C 【答案】 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A 4x 3x D 3x 5x 2x G F B E C 12 7x=6FG=2x= 7 【变式2-1】如图，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，使得点 C 落在点 G 处，若 DE=1，CE=2，BC=6，则 AF 的长为 ． 【答案】4 【变式2-2】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线交直线 BC 于点 E，交直线 AB 与点 F， 若 AB=4，BE=3，则 BF 的长为 ． 【答案】 【简证】易知tan∠ACB=tan∠AFE= ，进而可知BF=2BE=6 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【变式2-3】如图 ，等腰Rt ABC 中，∠C= 90° ， D 为 BC 中点，将△ABC 折叠，使A 点与 D 点 重合，若 EF 为折痕，则sin ∠BED 的值为 ． △ 【答案】 【简证】连接AD， , 【例 3·其它角的配凑】 在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交 于O，则tan∠BOD的值等于__________． 【分析解答】 取点E如图所示，则∠OAE=α，∠OEA=45°，∠BOD=α+45°，tan∠BOD=3 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【压轴题实战篇】一题多解 如图，在等腰Rt ABC中，∠B=90°，BA=BC，D为BC上一点，且 ， 为AD上点， 连接CE，∠CED△=45°， ，则 的长________. A A 18 2 β α 5 H m 9 2 12345模型 5 27 2 E 5 如图作辅助线 1 1 易知tanα= tanβ= E 2m β 2 3 m 则AB=9AC=9 2 B D C EC= 10EH= 18 5 5 m B D C G 【法一】作CG⊥ED与G，则△EGC为等腰直角三角形，记EC= ，故AE=EG=GC=m，则AG=2CG， 则 ，进而得出 ，故AB=9， ，而 ， ，下略 【其它方法：4种】 A A 6 3 2 a 2 9 2 E E F 2a 3 2 2a G 3 2a a B 3 D C B D C 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A a 2a m 9 2= 10a a 9 E E 2a 2m B 3 D C B D C 【简证】 A A 3 2 a 2 E 2a 6 9 2 2a G 2a a E B D C F 3 2 3 2 3 △AEC△CGD设DC=x,则AC= x 2 B 3 D C 3 2 x= 2(x+3)x=6 2 AF AD AF•AC 6 5 18 5 = EC= AD=3 10a= EC= EC AC AD 5 5 A a 2a F 9 2= 10a a E 9 2a B D C 3 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A 2 a 2 a A 2a 135° a 2 a 2 E B C 2a a 核心结构 B D C a A m 相似+角平分线定理 AE AB 1 2 E = = BE= m CE AC 2 2 DB EB 18 5 2m = DC=6EC= DC EC 5 B D C 题型一：【性质一】·专练 2022 乐山 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ，点D是AC上一点，连接 BD．若tan∠A＝ ，tan∠ABD＝ ，则CD的长为（ ）． A．2 5 B．3 C． D．2 C D A B 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】C 【解析】∵tan∠A＝ ，tan∠ABD＝ ，∴∠BDC＝45°． ∵∠C＝90°，∴CD＝BC＝ 2021 宜宾 2．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点 B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的 长是（ ）． 7 3 2 A．2 B．4 C． 2 D．3 C D H F G B E A 【答案】A 【解析】由题意，∠BCE＝∠HCE，∠DCF＝∠GCF． ∵∠BCD＝90°，∴∠BCE＋∠DCF＝45°． BE ∵tan∠BCE＝ ＝ ＝ ，∴tan∠DCF＝ ， BC DF 1 ∴ ＝ ，∴DF＝ CD＝2 CD 3 3．如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为点B'，折 痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B'C上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝ 1 BC 3 ，则矩形纸片ABCD的面积为_________． B′ F A D E D′ B C 【答案】15 【解析】由题意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF． ∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°． 1 1 3 ∵BE＝ BC ，∴tan∠BCE＝ ，∴tan∠D'CF＝ ，tan∠B'CB＝ ． 3 3 4 3 ∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝ ， 4 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 3 ∴DF＝D'F＝ BD＝ ，∴CD＝CD'＝2D'F＝3， 4 2 ∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5， ∴S矩形ABCD ＝BC·CD＝5×3＝15． 2022 黔东南州中考数学真题 4．如图，折叠边长为4cm的正方形纸片 ，折痕是 ，点 落在点 处，分别延长 、 交 于点 、 ，若点 是 边的中点，则 cm． 【答案】 【简证】连接 易知△ADF≌△EDF（HL），记 ， ，则 故 , 【常规法】解：连接 如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ∵点M为BC的中点， 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 由折叠得， ∠ ∴∠ ， 设 则有 ∴ 又在 中， ， ∵ ∴ ∴ 在 中， ∴ 解得， （舍去） ∴ ∴ ∴ ∵∠ ∴∠ ∴∠ 又∠ ∴△ ∴ 即 ∴ 5．如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE=√5，∠EAF=45°,则AF 的长为 . 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 6．（丽水·中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－1的图像分别交x、y轴于点A、 B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是______________ _ 【解析】根据解析式可知： 即可求得C点坐标（3,0），可求得解析式 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 7．如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E 是 CD上一点，∠ABE＝ 45°，则tan ∠AEB 的值等于（ ） 3 5 A． 2 B．2 C．2 D．3 【答案】D 8．如图,三角形OEF的顶点E,F分别在正方形ABCD边AB,CD上,O为正方形ABCD的中心, 若∠EOF=135°,DF=1,CF=2,则EF的长度为 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【简证】 √10 9．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 ，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 在 BC 上， 且 CE=2BE,过 B 点作 BF⊥AE 于点 F，连接 OF，则线段 OF 的长度为 。 【答案】 【简证】 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 10．（四川省成都市中考模拟）如图，正方形 ， ，点E为 上一动点，将三角形 沿 折叠，点A落在点F处，连接 并延长，与边 交于点G，若点G为 中点，则 ． 【答案】 【简证】延长EF至H,易证△BFH≌△BCH(HL),则∠EBH=45°，又因为HF=HC=HD，所以∠CFD=90°，则 ∠BFH=∠ADG，故 α H β α α α 【常规法】解：如图，过点 作 的平行线，分别交 于点 ， 四边形 是正方形， ， 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ，四边形 是矩形， ， 点 为 中点， ， ， ， ，即 ， 设 ，则 ， ， 由折叠的性质得： ， ， 又 ， ， ， 在 和 中， ， ， ，即 ， 解得 ， ， ， 又 ， ， 解得 或 ， 经检验， 是所列方程的解， 不是所列方程的解， 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D，E 在边 BC 上，tan∠BAD＝ ， ∠DAE＝45°，将△ABD 沿 AD 翻折得到△AB'D，AB'交 BC 于点 F，若 DF＝3，则 EF 的长为 _________． 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A B D F E C B′ 【答案】4 【解析】连接B'E，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AC于点H． A H G B D F E C B′ ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠AB'D＝∠B＝45°，BG＝DG，CH＝EH． 由tan∠BAD＝ ，可设BG＝DG＝a，则AG＝3a，AB＝4a． ∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，∴tan∠CAE＝ ． 设CH＝EH＝b，则AH＝2b，AC＝3b，∴4a＝3b． ∵∠DAE＝45°，∴∠B'AD＋∠B'AE＝45°，∠BAD＋∠CAE＝45°， ∵∠BAD＝∠B'AD，∴∠B'AE＝∠CAE． ∵AB'＝AB＝AC，AE＝AE，∴△AB'E≌△ACE． EF S S EH b 4 △ABE △ACE ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， DF S S DG a 3 △ABD △ABD 4 4 ∴EF＝ DF＝ 3＝4． 3 3 12．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接 6√2 AE，过点 D 作 DG⊥AE 于点 F，交 AB 边于点 G，连接 GE。若 AD= ，则 GE 的长是 ___________. 【答案】 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【简证】易知 ，  ，则 ，勾股可知 13．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折 痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H，则线段FH的 长为 ． 【答案】 【简证】 易知△ADF≌△AGF∠EAF=45° ∴  ， 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四点共圆型相似+12345模型 14．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，过点C作CD⊥BC，CD＝2，连接 BD，过点C作CE⊥BD，垂足为E，连接AE，则AE长为 ． 【答案】 【详解】 法一：二级结论 ∠CBA=45°， ，故 ，设AC交BE于F，故△蓝∽△黄△AFE∽△BFC F F 易知相似比为  法二：常规法 解：如图作AM⊥BD于M，AN⊥CE于N． 易证△ABM≌△ACN，可得AM＝AN，四边形AMEN是正方形，设AM＝EM＝NE＝AN＝a，BM＝b， 在Rt BCD中，BD＝ △ ＝2 ，CE＝ ＝ ，BE＝ ， 在Rt ABC中，AB＝AC＝ ， △ 则有 ，解得a＝ ，∴AE＝ a＝ 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型二 【性质二】解题：“345”三角形与倍半角 2024届·深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中 15．如图，在正方形 中，点E是边 上一点，其中 ．线段 的垂直平分线 分别交 于点F，G，H，则 的值为 ． 【答案】2 【简证】 （和角公式，详情见本专辑“12345模型”） 设AE=3t，则FB=FE=5t，故HC=2t 3t 4t 5t 3t 5t 2t 2023·湖北黄冈·统考中考真题 16．如图，矩形 中， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射线 ，过点C作 的垂线 分别交 于点M，N，则 的长为（ ） 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D．4 【答案】A 【简证】易知 ，故 α α α 【详解】解：如图，设 与 交于点O，与 交于点R，作 于点Q， 矩形 中， ， ， ． 由作图过程可知， 平分 ， 四边形 是矩形， ， 又 ， ， 在 和 中， ， ， 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ， 即 ， 解得 ， ． ． ， ． ， ， ， ，即 ，解得 ． 17．（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形 中， 是 中点，连接 ， ，作 交 于 ，交 于 ，交 于 ，延长 交 延长线于 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【简证】 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 m 3m 5m 10m 5m 1 45° 2 M 5m 【常规法详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， 则 ， ∴ ， ∴ ；故选：C. 18．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF 沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ） 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C．1 D． 【答案】B 【简证】易知 ，故 ， 3m 5m 4m 5m 【常规法详解】解：∵四边形 是边长为 的正方形， ∴ ， ， ∴ ， 由翻折得 ， ， 垂直平分 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，且 ， ∴ ， 解得 ， ∵ ， ∴ ， 解得 19．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F是CD的中点，∠EAF＝45°，连接AE与BF交于点 DH G，连接AF与DG交于点H，则 HG 的值为_________． 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D H F G B E C 7 【答案】 10 【解析】过点G作GM⊥AF于点M，过点D作DN⊥AF于点N． A D M H N F G B E C ∵四边形ABCD是正方形，点F是CD的中点， ∴tan∠DAF＝∠tan∠CBF＝ ． ∵∠AFB＝180°－∠AFD－∠BFC＝2( 90°－∠AFD )＝2∠DAF， GM 4 ∴ ＝tan∠AFB＝tan2∠DAF＝ ． FM 3 设AM＝GM＝4a，则FM＝3a，AF＝7a，AN＝2DN＝4FN， 1 7 14 FN＝ AF ＝ a，DN＝2FN＝ a， 5 5 5 14 a ∴DH ＝ DN ＝ 5 ＝ 7 ． HG GM 4a 10 2022·四川泸州·统考中考真题 20．如图，在边长为3的正方形 中，点 是边 上的点，且 ，过点 作 的垂线交正 方形外角 的平分线于点 ，交边 于点 ，连接 交边 于点 ，则 的长为（ ） 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D．1 【答案】B 【简证】易知 ， ，故 3 2 3 2 3 1 2 【详解】在AD上截取AH＝AE，连接HE． D C N H M F A E B G 则∠AHE＝∠AEH＝45°，∴∠DHE＝135°． 由题意，AD＝AB，∠EBF＝135°， ∴DH＝BE，∠DHE＝∠EBF． ∵∠A＝∠DEF＝90°，∴∠HDE＝∠BEF＝90°－∠DEA， ∴△HDE≌△BEF，∴DE＝EF，∴∠EDF＝45°． ∵BE＝2AE，AD＝AB＝3AE，∴tan∠ADE＝ ， 1 3 ∴tan∠CDN＝ ，BN＝CN＝ BC＝ ． 2 2 ∵∠A＝∠DEM＝∠EBM＝90°，∴△ADE≌△BEM， 1 2 5 ∴BM＝ BE＝ ，∴MN＝BN－BM＝ ． 3 3 6 2022 北部湾经济区 21．如图，在正方形ABCD中，AB＝4 2，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接 BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点 H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_________． 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D H′ E O G F H B C 【答案】5＋ 5 【解析】过点E作EP⊥AC，交CB的延长线于点P． A D H′ E O G F H P B C ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECB＝∠ECF＝45°． ∴∠P＝45°，∴∠P＝∠ECF，∴EP＝EC． ∵∠BEF＝90°，∴∠PEB＝∠CEF， ∴△EPB≌△ECF，∴EB＝EF， ∴∠EBH＝∠EFH＝45°． ∵∠OBC＝45°，∴∠EBO＝∠FBC． ∵点F为CD的中点，∴tan∠EBO＝tan∠FBC＝ ． ∵AB＝4 2，∴OB＝4，∴OE＝2． ∵∠H′EF＝∠HEF＝90°－∠BEO＝∠EBO， 4 ∴tan∠HEF＝tan∠EBO＝ ，∴tan∠H′EO＝ ， 3 1 4 8 5 10 ∴OG＝ OE＝1，OH′＝ OE＝ ，EH′＝ OE＝ ， 2 3 3 3 3 8 5 ∴EG＝ ，GH′＝ －1＝ ， 5 3 3 10 5 ∴△EGH′ 的周长＝EH'＋EG＋GH'＝ ＋ ＋ ＝5＋ 3 5 3 5 22．（2022泰州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，O为△ABC的内心，过点O的直线 分别与边AC，AB相交于点D，E，若DE＝CD＋BE，则线段CD的长为_________． B O C A 1 【答案】2或 2 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】过点O作AC的垂线，分别与边AC，AB相交于点D，E，连接OA，OB，OC． B E E′ O CD′D A ∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC． ∵O为△ABC的内心， ∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠BOE＝∠OBC＝∠OBE，∠COD＝∠OCB＝∠OCD， ∴BE＝OE，CD＝OD，∴DE＝OD＋OE＝CD＋BE． 3 ∵AC＝8，BC＝6，∴tan∠BAC＝ ． 4 1 由12345模型可知tan∠OAD＝ ． 3 设CD＝OD＝x，则AD＝3x，AC＝4x＝8， ∴x＝2，即CD的长为2． （也可由直角三角形内切圆的半径与边长的公式求出CD） 过点O作AB的垂线，分别与边AC，AB相交于点D′，E′， 则OD＝OE′，∠DOD′＝∠E′OE，∠ODD′＝∠OE′E＝90°， ∴△ODD′≌△OE′E，∴OD′＝OE，DD′＝E′E， ∴D′E′＝OD′＋OE′＝OD＋OE＝DE＝CD＋BE＝CD′＋DD′＋BE′－E′E＝CD′＋BE′． ∵∠DOD′＝90°－∠AD′E′＝∠BAC， DD 3 ∴ ＝tan∠DOD′＝tan∠BAC＝ ， OD 4 3 3 1 ∴DD′＝ OD＝ ，∴CD′＝ ． 4 2 2 1 综上，线段CD的长为2或 ． 2 23．如图，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点．将正方形折叠起来，使点 A和点E重合，折痕为 1 MN．若tan∠AEN3，DC＋CE＝10． (1)求△ANE 的面积； ⑵求sin∠ENB 的值． 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 24．如图．RtABC内接于O，BC为直径，AB4，AC 3，D是 AB的中点，CD与AB的交点为E CE 则DE 等于 ． 【解答】解：连接DO，交AB于点F ，  D是AB的中点， DO AB，AF BF，  AB4， AF BF 2， FO是ABC 的中位线，AC//DO，  BC 为直径，AB4，AC 3， BC 5， 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DO2.5， DF 2.51.51，  AC//DO， DEF∽CEA， CE AC  ，  DE DF CE 3  3．  DE 1 25．如图，AB是圆O的直径，点C为左半圆上一点，CAB的平分线与圆O交于点D，连接CB交AD DN 1  于点N，若 NB 5 时，则cosBAD的值为 ( ) 3 4 5 2 5 5 5 5 5 A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，连接BD，  AB是直径， ADB90，  BD平分BAC， CADDAB， CDBD， CDBD， ABC ADC ，DCBDAB， DCN∽BAN， CD DN  ，  AB BN 【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BD 1  ，  AB 5 设DBx，AB 5x， AD AB2 DB2  5x2 x2 2x， AD 2x 2 5 cosDAB   AB 5x 5 26．如图，四边形 ABCD内接于O， AB为直径， ADCD，过点D作DE  AB于点E，连接 AC 交 3 sinCAB DE于点F ．若 5 ，DF 5，则BC的长为 ( ) A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解答】解：连接BD，如图，  AB为直径， ADBACB90，  ADCD， DAC DCA， 而DCAABD， DAC ABD，  DE  AB， ABDBDE90， 而ADEBDE90， ABDADE， ADEDAC， FDFA5， EF 3 在 中，sinCAB  ， RtAEF AF 5 EF 3， AE 52 32 4，DE538， ADEDBE ，AEDBED， ADE∽DBE ， DE:BE AE:DE，即8:BE4:8， 【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BE16， AB41620， BC 3 在 中，sinCAB  ， RtABC AB 5 3 BC 20 12． 5 27．如图 ，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过 A 作 OP 的垂线 AB，垂足为点 C， 交⊙O 于点 B， 延长 BO 与⊙O 交于点 D，与 PA 的延长线交于点 E． ⑴求证：PB 为⊙O 的切线； ⑵若 tan∠ABE= ，求 sin∠E． 【答案】（1）略（2） 28．如图，已知点 ， ， 为坐标原点，点 关于直线 的对称点 恰好落在反比例函数 的图象上，则 ． 【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【详解】 法一： 4m 5m D 3m 易知 ，故 . 法二：常规法 解：作 轴于点 ，连接 ，如图所示， 点 ， ， ， ， 点 关于直线 的对称点为点 ， ， ，即 ， ， ， ， ， ，设 ， ， ，解得： ， ， 【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·四川广元·统考中考真题 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 在 轴上，且点 在点 右方，连接 ， ，若 ，则点 的坐标为 ． 【答案】 【简证】易知 ,故 . 【详解】解：∵点 ，点 ，∴ ， ，∵ ， ∴ ，过点 作 于点 ， ∵ ， 是 的角平分线，∴ ∵ ∴ 设 ，则 ， ，∴ 解得： 或 （舍去），∴ 【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·呼和浩特·中考真题 30．如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ， ． 【答案】 2 【简证】易知 ， ，接下来对△AME分析，如图易知 ，过M 作AE的垂线段，设EM=5x，则 ， ，则 M 5x 4x E 3x 12x-2 H 2 A 【常规法思路】如图，证明 ，得到 ，勾股定理求出 的长，等积法求出 的 长 ， 证 明 ， 相 似 比 求 出 的 长 ， 证 明 ， 求 出 的 长 ， 证 明 ，求出 的长，再利用勾股定理求出 的长． 【常规法】解：∵正方形 的边长为 ，点 是 的中点， ∴ ， ， 【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故点 作 ，则： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 题型三：其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用 2023·内蒙古·统考中考真题 31．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针方向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的值为 ． 【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】5 【简证】因为 ，故 45° α 【常规法】解：过点D作 于点F， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ， ∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，故答案为：5． 32．如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接 交 于点E，连接 ．给出4个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的 是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【简证】易知 ， ， ，故③错误，选B 【详解】解：连接 ， ， 为格点，如图， 由题意得： ， ， ， ． 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． ①的结论正确； ， ， ． ， ， 【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． ②的结论正确； ， ， ， 在 中， ， ， ③的结论不正确； ， ， ， ， ， ④的结论正确． 综上，正确的结论有：①②④． 深圳中考真题 33．已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），点F为x轴上任意一动点， 当 时，直接写出所有F点的坐标_________________. 【答案】 【解析】 情况一，此时 ；情况二， y y C C B O A F x B O F A x 【43淘宝店铺：向阳百分百】