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2026 届高考数学押题预测密卷（二）
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，选对得5分，选错得0分．
1．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
故选：D．
2．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由向量 ，因为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，则 ，所以 ．
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，可得 ，所以
，
所以 ．4．已知各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， 成等差数列，则 （ ）
A．15 B．17 C．80 D．82
【答案】D
【详解】设各项均为正数的等比数列 的公比为 ，
∵ ， ， 成等差数列，∴ ，
∴ ，∴ ， ，解得 .
则 .
5．高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域
至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（ ）
A．108 B．120 C．126 D．144
【答案】C
【详解】分为两类，第一类：只有一个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选一个去区域甲，
剩下的四个班级去其余的三个区域，且每个区域至少有一个班，则方法种数为： ；
第二类：有两个班去区域甲，在3，4，5 三个班级中任选两个去区域甲，
剩下的三个班级去其余的三个区域，方法种数为： ；
故共有 种方法.
6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以 ，
分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结
论错误的是（ ）
A． ， 互斥 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为每次只取一球，故 ， 是互斥的事件，故A正确；由题意得 ， ， ，
， ，故B，D均正确；因为 ，故C错误.故选：C.
7．函数 所有零点的和等于（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
【答案】C
【详解】由 解得 ，所以 的定义域是 .
由 两边平方并化简得 ，
即 ，所以 表示以 为圆心，半径为 的半圆.由 得
， 的零点，也即 与半圆 的交点的横坐标，
与半圆 的图象都关于直线 对称，
画出 与半圆 的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有 个交点，且两两关于直线 对称，
所以 的零点和为 .
故选：C
8．在 中，已知 ， ．记点 的运动轨迹为曲线 ， 的外接圆 与曲线 交于 两
点．当 取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】以 的中点 为坐标原点， 的垂直平分线为 轴， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，则，
设 ，由 得 ，化简得 ，
所以曲线 是以 为圆心， 为半径的圆，在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 ，当且仅当 即 时等号成立，所以
，
因为 在 上单调递减，所以当 时，
最大，此时 ，由
可得 ，所以 是直角三角形，且 ，
所以 ，可得 的外接圆的圆心 即为 的中点，
所以 ，圆 的方程为 ，
由 得 ，或 ，
即 ，所以 .
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果
进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，
若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据
信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（ ）
A．函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4
B．三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2
C．数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4
D．立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6
【答案】AC
【详解】对于选项A，假设函数内容有一道题失分大于等于8分，
则由极差为4可知，函数内容失分最少的题的失分数据大于等于4，
则失分记录的中位数不可能为3，与题设中位数为3矛盾，故假设不成立，
所以函数内容每一道题失分都不超过7分，
故函数内容为“复习效果达标内容”，所以A正确；
对于选项B，设三角内容这10道题失分记录为0，0，1，1，2，2，2，2，8，
满足题设失分记录的平均数为2，众数为2的条件，
由定义知三角内容不是“复习效果达标内容”，所以B错误；
对于选项C，设数列内容这10道题失分记录从小到大依次为
，
则由平均数为3，方差为2.4可知， ，
从而 ，若 ，则 ，所以 ，故数列内容为“复习效果达标内容”，所以C正确；
对于选项D，设立几内容这10道题失分记录为0，0，0，0，0，0，6，6，6，12，
满足题设平均数为3，第65百分位数为6的条件，
由定义知立几内容不是“复习效果达标内容”，所以D错误；
故选：AC
10．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，动点 在椭圆上，点 ，下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．过点 的直线与椭圆相交于 两点，若 为弦 的中点，则直线 的斜率为
C． 内切圆半径的最大值为
D． 的最大值为
【答案】BC
【详解】椭圆 的左右焦点分别为 ，动点 在椭圆上，
对于A，当 在左右顶点时， 最小，为0，当 在上下顶点时， 最大，
此时 ，则 ，而 ，
因此不存在点 ，使得 ，故A错误；
对于B，设 ， 为弦 的中点，有
两点在椭圆上，有 ，两式相减得 ，
可得 ， ，
所以直线 的斜率为 ，B选项正确；对于C，设 的内切圆半径为 ，则 ，
则当 最大时， 最大，又 ， ，
所以 ，则 ，
所以 内切圆半径的最大值为 ，C选项正确；
由椭圆的定义知， ，得 ，
点 在椭圆内，有 ，
所以 ，
当 三点共线且 在 之间时等号成立，所以D选项错误.
故选：BC
11．已知有如下定义：设 是 的导函数， 是函数 的导函数.若方程 有实数解 ，则
称点 ，为函数 的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是
三次函数图象的对称中心.若三次函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的值域为
B． 在区间 上单调递增
C．点 是曲线 的对称中心
D．若方程 有三个不同实根，则实数 的取值范围为【答案】ACD
【详解】由函数 ，可得 ，且 ，
对于A：当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增；
且当 时， ，当 时， ，
所以函数的值域为 ，所以A正确；
对于B，函数 在 单调递减，在 单调递增，所以B错误；
对于C，令 ，可得 ，解得 ，且 ，
所以点 是曲线 的对称中心，所以C正确；
对于D，由 在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的极大值为 ，极小值为 ，
且当 时， ，当 时， ，
要使方程 有三个不同实根，即方程 有三个不同实根，
即函数 与 的图像有三个不同的交点，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ，所以D正确.
故选：ACD.
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ，二项式 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________.
【答案】
【详解】因为二项式 的展开式中所有项的系数和为64，所以 ，或 舍去，
二项式 的通项公式为 ，
令 ，
所以展开式中的常数项为 .
故答案为：
13．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 为第一象限内椭圆 上的一个动点，
为 的内心，过 作直线 的垂线，垂足为 ，若 ，则椭圆 的离心率
___________
【答案】
【详解】如图：延长 交直线 于 ．由题可知，
，则 ， ，
因为 ， ，所以 ，则 .，故答案为： .
14．已知集合 ， 是 的函数，且满足 ，则这样的函数 的个数为
____________．
【答案】
【详解】由 可知，函数 的值域中的任何元素y都满足 .因为值域非空，所以1必在值域中，
即 .若仅有 ，则对任意 ，有 .
此时对于 ，令 ，则 .而 ，这与仅有 的假设矛盾.故 中至少有一个元素的函数值为1.
具体分类如下：
1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况；
2、若仅有4个函数值为1，又 ，则另外4个中应有3个函数值为1有 种，
如 ，依题意 只能从 中取值，有3种情况，此时共有 种；
3、若仅有3个函数值为1，又 ，则另外4个中应有2个函数值为1有 种，
如 ，依题意 只能从 中取值，有 种情况，此时共有 种；
4、若仅有2个函数值为1，又 ，则另外4个中应有1个函数值为1有 种，
如 ，依题意 都只能取2，有1种情况，此时有 种情况；
综上所述，这样的函数 的个数共有 个.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤。
15．记 为等差数列 的前n项和，已知 ， ．
(1)求 ；
(2)记数列 的前n项和为 ，且 ．若对 ， ，求k的取值范围．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
根据条件 得 ，
化简得： ①根据条件 得： ，
化简得： ②
联立①②解得： ，
因此： ；
（2）由题意， ，
当 时， ,
当 时， ，
计算得： ， ，
时， ，符合 ，
故
原不等式 整理得： ，
化简左边： ，由于 ，
不等式等价于： ，
令 ，
设 ，
求导得 ，可知 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故对数列 ，
， ，当 时 递减，因此 的最大值为 ，
故 ，即 的取值范围是 .
16．如图甲， 是等边三角形， 为等腰直角三角形， ，将 沿 翻折到 的
位置，其中 （如图乙），点F在线段 上（不含端点）．
(1)证明： ；
(2)设平面 与平面 的夹角为 ，求 的取值范围．
【详解】（1）如图，取 中点为E，连接 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
（2）因为 为等腰三角形， ，即 ，
所以 ，因为 为等边三角形，
所以 ，故 ， ，因为 ，则 ，即 ，又 ， ，
所以 ， ， 两两互相垂直，以E为原点， 为基底建立空间直角坐标系,
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，取 ，得 ，
设 ，所以 ，则 ，故 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，即 ，取 ，得 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 时， ，所以 ，
所以 .
17．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖
金可累计.具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖
金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）.
第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖
金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金.
(1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；
(2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望；(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第 局获胜的概率 .
（2）易知 ,
游戏Ⅰ第 局获胜的概率为 ，第 局获胜的概率为 ，则第 局和第 局均未获胜的概率为 ，
因此可知 ,
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的期望 或 .
（3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下：
记 分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额，
游戏Ⅰ第 局获胜的概率为 ，第 局获胜的概率为 ，第 局获胜的概率为 ，
,
游戏Ⅱ第 局获胜的概率为 ，第 局获胜的概率为 ，第 局获胜的概率为 ，
,
从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.18．已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论 在R上的单调性；
(3)若 对任意的 恒成立，求a的取值范围.
【详解】（1）当 时，函数 ，求导可得 ，
则有 ,
则 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）易知 ，
当 时， ，故 恒成立， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ,
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可知 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）不等式 即为 ，
即 对任意的 恒成立，设 ，易知
，令 ， 则 ，因为 ，所以
,因此 ，因此 在 上单调递增；
又 ，
当 时，即 时， ，即 在 上恒成立，
因此 在 上单调递增，所以 恒成立，满足题意；
当 时， ，由 可得 ；
此时 ，
易知当 时， ，
即 在 上单调递减，所以存在 ，这与 对任意的 恒成立矛盾，
综上可得 的取值范围为 .
19．已知公比为 的正项等比数列 ，满足离心率均为2的序列双曲线 的方程．在
中，点 到 一条渐近线的距离为 ，过 上一点 作 的两条弦 ， ，交
于另两点 ， ，且 的平分线垂直于 轴．
(1)求 的通项公式；
(2)求直线 的斜率；
(3)当 （ 为坐标原点）的面积为 时，直线 交 轴于 ，证明：
【详解】（1）因双曲线的离心率为2，故 ，
即 ，故公比 ．
在 中，由点 到 一条渐近线的距离为 （ 的短半轴长），得 是 的一个焦点，故 ，即 ，解得 ，
故 ．
（2）
由（1）知 ， ，
由题易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， ， ，
将 代入 中整理得， ，
且 ， ， ．
的平分线垂直于 轴， ，
得 ，即 ，
将 ， ， 和 代入整理得， ，
或 （舍，此时直线 过 ）， ．
（3）直线 的方程为 ， 到直线 的距离 ，
，
的面积 ，
或 （舍）， ，
， ， ，
．
