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2026 高考数学·百分卷（十一）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，若 ，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，所以 ，可得 ，解得 .
2．在递增的等比数列 中， ， ，则数列 的公比为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题设 ，易知 是方程 的两个根，又 为递增的等比数列，所
以 ，故公比 .
3．已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，则 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【解析】因为向量 在向量 上的投影向量为 ，所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 .
4．某精密仪器厂生产一种标准长度为 的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：
），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间 内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】C
【解析】由题意知， ，整理得 ，解得 .
所以任取一个垫片为合格品的概率为： .
5．已知双曲线 的渐近线方程为 ，且实轴长为2，则焦距为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】由题意可知 ，得 ，因双曲线 的渐近线方程为 ，
即 ，代入 得 ，所以 （ 为半焦距），即 ，故焦距为 .
6．已知 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及 求出 和 ，再根据二倍
角的正弦公式及降幂公式化简 ，代入计算即可．
【详解】由题设有 ，即 ，解得 或 ，因为 ，所以 ，则 ，
则 .
7．若 是函数 的极大值点，则 的极小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】由题意可知 ， ，
由 ，解得 .
当 时， ，
或 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
显然 是 的极小值点，不符合题意；
当 时， ，同理可得 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，
所以 是 的极大值点，符合题意，
故 是 的极小值点，则 的极小值为 .
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．8．已知 、 为非零复数，则下列选项中一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，取 ，可得 ，满足 ，但 ，所以A错误；
对于B，设
可得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，所以B正确；
对于C，由 ，
可得 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，所以C正确；
对于D，由 ，可得 ，
则 ，
，
可得 不一定为 ，所以D不正确.9. 记 是等差数列 的前 项和， 的公差为 ，已知 ，且 与 的等差中项为
，则（ ）
A. B. C. 最小 D.
【答案】BC
【解析】因为 是等差数列 的前 项和， 的公差为 ，则 ， ，
所以 ，故数列 是公差为 的等差数列，
对于A选项，由题意可得 ，故 ， ，所以 ，A错；
对于B选项， ，解得 ，B对；
对于C选项，由题意可得 ，解得 ，
所以 ，
故当 时， 取最小值，即 最小，C对；
对于D选项， ， ，
所以 ，D错.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．已知 ，且 ，则 ___________.【答案】
【解析】由题设 ，则 .
11．设 ，若函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为___________.
【答案】2
【解析】令 ， ，可得 ， ．
因为 在区间 上单调递增，所以 ， ，解得 ， ，
由 ，得 ，当 时，可得 ，故 的最大值为2．
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 过点 ，且与椭圆 相交于 ， 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值及此
时 的方程．
【解析】（1）（1）由两点间距离公式可得 ，
根据椭圆的定义可得 ，所以 ，又点 在椭圆上，代入得 ，解得
，因此椭圆的方程为 ．
（2）（2）设直线 为 ， ， ，
联立 ，化简得 ，则 ， ， ，
，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 ，亦即 时等号成立,
此时 取最大值为 ，所以 的方程为 .
13．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有极小值，且极小值大于0，求实数 的取值范围．（其中 是自然对数的底
数）
【解析】（1）当 时，则 ，故 ，
故 ， ，因此所求切线方程 ，即 ．
（2）由题意定义域为R， ，
（ⅰ）若 ，则 恒成立，可知 在R上递减，无极值，不合题意．
（ⅱ）若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
所以 ，即 ，令 ， ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以实数a取值范围为 ．
14．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，并求边长a的值．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【解析】（1）由余弦定理和 ，得
，
整理得 ，
由正弦定理，得 ．
因为 ，所以 ．
（2）若选择条件①．
由（1）可得， ．由 ，得 ①．
又由余弦定理，得 ，
解得 ②．
联立①②，解得 ， ，或者 ， ．
因此所求a的值是 或者 ．
若选择条件②，不符合要求，理由如下：
因为 ， ，所以 ，与正弦函数的值域矛盾，舍去；
若选择条件③．
由（1）可知， ．
又 ，
，故 ．
所以 ，
化简得 ，得 ，因此所求a的值是3．
