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2026 届高考数学押题预测密卷（一）
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】集合 ，
由 ，解得 ，故 ；
因此 .
2．在梯形 中， ， ， ， ， ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【详解】由题可知 ，所以 ，
因 ，
则
故选：C.
3．已知变量 线性相关，其一组样本数据 ，满足 ，用最小二乘法得到的经验回归
方程为 .若增加一个数据 后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据 的残差的绝对值为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【详解】由题设 ，则 ，
增加数据 后， ， ，且回归直线为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，有 ，故残差的绝对值为 .
故选：A
4．已知 是等差数列 的前 项和， ．若 ，则正整数 的最大值为（ ）
A．2026 B．2027 C．4052 D．4053
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，则等差数列 为递增数列，
，
，
故使得 的最大正整数 为 .
5．四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，
其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究
给四棱锥 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜
色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（ ）
A．36种 B．72种 C．48种 D．24种
【答案】B
【详解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择．
①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；
②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．
综上，不同的涂法种数为 ．
故选：B．6．已知函数 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，若函数 的值域为 ，则
函数 的最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】由函数 的值域为 ，得 ，
由 是定义在 上的奇函数，得 ，
由 是定义在 上的偶函数，得 ，
则 ，则 ，
所以 ，
而函数 与 的值域相同，
所以函数 的最大值为8.
7．已知函数 ，对任意的 满足 且 恒成立，
若 在 上单调递增，则当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，对任意的 ， 恒成立，说明 是 的最小值，即 ，是 的零点；
对任意的 ， 恒成立，说明 是 的最大值，即 是 的最值点.
两点横坐标差为 ，零点对应的点到相邻最值点的距离为 ，则 .
对 ，周期 ，得 .
由 得 ，故 ，
结合 ，得 ， .
验证单调性： ，当 时，则 ，
由于 在 单调递增，且 ，满足 在该区间单调递增.
则当 时， ， 在 的最小值为 ，因此 .
8．已知函数 ，若函数 有8个不同的零点，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，开口向下，对称轴为 ，
；
当 时， ， ，函数在 单调递减，在 单调递增；
作出 的大致图象如下，设 ，则关于 的方程 有2个不同的根 和 ，
且关于 的方程 分别有4个不同的根．
不妨设 ，则关于 的方程 需满足： ，
①若 ，则 ，故 ，
且 ，即 ，
解得 ；
②若 ，则 ，此时 ，符合题意，故 ．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列各结论中正确的是（ ）．
A．“ ”是“ ”的充要条件
B． 的最小值为2C．若a， ， ，则
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
【答案】AC
【详解】对A：因为 与 都表示“ 符号相同”，所以它们是等价的，即“ ”是“ ”的充
要条件，故A正确；
对B：因为 ，但等号成立的条件是： 即 ，
所以等号不成立，故B错误；
对C：因为 （当且仅当 时取“ ”）.故C正确；
对D：命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故D错误.
故选：AC
10．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列 满足 ，
，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．数列 的前20项和为110
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可得 ， ， ， ，
故A正确；对于B，因为 为偶数，所以 ，因为 为奇数，所以
，
所以 ，故B正确；对于C，因为 为偶数，所以 ，又因为 为奇数， ，
所以 ，所以 ，
所以
，故C错误；
对于D，数列 的前 项的和为 ，
所以
，故D正确.
11．数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 ， 两
点，点 是 上一个动点，则（ ）
A．点 在 上
B． 面积的最大值为1
C．曲线 恰好经过4个整点（即横，纵坐标均为整数的点）
D．
【答案】BCD
【详解】将点 代入曲线 的方程左侧可得 ，所以点 不在 上，故 错误；
取 可得 ，所以 ， ，所以 ，由曲线 可得
，因为 ，设 ，当 时， ，
当 时， ，代入曲线 的方程成立，所以直线 与曲线 的交点坐标为 ，
所以 点的纵坐标的绝对值的最大值为 ，
所以 面积的最大值为 ，故 正确；
取 可得 ，所以 ， ，
取 可得 ，所以直线 与曲线 交于点 ，
直线 与曲线 交于点 ，
所以曲线经过点 ， ， ， ，故 正确；
坐标平面内到定点 ， 的距离和为 的点的轨迹为以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆，
设椭圆方程为 ，由已知可得 ，又 ， ，
所以 ，
所以椭圆方程为 ，
联立 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
故椭圆 与曲线 的交点为 ， ，
如图，故曲线 上所有点都满足 ，故 正确.
故选： .
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ，则 ______．
【答案】
【详解】令 ，可得 .
令 ，可得 .
.
13．已知函数 ，若关于x的不等式 有解，则m的取值范围是
___________．
【答案】
【详解】由 ，得 ，显然 ，
所以 在 有解，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，则 ，即 的取值范围为 .
14．设圆台的上下底面半径分别为 和 ，母线长为 ，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当 取到
最小值时， ____________．
【答案】
【详解】设圆台的侧面积为 ， ， ，
由圆台的侧面积等于上下底面的面积之和得 ，
化简得： ，所以 ，
，令 ，
得
，
等号当且仅当 时成立，
此时有 ，即 ，因为 ，所以满足题意，
故当 取到最小值时， .
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤。
15．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；(2)求 的最小值．
【答案】(1) ； (2) ．
【详解】（1）方法一：直接法
可得 ，
则 ，即 ，
注意到 ，于是 ，
展开可得 ，则 ，
又 ， .
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为 ，
即 ，
而 ，所以 ；
方法三：导数同构法
根据 可知， ，
设 ， ，
则 在 上单调递减， ，
故 ，结合 ，解得 .
方法四：恒等变换化简，
结合正切函数的单调性， ，则 ，
结合 ，解得 .
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以由正弦定理得
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
16．在公差不为0的等差数列 中，已知 成等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，即 ，即
又因为 成等比数列，所以 ，即 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ， ，所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，
所以 ，
因为 ， ，
可得 ， ，
所以 ，所以数列 的前2n项的和为 ．
17．如图，已知点 是半圆弧 所在圆的圆心，点 是 上异于 的点，三棱锥 的外接球的表面积
为 ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)当点 是 上靠近点 处的三等分点时，求二面角 的余弦值．
【详解】（1）设三棱锥 的外接球球心为点 ，半径为 ，则 ，解得 ，
由 ，得 的外接圆半径 ，
则 ，点 也为 外接圆的圆心，连接 ，得 ，在 中，由 ，得 ，由 在 上，
得 ，又 ，则 ，即 ，
而 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知， 平面 ，在平面 内作 ， ，
则直线 两两垂直，以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，
由点 是 上靠近 点的三等分点，得 为等边三角形，
则 ， ，
设平面 的法向量是 ，则由 ，取 ，得
，
平面 是平面 的一个法向量，则 ，
由图知二面角 的大小为锐角，所以二面角 的余弦值是 ．
18．已知双曲线 的左顶点 到其渐近线 的距离为 ，过右焦点 的任意直线
与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线 分别交于P，Q两点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线FP，FQ的斜率分别为 ，则 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1) (2)是，
【详解】（1）由渐近线方程为 得 ，
左顶点 坐标为 ，则点 到渐近线的距离 ，
解得 ，则 ，
双曲线 的标准方程为
（2）设点 ，
依题意知直线 的斜率不为0，设直线 ，与双曲线 联立，
化简得 ，
则 ， ，
根据韦达定理，可得
点 坐标为
直线 与直线 的交点 坐标为 ，
同理可得点 .19．在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 ．每次从口袋中随
机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 ，其期望为 ．
(1)求 与 ；
(2)求 ；
(3)证明： ．
附：①若随机变量 的可能取值为 ，则
②若随机变量 ，则 ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见详解
【详解】（1） 表示袋中共两个球，前3次摸出同一个球，第4次才摸出另一个球，故 ，
表示袋中共3个球，前4次摸出的是两个不同编号的球，第5次才摸出最后一个编号的球，
第5次才摸出第三个编号的球，则前4次摸球中，另外两个编号球各至少摸到一次，
则 ．
（2）依题意可得： ，
则 ，
所以
设 ，，
作差可得 ，
所以 ，
所以
（3）设随机变量 表示，恰好记录了 个不同的编号下，继续摸球直到记录到第 个新的编号所需要的摸球次
数，
则 ，其中 ，
则 ，
，
设 ，
作差可得： ，
所以 ，
所以 ，即 ，
令 ，当 时， ，所以 在 单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
