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2026 高考数学·百分卷（八）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数 模为 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】解法1：由 ，所以 ，解得 .
解法2：由已知 ，解得 .
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，即 ，即 ，解得 ，所以集合 ，
又集合 ，所以 ，即
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 ，则 ，则 ，所以 ，
解得 .
4．椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．【答案】D
【解析】椭圆方程 ，焦点在 轴上，令 .
其中 ， ，离心率 ，则 .
代入得 ， ， .解得 ，又 ，故 .
5．已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由等比数列的性质得 .
由于 的各项均为正数，所以 .
6．在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ， ，
的面积为 .
7．定义在R上的奇函数 ，满足 ，当 时 ，则
（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】B
【解析】因为 是奇函数，所以 ，则 ，
所以 ，故 是以4为周期的周期函数，则 .
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．已知函数 图象的一个对称中心是 ，点 在
的图象上，则（ ）
A． B．直线 是 图象的一条对称轴
C． 在 上单调递减 D． 是奇函数
【答案】ACD
【解析】因为点 在 的图象上，所以 ．又 ，所以 ．
因为 图象的一个对称中心是 ，所以 ，则 ．
又 ，所以 ，则 ，A正确．
，则直线 不是 图象的一条对称轴，B不正确．
当 时， ，单调递减，C正确．
，是奇函数，D正确．
9．设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若 则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．虚半轴长为4
C．离心率为2 D．渐近线方程为
【答案】ACD
【解析】A选项，由题意得 ，
又 ，由双曲线定义可知 ，故 ，
顶点坐标为 ，A正确；
B选项， 中，令 得 ，
故 ，又 ，解得 ， ，
故虚轴长为 ，B错误；
C选项， ，所以 ，离心率为 ，C正确；
D选项，渐近线方程为 ，D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．已知二项式 展开式中 的系数为40，则实数 ____________.
【答案】
【解析】二项式 的通项为 ，
因为二项式 展开式中 的系数为40，
所以令 ，解得 ，即 ，解得 ．
11．已知函数 在区间 上单调递增，则a的取值范围为____________.【答案】
【解析】函数 的定义域为 ， ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
故 在 上单调递减，
故 ，故 的取值范围为 .
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 已知数列 ， ， ．
（1）求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
【解析】（1） ，且
因此， 是以 为首项， 为公比的等比数列
（2）由（1）： ，因此
令两式相减得：
所以， .
13．新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难
以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，
图象中的噪声残留量 （单位：个/像素）进行检测，统计得到下表：
第 轮迭代 1 2 3 4 5
噪声残留量
（个/像 70 60 52 45 38
素）
并计算得： ．
（1）计算变量 （迭代轮数）和变量 （噪声残留量）的样本相关系数 ，并说明两变量线性的相关程
度；
（2）若图象中的噪声残留量不高于 个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求 关于 的经验
回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？
参考数据及公式：
样本数据 的相关系数 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计值分别为： ， ．
【解析】（1）由题可得： ，
样本相关系数
，非常接近 ，说明迭代轮数 与噪声残留量 之间存在极强的负线性相关关系；
（2）噪声残留量 的取值为
因此： ，
根据题意可得 ，
所以 关于 的经验回归方程为 ，
要使图象中的噪声残留量不高于25个/像素，则 ，即 ，
所以该AI模型至少需要迭代 轮才可以完成降噪.
14．如图，在四棱台 中，上、下底面均为正方形， 底面 ， ， ，
，点 为棱 的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.
【解析】（1）证明：连接 交 于 点，如图所示：
由 是正方形得 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 为 的中位线，
于是 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）由已知， 平面 ， ，
所以以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为 ，所以 ，
因为点 为棱 的中点，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
又 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
记平面 与平面 的夹角的大小为 ，则：
，
由图可知平面 与平面 的夹角为锐角，故 .
