2026届高考数学百分练（十三）（7+2+2+3）（教师版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_132027届高考数学满分卷测试练习

2026 高考数学·百分卷（十三）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以 .
2．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 .
3．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
故 .
4．在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 .设 ， ，则
.代入 ，得 .
又 ，所以 ，解得 .因此 .
5.已知O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，M为C上一点， ，则 （ ）
A. B. C.4 D.
【答案】B
解析】法—：易知 ，抛物线C的准线为直线 .设 ，由抛物线的定义可知
【
，所以 ，又 为C上的点，所以 ，因此
.
法二：易知 ，设 ，则 ，得 ，所以
.
ABCDABC D AB  AA 2
6.在正四棱台 1 1 1 1中，AB4， 1 1 1 ，则该正四棱台的体积为（ ）
28 3 28 2
3 3
A. B. C. D.
【答案】B【解析】作出正四棱台的轴截面，如图，过点 作 ，垂足为E.在正四棱台
AB  AA 2 AC 4 2 AC 2 2 CC  AA 2 ACC A
中， ， 1 1 1 ，则 ， 1 1 ， 1 1 ，即梯形 1 1为等
AE  AE  2
腰梯形，所以 1 ，所以该正四棱台的体积
.
7.定义在R上的奇函数 满足 ，且 在 上单调递增，设 ，
， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 为奇函数，所以 ，所以 ，所以
，所以函数 是以8为周期的周期函数. ，
.又 在 上单调递增，且 ，所以
，即 .二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8.已知 ， ， ，…， 的平均数和方差分别是8和1.5，设一组数据0， ， ， ，…， ，20
的平均数和方差分别是 和 ，另一组数据 ， ，…， 的平均数和方差分别是 和
，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.若 ，则 D.若 且 ，则
【答案】AC
【解析】A正确，由题意得 ， ，
所以 ， ，从而
.
错误 ，将0和20作为一组，其平均数和方差分别为 ，
B
，故 ，
.
C正确，若 ，则 ，得 .
D错误，当 时，由 ，得 ，解得 .9. 如图，在正三棱柱 中，点P，Q，M，N分别是 ， ， ，BC的中点，则下列
说法中正确的有（ ）
A. 平面ABC B.
C. 平面 D. PQ与MN相交
【答案】ACD
【解析】对于A，取 的中点D，连接 ， .在 中， P，D分别为 ， 中点，
，且 .在直三棱柱 中， ， .
Q为棱 的中点， ，且 . ， .
四边形 为平行四边形，从而 .
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，A正确，
对于B，因为 为 的中点，若 ，则 ，
连接 ， 为 的中点，则 ，又 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，设 ， ，则 ， ，
所以 ， ，与 矛盾，所以 不成立，B错误，对于C，在直三棱柱 中， 平面 .
又 平面 ， . ，D为 中点， .
由选项A的推理知 ， ， .
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，C正确；
对于D，因为 为 的中点，四边形 为矩形，所以点 为 的中点，又 为 的中点，
所以 ，且 ，
又 分别为 的中点，所以 ， ，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，故 与 相交，D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．已知正数x，y满足 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为正数x，y满足 ，所以 ，即 ，
所以，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为 .
11.已知 ， 为锐角， ， ，则 __________.
【答案】
【解析】法一：由题可得 ， ，因为 ，所以 ，
故 ， ，
又 ，所以 ， ，故 .
所以 .
法二：由题可得 ， ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，故 .
因为 ，所以 ，
所以
，所以 ，故 ，所以 .
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知 的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c， ， ，
， 内存在一点D使得 ， ，
（1）求 ；
（2）求 .
【解析】（1）由 ，得 ， 为直角三角形且 ，
由勾股定理 ，故 .
因为 ，所以 ，即 ，解得 .
在 中，由余弦定理：
代入 ， ， ，得
即 ， .
解得 .
（2）由 ，得 ， .
在 中， ， ， .由余弦定理： .
代入得 ，即 .
在 中， ， ， .
由余弦定理： .
代入得 .
由同角三角函数关系， .
故 .
13.已知等差数列 的公差 ， 是 ， 的等比中项，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）给定正整数m，设函数 ，求 .
【解析】（1）因为 是 ， 的等比中项，所以 ，
即 ，整理得 ，
又 ，所以 .①
因为 ，所以 ，即 ，即 .②
由①②得 ， ，
所以 的通项公式为 .（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
x2 y2  3
C:  1(a0)  1, 
14.已知椭圆 a2 3 经过点  2 ，过点 T( 3,0) 的直线交该椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆C的标准方程.
△OPQ
（2）求 面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线PQ的方程.
S(s,0) PST QST
（3）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出
s的值；若不存在，说明理由.
 3
1,
 
 2
【解析】（1）将 代入椭圆方程，得 ，则 ，
所以椭圆方程为 .
（2）当直线PQ的斜率为0时，此时O，P，Q三点共线，不合要求，舍去；
当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为 ， ， ，
由 ，消去x得关于y的一元二次方程 ， ， ，则
， ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
△OPQ 3
故 面积的最大值为 ，此时直线PQ的方程为 或 .
4 3 
S ,0
 
 3  PST QST
（3）在x轴上存在点 ，使得 恒成立，理由如下.
PST QST k k 0
因为 ，所以 PS QS ，
y y
1  2 0
x s x s
即 1 2 ，整理得 ，
即 ，所以 ，
 3   6 3t 
2t    3t2 4   ( 3s)    3t2 4    0 t 0
则 ，又 ，解得 .
故在x轴上存在点 ，使得 恒成立.