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2026年高考数学8+3+3+1强化训练(12)【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数 满足： ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因为复数 满足： ，
所以 ，所以 ，解得 .
所以 .
故选：B.
2.一批零件共有10个，其中有4个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从10个零件中随机抽取3个零件的试验有 个基本事件，
恰好有1件不合格的事件 有 个基本事件，所以 .
故选：B.
3. 已知等差数列 前n项和为 ，若 ，则 ＝（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】在等差数列 中， ，则 .
故选：C.
4.连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得 分，记总得分为X，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】设 为正面向上的次数，则 ，
总得分 ,
由于 ， ，
所以
，所以D正确.
故选：D
5.若 （其中 ）是偶函数，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意知： ，
则 ，
化简为 ，则 ，解得 ．
故选：A．
6.记半径为R的球体的表面积和体积分别为 和 ，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别
为 和 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意， ，设该圆锥的高为h，
则 ， .
由 可得 ，化简得 ，
故 .
故选：D.7.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深
入的研究.设 均为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为
，如8和14被3除得的余数都是2，则记 .若 ，且
，则 的值可以是（ ）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
【答案】A
【解析】
，
故 被10除得的余数是1，所以 被10除得的余数也是1，
其中 满足要求，其他三个选项不合要求.
故选：A
8.已知 分别是椭圆 的左､右焦点， 是 上一点，若 ，
且 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，由椭圆的定义可得， ，
可设 ，可得 ，即有 ，即 ，
由 ，结合余弦定理可得
，即可 ，
故 ，
可得 ，
由 ，可得 ,进而 ，则 ，解得 .
故选：B
二、多项选择题：
9.已知复数 ，其中 ， ， 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 是 为纯虚数的充要条件
C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最大值为
【答案】AD
【解析】因为 ，
对于A，若 ，则 ，所以 ，故A正确，
对于B，若 为纯虚数，则 且 ，所以 是 为纯虚数的必要不充分条件，故B错
误，
对于C，若 ，则 ，所以C错误，
对于D，若 ，则 ，即 ，令 ，
则 ，当 ，
即 时，取等号，所以D正确.
故选：AD
10. 设 为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（ ）
A. 样本估计总体时，总体的均值一定为
B. 反应了 取值的平均水平
C.
D. 若 服从 分布，则
【答案】BCD
【解析】对于A，用样本估计总体时，样本的均值为随机变量，总体的均值是固定的，故错误；
对于B，期望的含义是反映了随机变量取值的平均水平，故正确；
对于C, 故正确；
对于D, 分布的期望为 ，故正确．故选：BCD
11. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 的面积为 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为1 D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意得 ，即 ，
由正弦定理可得 ，即 ，故A正确．
对于B，因为 ，且 ，即 ，
则 ，
两边同时乘以2得 ，
即 ，
由正弦定理可得 ，故B正确；
对于C， ， ，因为 ，
则当 时， 取得最大值为1，
但是由 ，即 ，则 ，
此时 ，不满足题意，故C错误；
对于D，由余弦定理得 ，且 ，
则有 ，
所以 ，
其中 ，则可得 的最大值为 ，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：
12.在平面直角坐标系中， ，点 满足 ，则 面积的最大值是 .
【答案】【解析】设点 ，由 可得 ，整理得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，
又直线 与 轴重合，所以点 到直线 的最大距离为圆的半径，
所以 面积的最大值为 .
故答案为： .
13.某中学高二年级学生有 人，在某次数学考试中，数学成绩 近似服从正态分布 ．
已知 ，则本次考试数学成绩大于 分的人数约为______．
【答案】
【解析】已知数学成绩 ，则分布关于 对称， ，
因为 ，
则 ，
，根据正态分布的对称性可知： ，
正态分布是连续分布，
，故 ，
已知总人数为 ， 数学成绩为 分以上的人数为： ．
故答案为： ．
14.甲､乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的
概率是 ，乙获胜的概率为 ，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜
的概率为 .
【答案】
【解析】甲以3：0获胜的概率为 ，以3：1获胜的概率为 ，
以3：2获胜的概率为 ，
所以甲获胜的概率为 .
故答案为：四、解答题
15.如图：正八面体 可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何
体．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，点 为棱 上的动点，则直线 与平面 所成的角的正弦值的范围．
【解析】（1）连接 ，先证 ， ，根据面面平行的判定定理证明；
以点 为原点， 为 轴，求出平面 的法向量，根据线面角的向量公式
求解.
连接 交于点 ，则 四点共面，且 为 的中点，
所以四边形 都是平行四边形，所以 ， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ， 平面 ，又 在平面 内相交于点 ，
所以平面 平面 .
（2）根据正八面体结构，以点 为原点， 为 轴，如图建立空间直角坐标
系
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，所以 ，即 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
因为点 为棱 上的动点，
所以设 ，
则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
，
又 ，
当 时， ，当 或0时， ，
故直线 与平面 所成角的正弦值的范围 .
