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专题27 机械能守恒定律及其应用
题型一 机械能守恒条件的判断.................................................................................................................... 4
题型二 机械能守恒在单物体中的应用........................................................................................................7
题型三 机械能守恒在曲线运动中的应用..................................................................................................10
题型四 机械能守恒在杆连系统中的应用..................................................................................................14
题型五 机械能守恒在绳连系统中的应用..................................................................................................18
题型六 机械能守恒在弹簧类问题的应用..................................................................................................21
题型七 机械能守恒中的图像问题..............................................................................................................25
课时精练..........................................................................................................................................................29
【基础回顾】
一、重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝ mgh 。
(2)重力势能的特点：重力势能是物体和地球 所共有的，重力势能的大小与参考平面的
选取有关 ，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关 。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－
ΔEp。
(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。
4．弹性势能
(1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。
(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系
数越大，弹簧的弹性势能越大。
二、机械能守恒定律
1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械
能保持不变。
(2)守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。
知识点一 机械能守恒的判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个
物体的机械能守恒，而是系统的机械能守恒。
2．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力
势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变
化。
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不
做功，机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形
式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，
如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
知识点二 机械能守恒问题的初步应用
1．机械能守恒的三种表达式
守恒观点
E1＝E2
要选零势能参考平面
转化观点
ΔEk＝－ΔEp
不用选零势能参考平面
转移观点
ΔEA＝－ΔEB
说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
知识点三 系统的机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况
为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v＝ωr 知，v 与r 成正比。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
题型一 机械能守恒条件的判断
1．军事演习中，一台油电混合无人机通过缆绳O
′O连接OA、OB、OC、OD 四根等长的绳索运送质量为
m 的橡皮艇，结点为O，A、B、C、D 四点在同一水平面内且OA = AB = BC =CD = DA。在无人机与橡
皮艇一起沿竖直方向匀加速上升的过程中，加速度大小为a，缆绳O
′O始终竖直，空气对橡皮艇的作用力
大小恒为f，方向竖直向下。不计缆绳与绳索质量，无人机燃油消耗不能忽略，重力加速度为g。下列说
法正确的是（ ）
A．橡皮艇的机械能守恒
B．无人机受到空气的作用力保持不变
C．绳索OA 受到的拉力大小为
❑√2
4
(mg+ f )
D．当速度为v0时绳索OA 对橡皮艇的拉力的功率为1
4
(mg+ f +ma)v0
2．国庆期间，重庆的无人机表演吸引了大量游客观赏。下列关于某匀速直线上升的无人机的说法，正确
的是（ ）
A．所受合力为零
B．重力的功率为零
C．重力的冲量为零
D．机械能守恒
3．如图，汕头市儿童公园的旋转飞椅在悬挂结构的电机驱动下运行，座椅与游客在水平方向做匀速圆周
运动，同时沿竖直方向匀加速上升。已知座椅与游客总质量为60 kg，转动半径为5 m，角速度为1.0
rad/s，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．座椅与游客处于失重状态
B．座椅与游客做匀变速曲线运动
C．座椅与游客的向心力大小为360 N
D．座椅与游客的机械能随时间不断增大
4．如图所示，在水平圆盘上从圆心O沿半径方向开有一光滑细槽，在槽内一根细线一端固定于O点，另
一端连接小球，轻弹簧一端连接小球，另一端固定在圆盘边缘。圆盘始终绕过圆心O的竖直轴匀速转动，
小球位于P点，弹簧处于原长。现烧断细线，小球在槽内P、Q间来回运动，弹簧始终在弹性限度内，则
（ ）
A．小球速度方向始终与细槽垂直
B．小球加速度方向始终指向O点
C．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
D．从P到Q过程，槽对球做的功大于弹簧弹性势能增量
5．如图所示，一辆汽车通过一段水平路面后平缓开上立交桥的引桥，图中ab 段为水平路面，cd 段为平
直上坡路面。行驶过程中汽车的速率保持不变，不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下
列说法正确的是（ ）
A．汽车在行驶过程中牵引力保持不变
B．汽车在行驶过程中机械能保持不变
C．在cd 段汽车的输出功率逐渐增大
D．在cd 段汽车的输出功率比ab 段的大
6．如图所示，两名同学在水平地面上练习排球垫球。垫出点与接住点高度相同。左侧同学先后两次以不
同初速度v1、v2将排球斜向上垫出，排球沿两条轨迹运动，右侧同学在同一位置接住排球。不计空气阻
力，下列说法正确的是（ ）
A．两次垫球的初速度v1一定大于v2
B．两次排球到达最高点时的速度大小相等
C．排球沿轨迹1 运动时，在空中运动的时间更长
D．两次运动中，排球的机械能一定相同
7．如图所示，光滑水平地面上有一倾角为θ的斜面体，斜面体左侧有竖直固定墙面，一光滑小球被夹在
竖直墙面与斜面体之间，初始时系统静止，现释放斜面体，小球沿竖直墙面向下运动，斜面体沿水平地
面向右运动，不计一切摩擦。下列说法不正确的是（ ）
A．小球下落过程中，重力与斜面体对小球的支持力做的总功，等于小球动能的变化量
B．小球与斜面体组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒。
C．小球与斜面体组成的系统，在运动过程中动量守恒
D．小球下落时，小球减少的重力势能，等于小球增加的动能与斜面体增加的动能之和
8．（多选）游乐园某游戏装置简化图如下，用一根长为L 的细线把质量为m 的小球P 悬挂在倾角为30
∘
斜面上的O 点，小球静止在最低点，质量为0.5m 的子弹以某初速度沿水平方向打入小球并留在其中，小
球恰能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，不计一切摩擦。下列说法中正确的是（ ）
A．整个过程中系统的机械能不守恒
B．小球做圆周运动过程中的最小速度为 ❑√gL
C．子弹打入小球前后细线拉力大小的变化量为4mg
D．子弹的初速度大小为 3
2
❑√5 gL
9．（多选）新能源汽车的能量回收过程，简单来说，就是将车辆减速或滑行时的“动能”，转化为电能
存回电池的过程。当新能源车辆处在某下坡路段时松开油门，仪表盘PWR（功率输出）会显示为负值，
即能源回收过程，发现速度依然在增大，此下坡过程以下说法正确的是（ ）
A．过程中汽车的机械能依然守恒
B．过程中汽车重力势能减少量一定大于克服摩擦力做的功
C．过程中合外力对汽车做功一定等于汽车动能的变化量
D．若中途关闭能源回收系统，汽车下滑的全过程中加速度一直不变
10．（多选）如图所示，一个长方体和一个倾角为30
∘的斜面体紧密连接固定放置在水平地面上，长方体
的上表面粗糙，左侧有一个竖直固定的挡板，右侧有一个光滑定滑轮，斜面体的上表面光滑。将两个质
量均为m=1kg的物块A和B放在长方体上，物块A、B之间用一个劲度系数为k =50 N / m的轻弹簧连接，
物块A和B与长方体上表面的摩擦因数均为0.5，物块B的右端连接一条轻绳，轻绳跨过定滑轮连接着一个
质量也为m的物块C。初始时控制物块C不动，使细绳刚好拉直但没有弹力且物体B恰好不向右滑动，轻绳
水平部分与长方体表面平行，倾斜部分与斜面平行，重力加速度g取10 m /s
2，轻绳无伸缩性，最大静摩
擦力认为等于滑动摩擦力，不计空气阻力，长方体和斜面都足够长，弹簧弹性势能表达式为Ep= 1
2 k x
2。
现在由静止释放物块C，在物块C下滑过程中下列说法正确的是（ ）
A．释放物块C瞬间，轻绳的拉力大小为2.5 N
B．三个物块和弹簧组成的系统机械能守恒
C．物块C的最大速度为0.5 m /s
D．物块C下滑到最低点后会沿斜面向上滑动
题型二 机械能守恒在单物体中的应用
1．2025 年7 月“浙BA”在浙江全省火爆开打。如图所示，运动员在不同位置以相同速率斜向上抛出质量
为m 的篮球，均空心落入篮筐。已知甲、乙两球出手高度相同，忽略空气阻力，则篮球从抛出到入框的
过程中说法正确的是（ ）
A．两球入框时的速度相同
B．甲球在空中运动的时间一定大于乙球
C．若两球同时抛出，两球有可能同时到达P 点
D．若两球同时抛出，同一时刻两球对应的机械能始终相等
2．如图所示，足够长的粗糙斜杆固定在水平地面上，斜杆与地面之间的夹角为60°。斜杆上套有一金属
环，一小球用轻绳与金属环连接。已知小球与金属环在下滑过程中始终保持相对静止，且轻绳与竖直方
向的夹角为30°。斜杆上某处有一挡板，金属环与挡板发生碰撞前速度大小为10m/s，碰撞后金属环立刻
停止运动，小球由于惯性继续运动。重力加速度g=10 m/s
2，则下列说法中正确的是（ ）
A．斜杆与金属环的动摩擦因数为
❑√3
5
B．斜杆与金属环的动摩擦因数为
❑√3
6
C．当小球摆动至与斜杆碰撞前瞬间，小球速度大小为5 ❑√3 m/s
D．当小球摆动至与斜杆碰撞前瞬间，小球速度大小为10 m/s
3．如图所示，在地面上以初速度v0抛出质量为m 的小球，抛出后小球落到比地面低h 的海平面上。若以
地面为零势能面，且不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．重力对小球做的功为mgh
B．小球在海平面上的重力势能为mgh
C．小球在海平面上的动能为1
2 m v0
2−mgh
D．小球在海平面上的机械能为1
2 mv0
2+mgh
4．质量为0.2kg 的石块从距地面10m 高处以30°角斜向上方抛出，初速度v0的大小为10m/s。选抛出点所
在水平面为重力势能参考平面，不计空气阻力，g 取10m/s2。则从抛出到落地过程中（ ）
A．石块加速度不断改变
B．石块运动时间为1s
C．落地时石块具有的机械能为10J
D．在最高点石块所受重力的功率为10 ❑√3 W
5．在缓震材料上方高度H1为0.6 m 处，将质量0.6 kg 的钢球以一定初速度v0竖直向下抛出，钢球刚接触
缓震材料时速度大小为4 m/s，与缓震材料的接触时间为0.1 s，钢球反弹的最大高度H2为0.45 m。假设钢
球始终在竖直方向运动，不计空气阻力。钢球从抛出到反弹至最高点过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．钢球的机械能损失0.9 J
B．钢球的平均速度大小为0.25 m/s
C．重力对钢球做的功等于钢球动能的变化量
D．合外力对钢球做的功等于钢球机械能的变化量
6．如图所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端连接质量为m的小球。先把绳子拉直且处于水平位
置，然后由静止释放小球，设O点所在的水平面为重力势能的零势面，不计空气阻力。当细绳与水平方向
夹角为θ时（θ小于90°），下列说法正确的是（ ）
A．L一定时，θ越大，小球的机械能E越大
B．θ一定时，L越大，小球的向心加速度a越大
C．θ一定时，绳的拉力与绳长L无关
D．L一定时，θ越大，小球所受重力的瞬时功率越大
7．2023 年5 月7 日，在加拿大举行的世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站顺利落幕，中国跳水“梦之队”实
现包揽全部9 枚金牌的壮举，以9 金1 银的成绩位列奖牌榜第一。如图所示，某质量为m 的运动员（可视
为质点）从距离水面高度为h 的跳台以初速度v0斜向上起跳，最终落水中。重力加速度大小为g，不计空
气阻力，以跳台所在水平面为重力势能的参考平面，则（ ）
A．运动员在空中运动时的机械能先减小后增大
B．运动员入水时的动能为1
2 m v0
2+mgh
C．运动员入水时的机械能为1
2 mv0
2−mgh
D．运动员入水时的重力势能为mgh
8．（多选）投掷标枪是运动会的比赛项目。运动员将标枪抱在离地面1.6m高的位置，之后有三个阶段：
①运动员与标枪一起由静止加速至速度8m/ s；②以8m/ s的速度为基础，运动员经0.8 s的时间将标枪
举高至2.0m处，并以26m/ s速度将标枪掷出；③标枪离手后向斜上方运动至离地面18m的最高点后再
向斜下方运动至地面。若标枪的质量为0.8kg，离手后运动的最大水平距离为60m。取地面为零势能参考
面，g=10m/ s
2。则下列表述中正确的有（ ）
A．第①阶段中，运动员对标枪做功25.6 J
B．第①②阶段中，标枪获得的最大动能为51.2J
C．第①②③阶段中，标枪的最大机械能为236.4 J
D．第②阶段中，运动员对标枪做功的平均功率为310W
9．（多选）如图甲所示为避险车道，用于车辆在刹车失灵时进行减速避险，其简化模型如图乙所示。一
辆质量为m 的货车刹车失灵后冲上避险车道，经过A 点时速度大小为v0，到达C 点时速度恰好减小为0，
B 点为AC 中点，AC 两点高度差为h，货车从A 到C 的运动视为匀变速运动，重力加速度大小为g，则货
车（ ）
A．从A 到C 的过程中，机械能减少了1
2 mv0
2
B．从A 到C 的过程中，机械能减少了1
2 m v0
2−mgh
C．从A 到B 与从B 到C 所用的时间之比t AB
t BC
= ❑√2−1
D．从A 到B 与从B 到C 所用的时间之比t AB
t BC
=
1
❑√2−1
10．（多选）一质量为m 的小物块由斜面底端的A 点以某一初速度冲上倾角为30°的固定斜面做匀减速直
线运动，减速的加速度大小为g，物体沿斜面上升的最大高度为h，在此过程中（ ）
A．上升过程中阻力做功为mgh
B．物体上升到最大高度的过程中机械能增加了mgh
C．物体的重力势能增加量为mgh
D．上升过程中动能减少了2mgh
题型三 机械能守恒在曲线运动中的应用
1．如图所示，竖直固定放置等高的光滑斜面和四分之一圆弧面，圆弧面的最底端切线水平，圆弧长和斜
面长相等，质量相等的A、B 两个小球从最高点由静止释放，不计小球的大小，下列说法正确的是
（ ）
A．两小球到达底端时速度相同
B．两小球到达底端时动能不同
C．两小球到达底端时A 球重力瞬时功率比B 球重力瞬时功率大
D．两球从静止运动到底端过程中，A 球重力平均功率比B 球重力平均功率大
2．如图所示，光滑的水平轨道上有形状、大小凹轨道和凸轨道在竖直面内，轨道平滑连接。将完全相同
的甲、乙两小球分别向左右两个方向以相同的速率v0释放，两球都沿轨道运动，分别到达M、N 两点，则
下列说法正确的是（ ）
A．甲球在凸轨道最高点受到的支持力大小一定等于小球的重力大小
B．v0越大，乙球在凹轨道最低点受到的支持力越大
C．乙球在凹轨道最低点处于失重状态
D．甲球到达M 点时的速度小于乙球到达N 点时的速度
3．2026 年冬奥会，我国运动员在自由式滑雪空中技巧赛中夺得男、女单项金牌。该项目场地示意图如图
所示，ac 和fg 段为斜面，cde 为圆弧（d 为圆弧最低点，O 为其圆心），运动员从斜面ac 上某处无初速滑
下，进入圆弧后从e 点滑出，最终落在斜面fg 上。h 为空中运动过程的最高点，m、n 点分别与e，d 点等
高。若忽略运动过程所有阻力，将运动员视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员经过e、m 两点时速度相同
B．若运动员从与O 点等高的b 点出发，则h 点与O 点等高
C．运动员在de 段运动的时间一定比在m、n 两点间运动时间长
D．运动员在斜面fg 上着地时，其速度方向有可能与水平地面垂直
4．如题图所示，一质量为M、半径为R、内壁光滑的半圆槽放在粗糙水平地面上，半圆槽与地面间的动
摩擦因数为μ。一质量为m的小球，从半圆槽的最左端与圆槽圆心等高位置由静止释放。已知在小球运动
的过程中半圆槽始终相对地面静止，不计空气阻力，重力加速度为g。释放小球后，下列说法正确的是（
）
A．小球加速度的最大值为3
2 g
B．地面对半圆槽摩擦力的最大值为1
2 mg
C．μ的最小值为
3m
2❑√M (3m+ M )
D．当小球运动到最低点时，地面对半圆槽的支持力F N <(m+ M )g
5．如图所示，a、b 两小球（均可视为质点）通过轻质细线连接跨在光滑轻质定滑轮（视为质点）上。开
始时，a 球放在水平地面上，连接b 球的细线伸直并与水平方向夹角为60°，现由静止释放b 球，当连接b
球的细线摆到竖直位置时，a 球对地面的压力恰好为0。则a、b 两球的质量之比为（ ）
A．1:1
B．2:1
C．3:1
D．3:2
6．如图所示，一小球从A点以初速度v0沿光滑水平面出发恰好能经过半径为R的竖直光滑圆弧轨道最高
点B点，OB与水平方向夹角θ =30°，则小球出发时的初速度v0是（ ）
A．❑√
5 gR
2
B．❑√3 gR
C．❑√
7 gR
2
D．2❑√gR
7．一个小球以大小为v0的初速度，分别通过两种固定轨道，第1 种是半径为R 的光滑竖直半圆轨道，第
2 种是光滑斜直轨道（轨道足够长），不计空气阻力，以下说法正确的是（ ）
A．小球沿第1 种轨道运动一定能到达轨道最高点
B．小球沿第1、2 两种轨道运动所达到的最大高度可能相同
C．小球沿1、2 两种轨道运动到最高点时克服重力做功一定相等
D．小球沿1、2 两种轨道运动增加的重力势能一定相同
8．（多选）如图所示，机械加工厂中将做好的质量为m 的球形工件在高为H 的左侧平台边缘处静止释放，
工件沿光滑轨道滑入质量为3m 的半圆形圆槽。圆槽可自由移动，圆槽最低点与地面高度差不计。圆槽与
右侧平台接触时，小球刚好到达圆槽右侧最高点且相对圆槽速度为零被右侧平台上的人接住，右侧平台
高度与圆槽圆心O 点等高，不计一切摩擦和人的高度，小球可看作质点，重力加速度为g，则（ ）
A．小球到达右侧平台被接住时速度大小为
❑√gH
4
B．小球到达右侧平台被接住时速度大小为
❑√2 gH
4
C．右侧平台的高度为3
5 H
D．右侧平台的高度为3
4 H
9．（多选）单板滑雪大跳台主要由助滑道，圆弧形起跳台和着陆坡组成，起跳台的半径为20 米，起跳
方向与水平方向成30°角，如图所示为简化示意图。运动员在助滑道下滑后在起跳台起跳，在空中做抛体
运动后落在着陆坡上。图中虚线为苏翊鸣在某次比赛中起跳后的运动轨迹，a 点为起跳点，b 点为轨迹最
高点，c 点为落在坡上的着陆点。苏翊鸣的质量为50 kg，不计一切阻力，g=10 N/kg，则下列说法正确
的是（ ）
A．若苏翊鸣起跳时va=10 m/s，则ab 段水平距离为5
2
❑√3 m
B．若苏翊鸣起跳时va=10 m/s，则苏翊鸣在最低点对起跳台压力为250(7−2❑√3)N
C．苏翊鸣在ab 段运动过程中处于超重状态，在bc 段处于失重状态
D．苏翊鸣起跳后重力的功率不断地减小
10．（多选）如图是一款游戏装置的简化图，半径为 R 的四分之三光滑圆管轨道竖直固定。一挑战者在
管口 A 点正上方 h 高处，静止释放一质量为 m 的小球，小球落入管中运动一段时间后从 E 点飞出，
且恰好落回 A 点，游戏挑战成功。小球直径略小于管径，管径远小于 R ，不计空气阻力， g 为重力加
速度。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过 E 点时的速度大小为 ❑√gR
B．小球下落时距 A 点的高度 h 为 5
4 R
C．小球通过 E 点时圆管对小球的作用力竖直向下
D．小球通过 B、E 两点与圆管作用力大小的差为 5mg
题型四 机械能守恒在杆连系统中的应用
1．如图所示，长直轻杆两端分别固定小球A 和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。
先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B 在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A 沿墙
下滑距离为L
2 时，下列说法正确的是（不计一切摩擦，重力加速度为g）（ ）
A．杆对小球A 做功为1
4 mgL
B．小球A、B 的速度大小都为1
2
❑√gL
C．小球A、B 的速度大小分别为1
2
❑√3 gL和1
2
❑√gL
D．杆与小球A、B 组成的系统机械能减少了1
2 mgL
2．如图所示的竖直面内，半径为R的光滑半圆轨道在最低点与光滑水平轨道相切，小球a 和b 分别套在
圆轨道和水平轨道上，中间用长度为L=3 R的轻杆连接。初始时a 球位于半圆轨道最高点P，现给a 球一
个向左的微小扰动，它在竖直方向下落了R
2 的距离到达了轨道上的Q点。在a 球从P点运动到Q点的过程
中，下列说法正确的是（ ）
A．a 球、b 球组成的系统动能先增大后减小
B．轻杆对a 球先做正功后做负功
C．轻杆对b 球一直做正功
D．当a 球的机械能最小时，b 球对轨道的压力等于b 球的重力
3．如图所示，滑块A、B 的质量均为m，A 套在固定倾斜直杆上，倾斜杆与水平面成45°角，滑块B 套在
固定水平的直杆上，两杆分离不接触，两杆足够长且杆间距忽略不计，滑块A、B 通过铰链用长度为L 的
刚性轻杆连接，初始时轻杆与水平面呈30°角，滑块A、B 由静止释放，滑块B 开始沿水平面向右运动，
滑块A、B 均视为质点，不计一切摩擦，重力加速度大小为g，在运动的过程中，下列说法正确的是（
）
A．滑块A、B 组成的系统机械能守恒，A 减少的重力势能等于B 增加的动能
B．当滑块A、B 到达同一水平面时，滑块A 的速度为❑√
1
3 gL
C．当滑块B 速度为零时，滑块A 的速度可能为❑√(❑√2+1)gL
D．滑块B 的最大速度为❑√
3
2 gL
4．如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆M、N，两杆无限接近但不接触，两杆间的距离可忽略
不计。两个小球a、b（可视为质点）的质量相等，a 球套在竖直杆M 上，b 球套在水平杆N 上，a、b 通
过铰链用长度为L=0.5 m的刚性轻杆连接，将a 球从图示位置由静止释放（轻杆与N 杆的夹角为θ =53°
），不计一切摩擦，已知重力加速度的大小为g=10 m/s
2，sin53° =0.8，cos53° =0.6。在此后的运动
过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a 球下落过程中，其加速度大小始终不大于g
B．a 球由静止下落0.15 m 时，a 球的速度大小为0.5 m/s
C．b 球的最大速度为3 ❑√2m/s
D．a 球的最大速度为2❑√2m/s
5．如图所示，长L的轻杆两端分别固定有可视为质点的A、B 两小球，A 小球质量为2m，B 小球质量为m，
杆的三等分点O处有光滑的水平固定转轴，轻杆可绕转轴在竖直面内无摩擦转动，用手将该装置固定在杆
恰好水平的位置，然后由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，小球A 运动到最低点的过程中，杆
对小球B 所做的功为（ ）
A．2
9 mgL
B．4
9 mgL
C．2
3 mgL
D．4
3 mgL
6．如图所示，一长为2L 的轻杆中央有一光滑的小孔O，两端分别固定小球A 和B，小球A 和B 质量分别
为m 和2m，光滑的铁钉穿过轻杆小孔垂直钉在竖直的墙壁上，将轻杆从水平位置由静止释放，转到竖直
位置，在转动的过程中，忽略空气的阻力，下列说法正确的是（ ）
A．在转动到竖直位置的过程中，A 球机械能的增加小于B 球机械能的减少
B．在转动到竖直位置的过程中，A、B 两球组成系统的重力势能的减少等于系统动能的增加
C．在竖直位置两球的速度大小均为2❑√
2
3 gL
D．由于忽略一切摩擦阻力，根据机械能守恒，杆一定能绕铁钉做完整的圆周运动
7．如图所示，一轻质刚性杆可在竖直平面内绕固定转轴O 自由转动，杆长为2 L。杆的中点M 处固定一
质量为2m的小球a，另一端N 处固定一质量为m 的小球b。现将杆从水平位置由静止释放，忽略空气阻
力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球b 运动到最低点时速度为4
3
❑√3 gL
B．从释放到转动至竖直位置过程中，杆对小球b 不做功
C．从释放到转动至竖直位置过程中，杆对小球a 做的功为2
3 mgL
D．从释放到转动至竖直位置过程中，杆对小球a 做的功为−1
3 mgL
8．（多选）如图所示，半径为R 的光滑半圆弧固定在光滑水平面上且与水平面光滑连接于C 点，AC 是
竖直直径，B 距离光滑水平面高度为R，质量均为m 的小球甲、乙（视为质点）用轻质细杆连接，小球甲
套在半圆弧上的A 点，小球乙放置在C 点，甲、乙均处于静止状态，现让小球甲受到轻微的扰动，小球
甲沿半圆弧向下运动，小球乙沿着水平面向左运动，重力加速度为g，则在小球甲从A 到B 的运动过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．甲的重力势能全部转化为甲的动能
B．甲克服杆的作用力做的功等于杆对小球乙所做的功
C．当甲刚运动到B 点时，甲、乙的速度大小之比为❑√3:1
D．当甲刚运动到B 点时，甲的动能为1
4 mgR
9．（多选）长为L 的轻杆可绕O 在竖直平面内无摩擦转动，质量为M 的小球A 固定于杆端点，质量为m
的小球B 固定于杆中点，且M＝2m，重力加速度为g，不计空气阻力，开始杆处于水平，由静止释放，当
杆转到竖直位置时（ ）
A．球A 瞬时速度是球B 瞬时速度的2 倍
B．球A 在最低点速度为2
3 ❑√5 gL
C．O 和B 之间杆的拉力大于B 和A 之间杆的拉力
D．轻杆对球B 做功2
9mgL
10．（多选）如图甲所示，配重式抛石机出现于战国初期，是围攻和防守要塞的重要器械。抛石机可简
化为图乙，质量为7 kg的石块装在长臂末端的弹袋中，质量为50kg的配重安装于短臂的末端，初始时长
臂被固定，抛石机静止，杠杆与水平面的夹角α =30°。释放杠杆，配重下落，带动杠杆自由转动，当长
臂转到竖直位置时，杠杆被制动而停止，石块以10 m /s的速度被水平抛出。已知长臂的长度L=10 m，不
计一切摩擦和杠杆质量，取重力加速度大小g=10 m /s
2。对于从释放杠杆到石块飞出的过程，下列说法
正确的是（ ）
A．石块增加的机械能为350J
B．石块受到的合力对石块做的功为350J
C．短臂的长度为2m
D．配重增加的动能为150J
题型五 机械能守恒在绳连系统中的应用
1．如图所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球向右拉开到一定的角度，然后同时放开小球和
小车，不计一切摩擦，小球向左摆到最低点过程中（ ）
A．小车和小球组成的系统机械能不守恒
B．小车的机械能守恒
C．小球的机械能减少
D．小球的机械能不变
2．如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质定滑轮下方悬挂重物B，两滑轮相距足够远，且悬挂滑
轮的轻质细线竖直。开始时A、B 均处于静止状态，释放后A、B 开始运动。已知A、B 质量相等，摩擦和
空气阻力均忽略不计，重力加速度为g，当B 下降h 时其速度大小为（ ）
A．❑√
gh
2
B．2❑√
gh
2
C．❑√
gh
5
D．2❑√
gh
5
3．如图所示，细线绕过定滑轮O1连接质量相等的小球a 和b，小球a 固定在长度为l 的轻质细杆一端，杆
可绕O2自由转动。O1、O2等高且水平距离为❑√3l，不计一切摩擦，细线足够长。将轻杆从水平位置由静
止释放，杆向下转动30
∘时，小球a 速度最大。重力加速度为g。在轻杆下摆过程中（ ）
A．a 不能运动至O2的正下方
B．细线拉力先变小后变大
C．b 机械能先增大后减小
D．a 速度最大时轻杆上作用力大小为mg
4．一根不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮，绳的两端分别系有小球A 和B。用手托住B 球，当绳刚好被拉
紧时，B 球离地面的高度为h，A 球静止于地面，如图所示。已知B 球的质量是A 球的k 倍（k＞1），忽
略一切摩擦和空气阻力。B 球从释放至刚好落地的过程中，下列判断不正确的是（ ）
A．A 球和B 球组成系统的机械能不守恒
B．A 球上升过程的速度大小等于B 球下落过程的速度大小
C．A 球加速度的大小等于B 球加速度的大小
D．k 值越大，B 球运动的加速度越接近g
5．如图所示，两个完全相同的轻质小滑轮P、Q 固定在天花板上，一段不可伸长的轻质细绳通过滑轮，
两端分别系住小球A、B，现用一轻质光滑小挂钩将小球C 挂在滑轮PQ 之间的水平细绳的中间位置上，静
止释放小球C，在小球C 下降的某时刻，拉小球C 的细绳与水平方向成θ角。已知三小球ABC 的质量均为
m，A、B 小球始终没有与P，Q 相撞，忽略一切阻力，sin37° =0.6，cos37° =0.8，则下列关于小球C
在下降过程中说法正确的个数为（ ）
①ABC 三小球组成的系统机械能守恒
②小球C 重力做功的瞬时功率先变大后变小
③ABC 三小球的速度大小的关系为v A = vB= vC sinθ
④当θ =37°时小球C 下降到最低点
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
6．如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的轻质定滑轮与质量为M的砝码
相连，已知M =2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降。若砝码底部与地面的距离为h，砝码刚接触地
面时木块仍没离开桌面，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g，此时木块的速率为（ ）
A．❑√mgh
B．❑√2gh
C．
2
❑√3 gh
D．2
3
❑√3 gh
7．如图所示，足够长粗糙斜面倾角为θ，固定在水平面上，物块a 通过平行于斜面的轻绳跨过光滑轻滑
轮与物块b 相连，b 的质量为m。开始时，a、b 均静止且a 刚好不受斜面摩擦力作用。现对b 施加竖直向
下的恒力F，使a、b 做加速运动。则在b 下降h 高度过程中（ ）
A．b 的加速度等于F
m
B．a 的重力势能增加mgh
C．绳的拉力对a 做的功等于a 机械能的增加
D．F 对b 做的功等于a、b 动能的增加
8．（多选）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线
竖直。已知A 的质量3m，B 的质量m。开始时，重物A、B 均处于静止状态，释放后A、B 开始运动，忽
略摩擦阻力和空气阻力，重力加速度为g，重物B 始终未触碰滑轮，下列说法正确的是（ ）
A．运动的过程中，重物A 克服绳子拉力做的功等于重物B 的机械能的增加量
B．重物A 与重物B 动能比为3 1∶
C．当A 的位移大小为h 时，A 运动的速度大小为2❑√7 gh
7
D．当A 的位移大小为h 时，A 运动的速度大小为
❑√14 gh
7
9．（多选）如图所示，A、B两点位于同一高度，不可伸长的轻质细线的一端系有质量为M的物块，另
一端绕过B处的定滑轮固定在A点，质量为m的小球固定在细线上C点。现将小球从图示水平位置由静止
释放，小球运动到D点时速度恰好为零（此时物块未到达B点），图中△ABD为直角三角形，物块和小
球均可视为质点，∠DBA =37°，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，sin37° =0.6，则下列判
断正确的是（ ）
A．M =1.2m
B．M =1.5m
C．小球运动到D点时，BD段绳的拉力大小为38
55 mg
D．小球运动到D点时，BD段绳的拉力大小为48
55 mg
10．（多选）如图所示，半径为R 的四分之一圆弧支架竖直放置，与圆心O 等高的圆弧边缘C 点处有一
小滑轮，一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的小球和物块，挂在定滑轮两边，且m1= 4 m2，开始时小球
和物块均静止，且能视为质点，不计一切摩擦，重力加速度为g。小球从C 点静止释放直到小球到达圆弧
的A 点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．由于不计一切摩擦，小球的机械能守恒
B．到达A 点时小球的速度大小为2
3
❑√(4−❑√2)gR
C．轻绳对物块所做的功和轻绳对小球所做的功的大小相等
D．轻绳对物块做功为❑√2m2 gR
题型六 机械能守恒在弹簧类问题的应用
1．如图所示，轻弹簧竖直固定在地面上，一小球从它正上方的A 点自由下落，到达B 点开始与弹簧接触，
到达C 点速度减为零，不计空气阻力，则在小球从A 点运动到C 点的过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．小球的机械能一直减小
B．小球反弹后的最高点比A 点低
C．小球的动能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小
D．小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和先减小后增大
2．如图所示，倾角为θ =37
∘的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为m=1kg的物块A 与物块B（质
量未知）通过轻绳连接后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A 放在斜面体上的a 点，物块A 刚好不下
滑。已知ab 段粗糙，b 点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时上端位于b 点，某时刻剪断轻
绳，物块A 运动到b 点的速度大小为vb=2m /s，最终物块A 把轻弹簧压缩到最低点c，随后物块A 能沿
斜面上滑到最高点d（d 未画出），物块A 在c 点的加速度大小为ac =1.8 g，ab=1m，弹性势能表达式为
Ep= 1
2 k( Δ x)
2，Δ x为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为g=10 m /s
2，sin37
∘=0.6。
下列说法正确的是（ ）
A．物块A 与ab 段的动摩擦因数为0.25
B．轻弹簧的劲度系数为144 N / m
C．物块A 下滑的最大速度为3 ❑√2
2
m/ s
D．物块B 的质量为0.4kg
3．如图所示，质量为m 的物体A 固定在轻弹簧上端，弹簧的下端固定在地面上，质量也为m 的物体B 静
止在物体A 上，竖直向下的力F 大小为2mg，系统处于静止状态，重力加速度为g，现撤去外力F，则（
）
A．撤去外力F 瞬间，物体B 的加速度大小为0
B．撤去外力F 瞬间，物体A 和物体B 之间的作用力大小为mg
C．物体A 和物体B 未分离前，A、B 二者系统机械能守恒
D．物体A 和物体B 分离瞬间，物体B 的加速度为g
4．如图所示，质量相等的两个物块A 和B 用细线连接后，再用轻弹簧将A 悬挂，A 和B 处于静止状态。
剪断细线，物体A 向上运动到最高点的过程，不计空气阻力。下列说法不正确的是（ ）
A．剪断细线时，物块A 的加速度大小为g
B．弹簧恢复原长时，物块A 的速度最大
C．物块A 所受弹簧弹力做的功等于克服重力做的功
D．弹簧的弹性势能减少量等于物块A 的机械能增加量
5．如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端固定一轻弹簧，弹簧与斜面保持平行，弹簧下端连接一小
物块，物块静止在O 点。现将物块拉至B 点，由静止释放，物块在AB 之间运动，弹簧形变始终在弹性限
度内。下列说法正确的是（ ）
A．物块在AB 之间做简谐运动，其机械能不守恒
B．物块在A、B 位置时，动能和加速度都为0
C．物块从B 到A 的过程中，速度和加速度均先增大后减小
D．物块从O 到A 的过程中，回复力做负功，弹簧弹性势能减小
6．如图甲所示，将一轻弹簧压缩后锁定，在弹簧上放置一质量为m 的小物块，小物块距离地面高度为
h1。将弹簧的锁定解除后，小物块被弹起，其动能Ek与离地高度h 的关系如图乙所示，其中h4到h5间的
图像为直线，其余部分均为曲线，h3对应图像的最高点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确
的是（ ）
A．小物块上升至高度h3时，弹簧刚好恢复到原长处
B．小物块上升至高度h4时，加速度为零
C．小物块从高度h2上升到高度h4，弹性势能的减少量在数值上等于重力势能的增加量
D．弹簧的最大弹性势能为mgh5
7．如图所示，小球穿在固定光滑杆上，与两个相同的轻弹簧相连，弹簧可绕O1、O2无摩擦转动。小球在
杆上A 点时，弹簧1 竖直且处于原长，弹簧2 处于水平伸长状态，杆上的B 点与O1、A、O2构成矩形，
AB=2A O1。现将小球从A 点释放，则小球下滑的过程中（ ）
A．到达A、B 中点前，弹簧1 的弹力比弹簧2 的大
B．到达A、B 中点时，加速度等于零
C．弹簧1 的最大弹性势能比弹簧2 的大
D．与没有弹簧时相比，小球从A 点运动到B 点所用的时间长
8．（多选）如图所示，A、B 两小球由绕过轻质光滑定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B、C
两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细
线恰好伸直，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A 的质量为3m，B、C 的质量均为
m，重力加速度为g，开始时整个系统处于静止状态。释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时C 恰好离开
地面，不计空气阻力，在这一过程中A 始终在斜面上。下列说法正确的是（ ）
A．斜面倾角α=30°
B．释放A 的瞬间，B 的加速度大小为0.5 g
C．A 达到的最大速度大小为g ❑√
m
k
D．从释放A，到C 刚离开地面的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
9．（多选）如图甲所示，倾角α =30°的足够长的光滑斜面体固定在水平地面上，底端附近垂直斜面固定
一挡板，可视为质点的小物块A、B 用轻弹簧拴接后置于斜面上。A 的质量为m，初始静止时，弹簧压缩
量为d。某时刻在A 上施加一沿斜面向上的恒力F =mg，当弹簧第一次恢复原长（此时弹性势能为零）时
撤去恒力，A 到最高点时B 刚要离开挡板，此后A 在斜面上做往复运动。A 的重力势能和弹簧弹性势能随
位移变化如图乙（以A 的初始位置x =0处为重力势能零势面），重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。
下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为mg
2d
B．B 的质量为2m
C．A 运动到最低点时的加速度大小为1
2 gD．弹簧的最大弹性势能为9
4 mgd
10．（多选）如图所示，一倾角为α =30°的光滑斜面固定在水平面上，斜面的底端固定一垂直斜面的挡
板，上端固定一个定滑轮O。劲度系数为k = 8mg
3d 的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与质量为2m的物块
Q 连接。一跨过定滑轮O的轻绳一端与物块Q 连接，另一端与套在水平固定的光滑直杆上质量为m的物块
P 连接。初始时物块P 在水平外力F作用下静止在直杆的A点，且恰好与直杆没有相互作用，轻绳与水平
直杆的夹角也为α。撤去水平外力F后，物块P 由静止运动到B点时轻绳与直杆间的夹角为β =53°。已知
滑轮到水平直杆的垂直距离为d，重力加速度大小为g。弹簧轴线、物块Q 与定滑轮之间的轻绳均与斜面
平行，不计滑轮大小及摩擦，sin53° =0.8，cos53° =0.6。下列说法正确的是（ ）
A．物块P 在A点时弹簧的伸长量为3
4 d
B．物块P 从A点运动到B点时，物块Q 重力势能的减少量等于Q、P 两物块增加的总动能
C．物块P 运动到B点时，物块Q 的速度为❑√
27
86 gd
D．物块P 从A点运动到B点的过程中，轻绳拉力对物块P 做的功为75
86 mgd
题型七 机械能守恒中的图像问题
1．传送带经常用于分拣货物。如图（a）为倾斜传送带输送机简化模型图，传送带顺时针匀速转动，在
传送带下端A点无初速度放上货物。货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移x的关
系图像（以A点所在水平面为零势能面）如图（b）所示。货物视为质点，关于货物从A点运动到B点的
过程说法正确的是（ ）
A．该过程中货物受到的摩擦力不变
B．货物与传送带间相对滑动产生的热量为8J
C．货物对传送带做的功为−8J
D．传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为13J
2．从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，
在上升过程中，该物体的E总和Ep随它离地面的高度h的变化关系如图所示。重力加速度取10 m /s
2。由
图中数据可得（ ）
A．物体的质量为2kg
B．h=0时，物体的速率为10 m /s
C．h=2m时，物体的动能Ek=30J
D．从地面至离地面h= 4 m高处的过程中，物体的动能减少40J
3．如图甲所示，一个质量为2kg 的物体悬挂在细绳下端，由静止开始沿竖直方向做直线运动，运动过程
中物体的机械能E 与物体通过路程s 的关系图像如图乙所示，其中0~0.8m 过程的图像为曲线，0.8m~1.0m
过程机械能E 不变，1.0m~2.0m 过程机械能E 随路程s 均匀减少（忽略空气阻力），重力加速度g 取
10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
A．0~0.8m 过程中物体所受拉力是变力，物体先上升后下降
B．0.8m 处物体的速度大小应为2m/s
C．0.8m~1.0m 过程中物体可能先上升后下降
D．1.0m~2.0m 过程中物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动
4．如图甲所示，光滑水平面上两个质量均为m的相同小球A 和B 靠在一起，A 与轻绳组成单摆，B 与劲度
系数为k的轻弹簧组成弹簧振子，刚开始A 和B 均处于静止状态，此时轻绳的拉力大小等于mg。现将小
球A 向左拉开一个较小角度（小于5°）并由静止释放，经最低点时与小球B 发生碰撞，碰撞时间忽略不
计，此后小球B 运动的v −t图像如图乙所示。两球发生的碰撞均为弹性正碰，重力加速度为g，不计空气
阻力，则（ ）
A．A 球释放时离地的高度为2v0
2
g
B．弹簧振子的周期等于2t0
C．弹簧振子的振幅为❑√
m v0
2
2k
D．单摆的摆长等于gt0
2
π
2
5．如图甲所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，一质量为m 的小球从与弹簧上端距离为h（h≠0）的O
点处由静止释放，以O 点为坐标原点，竖直向下为正方向建立Ox 轴，小球所受弹力的大小F 随小球位置
坐标x 的变化关系如图乙所示，其中x =h+ x0时，F =mg。不计空气阻力，重力加速度为g。下列结论正
确的是（ ）
A．运动过程中，小球最低点坐标大于h+2 x0
B．弹簧弹性势能最大值为mg(h+ x0)
C．当x =h时，小球重力势能与弹簧弹性势能之和最小
D．小球压缩弹簧过程中重力的功率逐渐减小
6．如图甲，劲度系数为k 的轻弹簧下端悬挂薄板A，A 静止。带孔薄板B 套于弹簧且与弹簧间无摩擦，
A、B 质量相同，B 从A 上方h 高度处由静止释放，A、B 碰撞时间极短，碰后粘在一起下落3l 后速度减为
零，以A、B 碰撞位置为坐标原点O，竖直向下为正方向建立x 轴，A、B 整体的重力势能随下落距离x 变
化图像如图乙中Ⅰ所示，弹簧的弹性势能随下落距离x 变化图像如图乙中Ⅱ所示，重力加速度为g，则（
）
A．薄板A 的质量为kl
2g
B．薄板B 下落的高度h 为2l
C．碰撞后两薄板的最大速度为❑√3 gl
D．碰撞后两薄板上升的最大高度在O 上方l 处
7．光滑细圆管固定在竖直平面内，O为圆心，M 、N分别为圆管的最高、最低点。可视为质点的小球
（直径略小于管道）由静止从M点开始下滑，从M到N的过程中，设小球的位移大小为x，则小球的重力
势能E p（以N点所在水平面为零势能面）、动能Ek、速率v、绕O点做圆周运动的角速度大小ω随x变化
的关系图像，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选）如图甲所示，物块A 与物块B 之间通过一根轻质弹簧连接，静置在光滑的水平地面上，物块
B 与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，t =0时解除锁定。规定向右为正方向，物块A 在
一段时间内运动的v −t图像如图乙所示，已知物块A 的质量为m，则（ ）
A．0~t1时间内，竖直墙对物块B 的冲量大小为0
B．t3时刻物块A、B 的动能之比为1:3
C．t1~t3时间内，弹簧弹性势能的最大值为1
3 m v0
2
D．t1~t3时间内，物块A 运动的位移为v0(t3−t1)
4
9．（多选）如图（a），劲度系数为k 的轻弹簧下端悬挂薄板A，A 静止。带孔薄板B 套于弹簧且与弹簧
间无摩擦，A、B 质量相同，B 从A 上方h 高度处由静止释放，A、B 碰撞时间极短，碰后粘在一起下落3l
后速度减为零。以A、B 碰撞位置为坐标原点O，竖直向下为正方向建立x 轴，A、B 整体的重力势能随下
落距离x 变化图像如图（b）中Ⅰ所示，弹簧的弹性势能随下落距离x 变化图像如图（b）中Ⅱ所示，重力
加速度为g，则（ ）
A．薄板A 的质量为kl
g
B．薄板B 下落的高度h 为3l
C．碰撞后两薄板的最大速度为❑√3 gl
D．碰撞后两薄板上升的最大高度在O 上方2l处
10．（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端连接固定在水平地面上的力传感器。一个质量为m的小
球，从离弹簧上端高h处静止释放。以小球开始释放点为坐标原点O，竖直向下为x轴正方向，建立坐标
轴Ox，力传感器记录了弹簧弹力大小F随小球下落距离x的变化关系图像如图乙所示。不计空气阻力，重
力加速度为g。以下正确的是（ ）
A．当x =h+ x0时，小球重力势能与弹簧弹性势能之和最小
B．当x =h时，小球重力势能与弹簧弹性势能之和最小
C．当x =h+ x0时，小球的机械能最大
D．小球动能的最大值为mgh+ 1
2 mg x0
课时精练
一、单选题
1．如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处由静止开始下落，不计空气阻力，以起始下
落点所在高度为零势能面。小球落地前瞬间机械能为（ ）
A．0
B．-mgh
C．mgH
D．mg（H+h）
2．如图所示，一小球在液体中由静止开始变加速下落。在小球下落过程中（ ）
A．小球重力势能增大
B．小球机械能增大
C．液体重力势能减小
D．小球和液体组成的系统机械能减小
3．如图，质量为m 的冲天小火箭（不计底座高度）以大小为v0的初速度从地面上竖直向上冲出，经时间
t1落回地面，上升的最大高度为H。运动过程中，小火箭受空气阻力Ff=kv（k 为常数），以地面为零势
能面，竖直向上为正方向。则整个运动过程中，小火箭的速度v、加速度a 随时间t 变化的图像及重力势
能Ep、机械能E 随高度y 变化的图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，在桌面边缘以速度v0竖直向上抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比桌面低h 的地面上。
若以桌面为零势能面，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．物体落到地面时的重力势能为mgh
B．物体在轨迹最高点时的机械能为1
2 mv0
2+mgh
C．物体刚落到地面时的动能为1
2 m v0
2
D．物体刚落到地面时的机械能为1
2 mv0
2
5．如图所示，一条长度为2L、质量为m 的匀质链条的一半放置在水平桌面上，另一半悬在桌面下方，链
条末端到地面的距离也为L，不计一切摩擦阻力，重力加速度为g。现让链条由静止释放，在链条完全落
地瞬间，链条对地面的压力为（ ）
A．15
4 mg
B．11
2 mg
C．11
4 mg
D．3mg
6．如图所示，A、B两小球由绕过定滑轮的轻质细线相连，B、C球放在固定不动的倾角为α的光滑斜面上，
通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球靠在与斜面垂直的挡板上。现用手托住A球，并使细线刚好伸直
但无拉力作用，保证滑轮左侧细线与斜面平行、右侧细线竖直。开始时整个系统处于静止状态，释放A后，
A下落的速度最大时C恰好对挡板无压力，已知A、B、C三球的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮
之间的摩擦不计，运动过程中A未落地，B未与滑轮相撞，则（ ）
A．该过程A、B、C三球所组成的系统机械能守恒
B．当C球刚要离开挡板时B球的加速度一定不为0
C．斜面的倾角α为30°
D．小球A的最大速度为2 g ❑√
m
2k
7．如图所示，在倾角θ =30°的光滑固定斜面上，放有质量分别为1kg 和2kg 的小球A 和B，且两球之间
用一根长L=0.3 m的轻杆相连，小球B 距水平面的高度h=0.4 m。现让两球从静止开始自由下滑，最后都
进入到上方开有细槽的光滑圆管中，不计球与圆管内壁碰撞时的机械能损失，g 取10m/s
2。则下列说法
中正确的有（ ）
A．从开始下滑到A 进入圆管的整个过程，A 与B 组成的系统机械能增大
B．在B 球进入水平圆管前，小球A 机械能减小
C．两球最后在光滑圆管中运动的速度大小为3m/s
D．从开始下滑到A 进入圆管的整个过程，轻杆对B 球做功2 J
二、多选题
8．（多选）如图所示，有一条柔软的质量为m 长为L 的均匀链条，开始时使链条的3 L
4 长在水平桌面上，
而L
4 长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（ ）
A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功mgL
32
B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功mgL
16
C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v = 1
4
❑√15 gL
D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v = 1
2
❑√5 gL
9．（多选）如图所示，固定光滑曲面左侧与光滑水平面平滑连接，水平面依次放有2026 个质量均为2m
的弹性物块（所有物块在同一竖直平面内），质量为m的0 号物块从曲面上高h处静止释放后沿曲面滑到
水平面与1 号物块发生弹性正碰，0 号物块反弹后滑上曲面再原路返回，如此反复，2026 个弹性物块两两
间碰撞时交换速度，则下列说法正确的是（所有物块均可视为质点，重力加速度为g）（ ）
A．2026 号物块最终速度2025
2026
❑√2 gh
B．2023 号物块最终速度2
81
❑√2gh
C．0 号物块最终动量大小为(
1
3)
2026
m ❑√2gh
D．最终所有物块的总动能为mgh
10．（多选）如图所示，长L 的轻杆两端分别固定有完全相同的A、B 两小球，A、B 均视为质点，杆的三
等分点O 处有光滑的水平固定转轴，使轻杆可绕转轴在竖直面内无摩擦转动，用手将该装置固定在杆恰
好水平的位置，然后由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，在小球运动的过程中说法不正确的是
（ ）
A．A、B 的线速度大小之比为2:1
B．小球受到重力、弹力和向心力的作用
C．两小球所受向心力方向均指向O 点且大小相等
D．在竖直位置时杆对水平轴的作用力方向一定向下
三、解答题
11．如图所示，竖直面内光滑半圆弧轨道CDE，圆心为O，半径为R，最低点C与水平面平滑连接，OD
与竖直方向夹角为60°。一根轻弹簧放在水平面上，其左端连接在固定挡板上，右端自由伸长到B点，水
平面上B点左侧光滑，右侧粗糙。现将质量为m的物块放在水平面上，并向左压缩弹簧到位置A，由静止
释放物块，物块被弹开后沿轨道能够滑到的最高点为D。若物块与BC段间的动摩擦因数μ=0.4，BC段
的长度也为R，重力加速度为g，物块可视为质点。求：
(1)物块运动到圆弧轨道C点时，轨道对物块的支持力大小FN；
(2)物块最终停下的位置离B点的距离；
(3)若使物块再次压缩弹簧由静止释放后，恰好能沿轨道通过半圆弧最高点E，则求弹簧这次需要被压缩
的初始弹性势能大小Ep。
12．如图所示，半径R=0.45 m 的光滑半圆轨道AB 竖直固定放置，与水平光滑平台在B 点平滑连接。质
量m=0.18 kg 的玩具小车（无动力）以某一水平初速度向右运动，与静止于平台上、质量M=0.54 kg 的物
块发生碰撞（碰撞时间极短），碰撞后小车经过轨道最高点A 时对轨道的压力大小F=1 N，物块从平台飞
出后落在水平地面上，落点到平台右侧的水平距离x=2 m，平台到水平地面的高度h=0.8 m。小车、物块
均视为质点，取重力加速度大小g=10 m /s
2，不计空气阻力。求：
(1)碰撞后瞬间物块的速度大小v；
(2)小车经过轨道上的B 点时对轨道的压力大小FN；
(3)小车与物块碰撞过程中损失的机械能Δ E。
13．如图所示，两根轻绳连接小球P，右侧绳一端固定于A，左侧绳通过光滑定滑轮B 连接一物体Q，物
体Q、N 通过一轻弹簧连接，Q、N 质量均为m。整个系统处于静止状态时，小球P 位于图示位置，两绳
与水平方向夹角分别为37°和53°，此时物体N 与地面弹力恰好为零。现将小球P 托至与A、B 两点等高的
水平线上，两绳均拉直且无弹力，释放小球P 开始运动，已知AP 间绳长L，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，
重力加速度为g，求：
(1)小球P 的质量M；
(2)小球P 运动到图示位置时Q 的速度v；
(3)小球P 从释放到图示位置过程中轻绳对物体Q 做的功W。
14．如图所示，弹簧锁定后所储存的弹性势能Ep=32J，一个质量m=1kg的小物块紧靠弹簧放置。释放
后，弹簧恢复原长时小物块冲上长度l =6 m的水平传送带，传送带以v =6 m /s的速度顺时针转动。在传送
带右侧等高的平台上固定半径R =0.5 m的圆轨道ABCD，A、D 的位置错开，使小物块绕行一圈后可以通
过D 到达E 位置。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，其他摩擦均忽略不计，取g=10 m /s
2。
(1)求小物块通过传送带的时间；（结果保留两位有效数字）
(2)求小物块通过传送带的过程中摩擦产生的热量以及运动到C 点时对轨道的压力；
(3)若传送带速度大小、方向皆可任意调节，要使小物块在运动过程中不脱离圆轨道ABCD，求传送带转
动速度的可能值。（结果可以用根号表示）
15．如图所示，光滑水平面上质量均为M 的相同滑块A、B 对称放置（均不固定），滑块上的1
4 圆弧光滑
轨道的半径为R，轨道最低点与水平面相切。现将质量为m 的小球从滑块A 圆弧轨道的最高点由静止释
放，重力加速度为g。
(1)求小球第一次从滑块A 上滑离时的速度大小；
(2)求小球在滑块B 上升的最大高度；
(3)要使小球能够再次滑上A 的轨道，求M
m 应满足的条件。
