文档文本内容
第17 讲 机械能守恒定律及其应用
目
录
01 考情解码· 命题预警.........................................................................................................................................2
02 体系构建 ·思维可视.........................................................................................................................................3
03 核心突破 ·靶向攻坚.........................................................................................................................................4
考点一 机械能守恒的判断 ..........................................................................................................................4
知识点一 重力做功与重力势能..................................................................................................................5
知识点二 弹性势能......................................................................................................................................5
知识点三 机械能守恒定律..........................................................................................................................5
考向 分析机械能是否守恒..........................................................................................................................5
考点二 单个物体的机械能守恒 .........................................................................................................6
知识点一 机械能守恒定律的理解............................................................................................................7
知识点二 机械能是否守恒的判断方法....................................................................................................7
考向1 一般物体的机械能守恒问题...........................................................................................................7
考向2 “链条”“液柱”类物体的机械能守恒问题...........................................................................9
考点三 多物体组成的系统机械能守恒的应用 ................................................................................12
知识点一 三种守恒表达式的比较..........................................................................................................12
知识点二 几种常见情境的分析..............................................................................................................12
考向1 物体速率相等情境.........................................................................................................................13
考向2 物体角速度相等情境.....................................................................................................................16
考向3 物体速度关联情境.........................................................................................................................20
考向4 含轻弹簧的物体系统机械能守恒问题.........................................................................................23
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................................26
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
机械能守恒的判
断
选择题
非选择题
单个物体的机械
能守恒
选择题
非选择题
多物体组成的系
统机械能守恒的
应用
选择题
非选择题
安徽卷T14，4 分
考情分析：
机械能守恒定律是高考试题常考的知识点，通常会以中等及以上的试题出现，考查内容主要有单个物体的
机械能守恒问题计算和多个物体关联的机械能守恒问题的计算。；
试题情境越来越联系生活实际、科技前沿。如体育运动中的跳水、跳高，工程技术里的过山车运动、起重
机货运等，要求学生在复杂情境中灵活运用机械能守恒定律分析问题，对机械能守恒定律本质的理解和知
识迁移能力的考查。
复习目标：
目
一：
标
理解重力
能和
性
能，知道机械守恒的条件
势
弹
势
。
目
二：
标
会判断研究
象在某一
程机械能是否守恒。
对
过
目标三：会用机械能守恒定律解决
个或系
的机械能守恒
。
单
统
问题
考点一 机械能守恒的判断
知识点一 重力做功与重力势能
1.定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增大。
2.定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝Ep1－
E p2＝－
( E p2－
E p1)＝－ΔEp。
知识点二 弹性势能
1．定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
2．大小：弹簧的弹性势能跟弹簧的形变量及劲度系数有关，形变量越大，劲度系数越大，弹性势能就越
大。
3．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－
Δ E p。
知识点三 机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2．常用的三种表达式
(1)守恒式：E1＝
E 2或Ek1＋
E p1＝
E k2＋
E p2。E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。
(2)转化式：ΔEk 增＝Δ E p 减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。
(3)转移式：ΔEA 增＝Δ E B 减。表示系统只有A、B 两物体时，A 增加的机械能等于B 减少的机械能。
得分速记
1．物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
2．重力做功不引起物体机械能的变化；
3．重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关
4．只受重力或系统内弹力作用，系统的机械能守恒；
5．除受重力或系统内弹力之外，还受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功，系统机
械能守恒。
考向 分析机械能是否守恒
例1（2025·上海·模拟预测）关于机械能守恒，下列说法正确的是（ ）
A．机械能守恒的物体一定只受重力和弹力的作用
B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C．物体所受合力不等于零时，机械能可能守恒
D．合力做功时，物体的机械能一定不守恒
【答案】C
【详解】A．物体机械能守恒的条件是只有重力或者是弹力做功，物体除了受重力和弹力的作用，还有可
能受其他力的作用，但是其他力做功为零，A 错误；
B．物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，例如物体匀速上升，动能不变，重力势能增大，B 错误；
C．物体所受合外力不等于零时，机械能可能守恒，例如自由下落的物体，C 正确；
D．根据动能定理得物体动能的变化等于合外力对物体做的功，而物体机械能的变化等于除了重力之外的
力做的功，D 错误。
故选C。
判断机械能守恒应注意的“两点”
1.机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重
力或弹力作用”。
2.对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
【变式训练1】（2025·重庆·一模）北京时间2024 年11 月4 日01 时24 分，神舟十八号载人飞船返回舱在
东风着陆场成功着陆。返回舱在打开降落伞后的一段匀速下落过程中，其机械能（ ）
A．不变
B．减少
C．增加
D．无法确定
【答案】B
【详解】返回舱匀速下落过程中，动能不变，重力势能减少，故机械能减少。
故选B。
【变式训练2·变考法】（2025·山西·三模）（多选）如图所示，三角形支架放在水平台秤上，剪断斜面上
固定小球的细绳，小球沿着斜面滚下。在小球滚下的过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．台秤的示数增大
D．台秤的示数减小
【答案】BD
【详解】AB．在小球滚下的过程中，要克服摩擦力做功，机械能减少；故A 错误，B 正确；
CD．小球沿着斜面向下加速运动，处于失重状态，台秤的示数减小。故C 错误，D 正确。
故选BD。
考点二 单个物体的机械能守恒
知识点一 机械能守恒定律的理解
1.机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。
2.当研究对象(除地球外)只有一个物体时，往往根据“是否只有重力(或弹力)做功”来判断机械能是否守恒；
当研究对象(除地球外)由多个物体组成时，往往根据“有没有摩擦力和阻力做功”来判断机械能是否守恒。
3.“只有重力(或弹力)做功”不等于“只受重力(或弹力)作用”，在该过程中，物体可以受其他力的作用，
只要这些力不做功，机械能仍守恒。
知识点二 机械能是否守恒的判断方法
1.用机械能的定义判断(直接判断)：判断机械能是否守恒可以看物体系统机械能的总和是否变化。
2.用做功判断：若物体系统只有重力或系统内弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，则机械能守恒。
3.用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无其他形式的能的转化，则物体系统机
械能守恒。
考向1 一般物体的机械能守恒问题
例1 （2025·宁夏吴忠·一模）如图所示，竖直面内半圆形轨道圆心为O，且以最低点O′为界，轨道右半部
分光滑，左半部分粗糙。将一可视为质点的小物块于轨道光滑部分某点P（图中未画出）静止释放，小物
块首次向左刚刚滑过O′时，其加速度大小恰与重力加速度g 相等。已知小物块与轨道粗糙部分的动摩擦因
数为
，则cos∠POO′的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对物块，由P 下滑至O′的过程有
刚滑过O′时，物块在竖直、水平方向满足牛顿第二定律
，
由题意有
联立以上各式可得
故选B。
【变式训练1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图所示，不可伸长、长为l 的轻细线一端固定于O 点，另一
端连接一小球，此时细线刚好伸直，角度θ=30 。现将小球静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g，
则小球运动到O 点正下方时速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】小球释放时，先向下做自由落体运动，则细线伸直时下落的距离为l，则
细线伸直后沿细线方向的速度减为零，垂直细线方向的速度为
以后小球做圆周运动，则当到最低点时
化简得
故选C。
【变式训练2】（2025·河北张家口·一模）（多选）2024 年巴黎奥运会网球女单决赛，郑钦文创造历史成
为了中国首位奥运网球单打冠军。某次比赛中，郑钦文将网球斜向上击出后，若不计空气阻力，网球在空
中从最高点运动至落地过程中的动能
、重力势能
、机械能
随运动时间或下落高度变化的关系中，
可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】A．不计空气阻力，网球在空中从最高点运动至落地过程中只有重力做功，机械能守恒，故A 正
确；
BD．根据
可得
，
可知
图像为曲线，
图像为直线，且越来越大，故B 错误，D 正确；
C．重力势能
图像直线，故C 错误。
故选AD。
考向2 链条
液柱类物体的机械能守恒问题
“
”“
”
例2 如图所示，甲为一长度为
的均匀链条，总质量为
，一半放在水平桌面上，一半竖直下垂。乙为
两个质量均为
的小球，中间用不计质量的细绳相连，一个放在水平桌面上，一个竖直下垂，水平部分
和竖直部分细绳的长度均为
，小球可以视为质点。不计一切摩擦，用外力使甲和乙静止在图示位置，撤
去外力到甲、乙刚好离开桌面。取水平桌面所在的平面为零势能面，重力加速度大小为
，这个过程中，
下列说法不正确的是（ ）
A．甲刚离开桌面时，甲的速度为
B．两者刚好离开水平桌面时，甲的重力瞬时功率大于乙的重力瞬时功率
C．甲的重力的做功为
，乙的重力的做功为
D．甲重力势能的减少量小于乙重力势能的减少量
【答案】D
【详解】A．设桌面所在平面为零势能面，则对甲由机械能守恒定律
解得，甲刚离开桌面时，甲的速度为
，故A 正确；
B．设桌面所在平面为零势能面，则对乙由机械能守恒定律
解得，乙刚离开桌面时，乙的速度为
因为
，则
。故两者刚好离开水平桌面时，甲的重力瞬时功率大于乙的重力瞬时功率，B 正
确；
C．甲的重力的做功为
乙的重力的做功为
，故C 正确；
D．由
可知重力势能的减少量等于重力做的功，因为
所以甲重力势能的减少量大于乙重力势能的减少量，故D 错误。
本题选择不正确的，故选D。
【变式训练1】如图所示，粗细均匀的U 形管内装有同种液体，在管口右端用盖板A 密闭，两管内液面的
高度差为h，U 形管中液柱的总长为4h 现拿去盖板
｡
A，液体开始流动，不计液体内部及液体与管壁间的阻
力，则当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设管子的横截面积为S，液体的密度为ρ。拿去盖板，液体开始运动，根据机械能守恒定律得
解得
故选A｡
【变式训练2】）如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝
m 的光滑半球体上方。给铁链一
个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B 滑至C 处时其速度大小为3
m/s。已知∠AOB＝
60°，以OC 所在平面为参考平面，取g＝10m/s2。则下列说法中正确的是（ ）
A．铁链下滑过程中靠近B 端的一小段铁链机械能守恒
B．铁链在初始位置时其重心高度
m
C．铁链的端点A 滑至C 点时其重心下降2.8m
D．铁链的端点A 滑至C 处时速度大小为6
m/s
【答案】C
【详解】A．铁链下滑过程中靠近B 端的一小段铁链受到上边拉链的拉力，该拉力做负功，故机械能不守
恒，故A 错误；
B．根据几何关系可知，铁链长度为
L＝
＝2m
铁链全部贴在球体上时，质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心且重心在∠AOB 的角平分线上，
故铁链在初始位置时其重心与圆心连线长度等于端点B 滑至C 处时其重心与圆心连线长度，均设为h0，根
据机械能守恒定律有
mgh0－mgh0sin30°＝
代入数据解得
h0＝1.8m
故B 错误；
C．铁链的端点A 滑至C 点时，其重心在参考平面下方
处，则铁链的端点A 滑至C 点时其重心下降
Δh＝h0＋
＝2.8m
故C 正确；
D．铁链的端点A 滑至C 处过程，根据机械能守恒定律有
解得
故D 错误。
故选C。
考点三 多物体组成的系统机械能守恒的应用
知识点一 三种守恒表达式的比较
角度
公式
意义
注意事项
守恒观点
Ek1＋Ep1
＝Ek2＋Ep2
系统的初状态机械能的总和与
末状态机械能的总和相等
初、末状态必须用同一
零势能面计算势能
转化观点
ΔEk＝－ΔEp
系统减少(或增加)的势能等于系
统增加(或减少)的动能
应用时关键在于分清势
能的增加量或减少量，
可不选零势能面而直接
计算初、末状态的势能
差
转移观点
ΔEA 增＝ΔEB 减
若系统由A、B 两物体组成，则
A 物体机械能的增加量与B 物
体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个
物体组成的系统的机械
能守恒问题
知识点二 几种常见情境的分析
(1)速率相等情境：如图所示，轻绳连接的A、B 两物体系统。
两点提醒
①用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
②对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
(2)角速度相等情境：如图所示，轻杆连接的A、B 两物体系统。
(3)某一方向分速度相等情境(关联速度情境)：如图所示，两物体沿绳或沿杆方向的分速度大小相等。
(4)含轻弹簧的系统机械能守恒问题
①弹簧发生形变时会具有弹性势能，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹簧的弹性势能最大。
③对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势
能相等。
④物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
得分速记
1.用杆连接的两个物体，若绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω 相等确定两物体线速度v 的大小关系。
2.杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
考向1 物体速率相等情境
例1 如图所示，固定光滑斜面顶端有一轻质光滑定滑轮，质量为
的物块P 和质量为
的物块Q 用轻质
细绳相连，外力作用于P，使P、Q 均静止，某时刻撤去外力，当Q 下降的高度为时，细绳断裂，重力加
速度为g，
，P、Q 均可视为质点，斜面足够长，则（ ）
A．物块
沿斜面上升的最大高度为
B．当细绳断裂的瞬间，物块
的重力的功率为
C．在细绳断裂后，物块
沿斜面向上运动的时间为
D．当物块
运动至最高点时，物块
的机械能相对
时刻减少了
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，当
下降的高度为时，细绳断裂，根据几何关系得，
上升的高度
细绳断裂的瞬间
速度大小相等，对
整体，根据机械能守恒有
解得
细绳断裂后，
还能上升的最大高度满足
解得
则物块
沿斜面上升的最大高度
故A 错误；
B．当细绳断裂的瞬间，物块
重力做功的功率
故B 错误；
C．细绳断裂后，物块
在斜面上的运动时间
故C 正确；
D．根据题意可知，细绳断裂前
组成的系统机械能守恒，细绳断裂后，物块
、Q 的机械能均守恒，
则当物块
运动至最高点时，物块
增加的机械能等于物块
的机械能相对
时刻减少量，即
故D 错误。
故选C。
【变式训练1·变载体】（2025·湖南株洲·一模）用三根细线将三个物块A、B、C 和定滑轮组装成图示装置。
已知B、C 的质量分别为3m、2m，它们间细线长度为L，C 离地高度也为L；A 的质量M 满足3m<M<5m，
连接A 和B 的细线足够长，开始时整个系统处于静止状态。某时刻剪断A 与地面间的细线，此后A 在运动
过程中始终没有与定滑轮相碰，C 触地后不反弹。
(1)求C 在下落过程中的加速度大小；
(2)求A 上升的最大速度；
(3)若B 刚好能着地，求A 的质量。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】（1）剪断细线后，对A、B、C 整体，由牛顿第二定律得
解得
（2）物块C 刚落地时，M 的速度最大，三个物体组成的系统机械能守恒，则
解得
（3）物块C 落地后，物块B 恰能下降地面，则此时物块A 和物块B 的速度为零
联立解得
【变式训练2】（2025·江苏徐州·二模）如图所示，质量
的物块1 与质量
的物块2 通过光
滑轻质定滑轮用不可伸长的轻绳连接，物块2 与质量
的物块3 用劲度系数为
的轻质
弹簧相连接，物块3 静置在水平地面上。初始时控制物块1 使其静止于倾角
的光滑斜面上，此时轻
绳恰好拉直且与斜面平行，轻绳无拉力，现由静止释放物块1，重力加速度
取
，
，
，弹簧的弹性势能
与形变量
的关系为
。求：
(1)释放物块1 前，弹簧的弹性势能；
(2)释放物块1 的瞬间，物块2 的加速度大小；
(3)释放物块1 后，当物块3 恰好对地面无压力时，物块1 在斜面上运动的速度。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】（1）初始时对物块2 受力分析，由题意知轻绳无拉力，则弹簧处于压缩状态，由力的平衡条件
得
解得弹簧形变量
则释放物块1 前，弹簧的弹性势能为
（2）释放物块1 的瞬间，对物块1 与物块2 及轻绳组成的系统进行分析，由牛顿第二定律得
解得物块2 的加速度大小
（3）释放物块1 后，当物块3 恰好对地面无压力时，对物块3 进行分析，由力的平衡条件有
对物块1、物块2 及轻绳组成的系统进行分析，由能量守恒定律得
其中
解得
多物体系统机械能守恒问题的分析方法
1.正确选取研究对象，合理选取物理过程。
2.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
3.注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
4.列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
考向2 物体角速度相等情境
例2 如图所示，轻质十字架顶端各固定一质量为m 的小球，各小球到转轴的距离r 相同，十字架绕中心
光滑转轴O 在竖直面内匀速转动。不计空气阻力和十字架的质量，重力加速度为g。下列说法正确的是（
）
A．转动过程中，对称的两个小球重力势能之和为0
B．转动过程中，转轴所受十字架的作用力大小为0
C．若转动过程中某一小球脱落，则剩余小球组成的系统机械能一定为原来总机械能的
D．若转动过程中对称的两小球同时脱落，则系统机械能减少为原来总机械能的
【答案】D
【详解】ACD．若规定圆周最低点重力势能为0，对称的两个小球重力势能之和为2mgr。
4 个小球的总重力势能为
设小球的线速度为v，4 个小球的总动能为
4 个小球的总机械能为
若转动过程中对称的两小球同时脱落，剩余的机械能为
若转动过程中某一小球脱落，则剩余小球组成的系统动能一定为原来总动能的
；
若杆1 的小球脱落，杆2 上的两个小球的总重力势能不变，始终等于2mgr。
杆1 上未脱落的小球的重力势能不停的变化着，所以剩余的三个小球的总重力势能也不停的变化着，剩余
三个小球的总机械能也不停的变化着，剩余三个小球组成的系统机械能不是原来总机械能的
，D 正确，
AC 错误；
B．当两个小球处于水平，另两个处于竖直位置时，对竖直方向的两个球分析，有
对上面的小球根据牛顿第二定律得
对下面的小球根据牛顿第二定律得
杆对小球的作用力之差
解得
根据牛顿第三定律，竖直杆对转轴的作用力为2mg，方向竖直向下。
与转轴等高的两个小球，根据牛顿第二定律
水平杆对转轴没有水平方向的作用力，只有竖直方向的作用力，大小为2mg，方向竖直向下。
此时，转轴所受十字架的作用力大小为4mg，B 错误。
故选D。
【变式训练1·变载体】如图所示，轻质的粗转轴上沿直径固定两根轻杆，轻杆上固定两个小球A、B，转
轴的半径和杆的长度均为R，在粗转轴上缠绕有轻绳，轻绳下端与小球C 相连，A、B、C 三球质量相同，
且都可看作质点。初始时系统处于静止，忽略一切摩擦，且A、B 两球在水平线上，轻绳伸直但无拉力，
现释放小球C 使其从静止开始下落，下列说法正确的是（ ）
A．A、B 两球组成系统的机械能不变
B．A 球第一次转到最高点过程中轻杆对A 球不做功
C．C 球下落高度为R 时，A 球的速度大小为
D．C 球下落高度为R 时，C 球的速度大小为
【答案】D
【详解】A．释放小球C 使其从静止开始下落，绳的拉力对小球C 做负功，小球的机械能减小，A、B、C
构成的系统机械能守恒，则A、B 两球组成系统的机械能增大，故A 错误；
B．释放小球C 使其从静止开始下落，小球A 第一次转到最高点过程中，小球的重力势能与动能均增大，
即小球A 的机械能增大，可知，A 球第一次转到最高点过程中轻杆对A 球做正功，故B 错误；
CD．C 球下落高度为R 时，A、B 两球速度大小、角速度均相等，根据线速度与角速度的关系有
根据三个小球构成系统的机械能守恒有
解得
，
故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练2】为表彰在“理解复杂物理系统所作出的开创性贡献”，2021 年诺贝尔物理学奖颁给了3 位
科学家。如图即为一个无序系统的模型：质量均为m 的小球M、N 用长度均为L 的轻杆a、b 连接，轻杆a
的一端可绕固定轴O 自由转动，轻杆b 可绕小球M 自由转动。先令两球与O 点处于同一高度，静止释放
系统，两球在竖直面内做无序运动。某时刻，系统达到图中虚线位置，轻杆a 与竖直方向成
角，小球
N 恰好到达与O 点等高处，且其速度水平向右。已知重力加速度为g，不计一切阻力，下列说法正确的是
（ ）
A．此时小球M 的速度方向竖直向下
B．该过程中，小球N 的机械能守恒
C．该过程中，轻杆a 对小球M 做的总功为
D．该过程中，轻杆b 对小球N 做的总功为
【答案】D
【详解】A．细杆a 的一端可绕固定点O 自由转动，则M 点的速度方向始终与杆a 垂直，则此时刻小球M
的速度方向不是竖直向下，故A 错误；
B.该过程中，小球MN 的系统的机械能守恒，但是N 的机械能不守恒，选项B 错误；
C．设此时刻小球M、N 的速度大小分别为vM、vN，如图所示，M 的速度方向始终与杆a 垂直，根据运动
的分解有
vNsinθ=vMcos（90°-2θ）
解得vN =
vM
由系统的机械能守恒，则有
解得
方向向右下方，与水平方向的夹角为30°。
方向水平向右。
该过程中，对M 球由动能定理可得
解得两个杆对M 做功之和
对N 球由动能定理可得
选项C 错误，D 正确。
故选D。
考向3 物体速度关联情境
例3（多选）如图所示，长度为L 的轻杆上端连着一质量为m 的小球A（可视为质点），杆的下端用铰链
固接于水平面上的O 点。置于同一水平面上的立方体B 恰与A 接触，立方体B 的质量为M。今有微小扰动，
使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，而A 与B 刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为30°，重力加速度为
g，则下列说法正确的是（ ）
A．分离前B 的机械能一直增加
B．分离时A 的加速度大于g
C．A 与B 刚脱离接触的瞬间，B 的速率为
D．A、B 质量之比为1 3∶
【答案】AC
【详解】A．从小球A 开始运动到A、B 脱离接触，A 对B 弹力一直做正功，B 的机械能一直增加，故A
正确；
B．分离时，A 与B 间的弹力为0，则此时B 的加速度为0，可知此时A 的水平分加速度为0，则杆对A 的
作用力等于0，A 球只受重力作用，A 球加速度为
，故B 错误；
C．分离时刻，根据牛顿第二定律有
解得
A 与B 刚脱离接触的瞬间， A 的速度方向垂直于杆，水平方向的分速度等于B 的速度，则有
解得
则A 与B 刚脱离接触的瞬间，B 的速率为
，故C 正确；
D．在杆从竖直位置开始倾倒到小球与立方体恰好分离的过程中，小球A 与B 组成的系统机械能守恒，则
有
联立解得A、B 质量之比为
，故D 错误。
故选AC。
【变式训练1·变载体】（2025·江西景德镇·三模）运动员为了练习腰部力量，在腰部拴上轻绳然后沿着斜
面下滑，运动的简化模型如图所示，倾角为37°的光滑斜面固定放置，质量为m 运动员与质量为m 的重物
通过轻质细绳连接，细绳跨过天花板上的两个定滑轮，运动员从斜面上的某点由静止开始下滑，当运动到
A 点时速度大小为
，且此时细绳与斜面垂直，当运动到B 点时，细绳与斜面的夹角为37°，已
知A、B 两点之间的距离为2L，重力加速度为g，运动员在运动的过程中一直未离开斜面，细绳一直处于
伸直状态，不计细绳与滑轮之间的摩擦，运动员与重物（均视为质点）总在同一竖直面内运动，
，
，下列说法正确的是（ ）
A．运动员在A 点时，重物的速度大小为
B．运动员从A 点运动到B 点，重物重力势能的增加量为
C．运动员从A 点运动到B 点，系统总重力势能的减小为
D．运动员在B 点时，其速度大小为
【答案】C
【详解】A．设运动员的速度为
，绳与斜面夹角为α，则沿绳方向的分速度即重物的速度为
垂直绳方向的分速度为
可知到A 点时，细绳与斜面垂直，所以运动员在A 点时，重物的速度大小为零，故A 错误；
B．运动员从A 点运动到B 点，重物重力势能的增加量为
故B 错误；
C．运动员从A 点运动到B 点，运动员的重力势能减少
所以系统总重力势能的增加量为
即减少了
，故C 正确；
D．根据系统机械能守恒可知，系统减少的重力势能等于系统增加的动能，有
可得运动员在B 点时，其速度大小为
故D 错误。
故选C。
【变式训练2】（2025·江苏南京·二模）如图，足够长的细线一端与倾角为α=37°的斜面A 相连，另一端跨
过墙面上和斜面顶端的三个小滑轮与小滑块B 相连，一水平推力作用于A 上，使A、B 系统保持静止，四
段细线分别与水平地面、竖直墙面或斜面平行，A 的质量M=0.63kg，B 的质量m=0.21kg，B 距离水平面
的高度h=0.6m，不计一切摩擦，取重力加速度g=10m/s2．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
(1)求细线对B 的拉力大小；
(2)撤去水平推力，求A 滑动的位移
m 时，B 的位移大小；
(3)若撤去水平推力的同时剪断细线，求B 沿斜面运动的过程中对A 做的功。
【答案】(1)1.26N；(2)0.6m；(3)0.18J
【详解】（1）对B 受力分析，受到重力G、斜面的支持力FN、细线的拉力T
则T=mgsinα
代入数据得T=1.26N
（2）当A 滑动x 时，B 沿斜面下滑2x，
设B 的位移大小s，则
代入数据解的：
m
（3）设B 运动到斜面底端水平速度为
，竖直速度为
，A 的速度为
。
由水平方向动量守恒得
，
由B 相对A 的速度方向沿斜面向下得
，
代入数据可得
由A、B 系统机械能守恒定律得
B 沿斜面运动的过程中对A 做的功
代入数据可得
J
考向4 含轻弹簧的物体系统机械能守恒问题
例4 （2025·黑龙江·模拟预测）竖直的轻弹簧下端固定在水平地面上，处于原长时上端在
点。小球在
点正上方的A 点由静止释放后落在弹簧上，运动到
点速度为零。以
点为坐标原点，竖直向下为正方
向建立
轴，小球向下运动过程的速度
、加速度
、动能
及其机械能
随位置坐标
的变化规律可能
正确的是（不计空气阻力，重力加速度为
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】A．小球在由A 点下落到O 点的过程中，做自由落体运动，加速度
，有
图像应是开口向右的抛物线，故A 错误；
B．小球在由A 点到O 点的下落过程中只受重力，加速度为g；小球压缩弹簧后，根据牛顿第二定律有
解得
图像是向下倾斜的直线，小球先加速后减速，故B 正确；
C．小球在由A 点到O 点的下落过程中只受重力，机械能守恒，有
减少的重力势能等于增加的动能，动能随下落高度均匀增加；小球压缩弹簧后根据动能定理，重力和弹簧
弹力对小球做的总功等于小球动能的增量，有
即
图像是开口向下的抛物线，故C 错误；
D．小球在由A 点到O 点的下落过程中只受重力，机械能守恒；小球压缩弹簧后，由功能关系知，弹簧弹
力对小球做的功等于小球机械能的减少量，有
即
图像是开口向下的抛物线，故D 错误。
故选B。
【变式训练1·变载体】（2025·湖北·三模）如图所示，三个相同的小物块a、b、c，质量均为m，c 放在水
平地面上，b 和c 在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻弹簧相连，a 在b 的正上方，开始时a、b、c 均静止。
现让a 自由下落，a、b 碰后一起向下运动。已知弹簧的弹性势能可表示为Ep＝
kx2，k 为弹簧的劲度系数，
x 为弹簧的形变量，重力加速度为g。若b 向上运动到最高点时，c 恰好离开地面，则a 开始下落时距b 的
高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设初始时弹簧被压缩x1，有
弹性势能为
设a 开始下落时距b 的高度为H，b 初始位置为零势能面，设物块a、b 碰撞前瞬间a 的速度为
，由机械
能守恒定律得
设物块a、b 碰撞后瞬间两者的速度为
，由动量守恒定律得
a、b 一起压缩弹簧到两者向上运动到弹簧恢复原长时。a、b 恰好分离。此时两者速度相同，设速度为
，
对此过程由系统机械能守恒得
a、b 分离后，b 向上运动到最高点时，c 恰好离开地面。此时弹簧伸长量为
。此过程b 与弹簧组成的系
统机械能守恒。则有
联立解得
ACD 错误；B 正确。
故选B。
【变式训练2】 （2025·山东威海·三模）如图所示，质量分别为
和
的物体
、
用跨过定滑轮
的
轻绳连接，
置于倾角为
的光滑固定斜面上，
穿在固定的竖直光滑杆上。轻质弹簧的一端固定在地
面上，另一端连接
。初始时，控制
使轻绳伸直且无拉力，轻绳的
段与斜面平行，
段与杆的夹角
为
。将
由静止释放，
在运动过程中经过
点，
与杆垂直，长为
。
、
均可视为质点，
弹簧始终在弹性限度内，劲度系数
，重力加速度为
，
，
。
经过
点时
的速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】未释放P 前，对Q 有
解得弹簧压缩量
当
经过
点时，由于
与杆垂直，可知此时P 的速度为0，几何关系可知
可知在M 点时，弹簧拉伸量为L，弹性势能与开始时相同，故对P、Q 和弹簧构成的系统，由机械能守恒
有
解得
故选A。
1．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m 的小环套在大圆环
上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过
程中对大圆环的作用力大小（ ）
A．在Q 点最大
B．在Q 点最小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】C
【详解】方法一（分析法）：设大圆环半径为
，小环在大圆环上某处（
点）与圆环的作用力恰好为零，
如图所示
设图中夹角为
，从大圆环顶端到
点过程，根据机械能守恒定律
在
点，根据牛顿第二定律
联立解得
从大圆环顶端到
点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，
所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从
点到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环
对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二（数学法）：设大圆环半径为
，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角
为
，根据机械能守恒定律
在该处根据牛顿第二定律
联立可得
则大圆环对小环作用力的大小
根据数学知识可知
的大小在
时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用
力大小先减小后增大。
故选C。
2．（2024·北京·高考真题）如图所示，光滑水平轨道AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道BC 在B 点平滑连
接。一小物体将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点
C。下列说法正确的是（ ）
A．物体在C 点所受合力为零
B．物体在C 点的速度为零
C．物体在C 点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点的动能
【答案】C
【详解】AB．物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆
轨道的半径为r，由牛顿第二定律得
解得物体在C 点的速度
AB 错误；
C．由牛顿第二定律得
解得物体在C 点的向心加速度
C 正确；
D．由能量守恒定律知，物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点时的动能和重力势能之和，D 错误。
故选C。
3．（2025·云南·高考真题）（多选）如图所示，倾角为
的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k 的轻质
弹簧，弹簧处于原长时下端位于O 点。质量为m 的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数
。
过程I：Q 以速度
从斜面底端P 点沿斜面向上运动恰好能滑至O 点；过程
：将
Ⅱ
Q 连接在弹簧的下端并
拉至P 点由静止释放，Q 通过M 点（图中未画出）时速度最大，过O 点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限
度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A．P、M 两点之间的距离为
B．过程
中，
Ⅱ
Q 在从P 点单向运动到O 点的过程中损失的机械能为
C．过程
中，
Ⅱ
Q 从P 点沿斜面向上运动的最大位移为
D．连接在弹簧下端的Q 无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M 点）之间
【答案】CD
【详解】A．设
的距离为
，过程I，根据动能定理有
设
的距离为
，过程
中，当
Ⅱ
Q 速度最大时，根据平衡条件
P、M 两点之间的距离
联立可得
故A 错误；
B．根据功能关系，可知过程
中，
Ⅱ
Q 在从P 点单向运动到O 点的过程中Q 和弹簧组成的系统损失的机械
能为
结合
可得
但在过程
中单独对于
Ⅱ
Q 而言机械能是增加的，故B 错误；
C．设过程
中，
Ⅱ
Q 从P 点沿斜面向上运动的最大位移
，根据能量守恒定律
结合
解得
故C 正确；
D．无论Q 从何处释放，Q 在斜面上运动过程中，弹簧与Q 初始时的势能变为摩擦热，当在
点时，满足
当在
点时，满足
所以在OM（含O、M 点）之间速度为零时，Q 将静止，故D 正确。
故选CD。
4．（2025·四川·高考真题）如图所示，倾角为
的斜面固定于水平地面，斜面上固定有半径为R 的半圆挡
板和长为
的直挡板。a 为直挡板下端点，bd 为半圆挡板直径且沿水平方向，c 为半圆挡板最高点，两挡
板相切于b 点，de 与ab 平行且等长。小球乙被锁定在c 点。小球甲从a 点以一定初速度出发，沿挡板运动
到c 点与小球乙发生完全弹性碰撞，碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程中无其他
碰撞。小球甲质量为
，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度大小为g。
(1)求小球甲从a 点沿直线运动到b 点过程中的加速度大小；
(2)若小球甲恰能到达c 点，且碰撞后小球乙能运动到e 点，求小球乙与小球甲的质量比值应满足的条件；
(3)在满足（2）中质量比值的条件下，若碰撞后小球乙能穿过线段de，求小球甲初动能应满足的条件。
【答案】(1)
；(2)
或
；(3)
【详解】（1）小球甲从a 点沿直线运动到b 点过程中,根据牛顿第二定律有
解得甲在ab 段运动的加速度大小
（2）甲恰能到c 点，设到达c 点时的速度为
，可知
解得
①
根据题意甲乙发生完全弹性碰撞，碰撞前后根据动量守恒和能量守恒
，
解得碰后乙的速度为
②
碰后乙能运动至点，第一种情况，碰后乙顺着挡板做圆周运动后沿着斜面到达e 点，此时需满足
即
③
联立①②③可得
第二种情况，碰后乙做类平抛运动到达e 点，此时可知
，
解得
④
联立①②④可得
（3）在（2）问的质量比条件下，若碰后乙能越过线段
，根据前面分析可知当满足第一种情况时，碰后
乙做圆周运动显然不满足能越过线段
，故碰后乙做类平抛运动越过线段
，故碰后乙的速度必然满足
同时根据类平抛运动规律可知
，
同时需保证小球不能撞击到圆弧cd 上，可得当
，
联立解得
⑤
联立②
将
⑤
代入可得
⑥
对甲球从a 到c 过程中根据动能定理
⑦
联立
可得
⑥⑦
5．（2025·山东·高考真题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q 分别为轨
道的两个端点且位于同一高度，P 处轨道的切线沿水平方向，Q 处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b 用
轻弹簧连接置于光滑水平面上，b 被锁定。一质量
的小球自Q 点正上方
处自由下落，无能
量损失地滑入轨道，并从P 点水平抛出，恰好击中a，与a 粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到
时，
b 解除锁定开始运动。已知a 的质量
，b 的质量
，方形物体的质量
，重力加速
度大小
，弹簧的劲度系数
，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式
（x 为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P 点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小
、
；
(2)弹簧弹性势能最大时，b 的速度大小
及弹性势能的最大值
。
【答案】(1)
，水平向左，
，水平向右；(2)
，水平向左，
【详解】（1）根据题意可知，小球从开始下落到
处过程中，水平方向上动量守恒，则有
由能量守恒定律有
联立解得
，
即小球速度为
，方向水平向左，大物块速度为
，方向水平向右。
（2）由于小球落在物块a 正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块
水平方向上动量
守恒，则有
解得
设当弹簧形变量为
时物块
的固定解除，此时小球和物块
的速度为
，根据胡克定律
系统机械能守恒
联立解得
，
固定解除之后，小球、物块
和物块
组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动
量守恒定律有
解得
，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
