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第六章 机械能守恒定律
第26 课时 功、功率
【考情分析·探规律】
功和功率
2024 山东卷T7、2024 江西卷T5、2024 浙江6 月选考T5、
2024 安徽卷T7、2024 贵州卷T6、2024·福建卷·T11、
2023 山东卷T4、2023 新课标卷T15、T20、2023 北京卷T11、
2023 广东卷T8、2023 湖北、2023 新课标卷、2022 福建、
2022 广东、2022 全国乙卷、2022 浙江、2022 江苏、2022 河北
机车启动问题
2023 山东卷T8、2023 湖北卷T4
试
题
情
境
生活实践类
体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过
山车等能量问题，汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律
的应用
学习探究类
变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、
杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，
传送带、板块模型的能量问题
【知识梳理】
考点一 功的分析和计算
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生位移。
2.公式：
W＝Fl
cos
α 。
(1)α 是力与位移方向之间的夹角，l 为力的作用点的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3.功的正负
(1)当0≤α<90°时，W>0，力对物体做正功。
1
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(2)当90°<α≤180°时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
4.计算恒力做功的方法
(1)直接用W＝Flcos α 计算。
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F 合，再用W 合＝F 合lcos α 求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力
做的功。
方法三：利用动能定理W 合＝Ek2－Ek1。
【小试牛刀】
典例1.(2025·山东安丘市第一中学开学考)如图，一磁铁吸附在铁板AB 的下方。现
保持铁板与水平面间的夹角θ 不变，缓慢推动B 端，使AB 与磁铁一起水平向左匀
速移动，则 ( )
A.合外力对磁铁做正功
B.AB 对磁铁的作用力不做功
C.AB 对磁铁的弹力不做功
D.AB 对磁铁的摩擦力不做功
【答案】B
【解析】由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A 错
误；磁铁受重力和AB 对它的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB 对磁铁的
作用力大小等于重力大小，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB 对磁铁
的作用力不做功，故B 正确；AB 对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，
故弹力一定做功，故C 错误；AB 对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，
故摩擦力一定做功，故D 错误。
典例2.如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg 的物体置于斜面上始
终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s 的速度匀速上升4 s 的过程中。g 取10 m/s2，
求：
2
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(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功。
【答案】(1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0
【解析】物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力
分析如图所示
由平衡条件得
Ffcos θ－FNsin θ＝0，
Ffsin θ＋FNcos θ－mg＝0
代入数据得Ff＝10 N，FN＝10√3 N
x＝vt＝20 m
(1)斜面对物体的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxsin θ＝100 J
(3)物体重力做的功WG＝－mgx＝－400 J
(4)合外力对物体做的功
方法一：W 合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F 合＝0，W 合＝F 合xcos α＝0。
考点二 功率的分析和计算
1.定义：
功与完成这些功所用时间之比。
2.物理意义：
描述力对物体做功的快慢。
3
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3.公式：
(1)P＝W
t ，P 描述时间t 内力对物体做功的快慢。
(2)P＝Fvcos α
①v 为平均速度，则P 为平均功率。
②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率。
【小试牛刀】
典例1.如图所示，质量为m＝2 kg 的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下
滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°
＝0.8，g 取10 m/s2，则前2 s 内重力的平均功率和2 s 末重力的瞬时功率分别为(
)
A.48 W 24 W
B.24 W 48 W
C.24 W 12 W
D.12 W 24 W
【答案】B
【解析】木块所受的合外力
F 合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
木块的加速度a＝F合
m ＝2 m/s2
前2 s 内木块的位移
x＝1
2at2＝1
2×2×22 m＝4 m
所以重力在前2 s 内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s 内的平均功率P＝W
t ＝24 W
木块在2 s 末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s 末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W
故选项B 正确。
4
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【解题技巧】
1.平均功率的计算方法
(1)利用P＝W
t 。
(2)利用P＝F·vcos α，其中v为物体运动的平均速度，其中F 为恒力，α 不变。
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α 求瞬时功率时，其中v 为t 时刻的瞬时速度。F 可为恒力，也
可为变力，α 为F 与v 的夹角，α 可以不变，也可以变化。
(2)对公式P＝Fvcos α 的理解：可认为Fcos α 是力F 在速度v 方向上的分力，也可认
为vcos α 是速度v 在力F 方向上的分速度。
【小试牛刀】
典例2.(2023·山东卷·4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里
引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R 的水轮，以角速度ω 匀速转动。
水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n 个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开
水面时装有质量为m 的水，其中的60%被输送到高出水面H 处灌入稻田。当地的重
力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为( )
A.2nmg ω
2 RH
5
B.3nmgωRH
5
C.3nmgω
2 RH
5
D.nmgωRH
【答案】B
【解析】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n 个，且每个水筒离开水面
时装有质量为m 的水，其中的60%被输送到高出水面H 处灌入稻田，则水轮转一圈灌
入稻田的水的总质量为m 总＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克
服重力做的功W＝1.2πRnmgH，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为P＝W
t ，t＝2π
ω
，联立解得P＝3nmgωRH
5
，故选B。
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考点三 机车启动问题
一、功率P 与F、v 的制约关系
典例1.发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发
动机的额定功率为60 kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是1 800 N。
(1)发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度大小；
(2)假定汽车以54 km/h 的速度匀速行驶时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际
功率是多少？
【答案】(1)33.3 m/s (2)27 kW
【解析】(1)汽车匀速行驶时，F 牵＝Ff＝1 800 N
P＝F 牵v1
则v1＝P
Ff
≈33.3 m/s
(2)v2＝54 km/h＝15 m/s
P 实＝F 牵v2＝2.7×104 W＝27 kW。
【解题技巧】
1.P＝Fv 中三个物理量的制约关系：P 一定时，v 越大，F 越小；F 一定时，v 越大，P
越大。
2.额定功率与实际功率：额定功率指发动机正常工作时的最大功率，实际功率指发动机
实际输出的功率，一般小于额定功率。最大速度vm＝P额
Ff
。
二、机车启动问题
(来自教材)质量为m 的汽车在平直公路上行驶，阻力F 保持不变。当它以速度v、加速
度a 加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在
额定功率下工作。
(1)汽车的加速度和速度如何变化？说出理由。
(2)如果公路足够长，汽车最后的速度是多大？
【答案】(1)见【解析】(2)( F ＋ma)v
F
【解析】(1)质量为m 的汽车，当发动机的实际功率等于额定功率P 额时速度为v，加速
度为a，
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则有P额
v －F＝ma
得P 额＝(F＋ma)v
此后由于P 额和F 不变，随着速度增大，a 逐渐减小，当
P额
vmax
＝F 时a＝0，此时速度达
到最大，vmax＝P额
F ＝( F ＋ma)v
F
达到最大速度后，以最大速度匀速行驶。
(2)如果公路足够长，汽车最终速度vmax＝( F ＋ma)v
F
。
【解题技巧】
1．以恒定功率启动
(1)过程分析
(2)此过程的P－t 图像和v－t 图像
2．以恒定加速度启动
(1)过程分析
(2)此过程的P－t 图像和v－t 图像
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典例1.一辆汽车质量m＝1.0×103 kg，发动机的额定功率P＝5.6×104 W，汽车在
运动过程中所受阻力Ff＝2 000 N(g 取10 m/s2)。
(1)求汽车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小；
(2)在水平直轨道上，发动机以额定功率P 工作，求当行驶速度为10 m/s 时，汽车的
瞬时加速度的大小；
(3)若汽车从静止开始，保持2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求这一过程维持的
最长时间。
【答案】(1)28 m/s (2)3.6 m/s2 (3)7 s
【解析】(1)汽车以额定功率行驶，当牵引力等于阻力，即F＝Ff时，汽车的加速度为
零，速度达到最大值vm，则vm＝P
F ＝P
Ff
＝28 m/s
(2)若v＝10 m/s，则此时牵引力F'＝P
v ＝5.6×103 N
根据牛顿第二定律得a＝F ' −Ff
m
＝3.6 m/s2
(3)由牛顿第二定律得F″＝Ff＋ma″＝4 000 N
在此过程中，速度增大，发动机功率增大，设功率增大到额定功率时速度为v″，则v″
＝P
F
″ ＝14 m/s
由v″＝a″t 得t＝v
″
a
″ ＝7 s。
典例2.(多选)如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动。喷水装置向下持续
喷水，总质量为M 的人与喷水装置受到向上的反冲作用力腾空而起，在空中做各种
运动。一段时间内，人与喷水装置在竖直方向运动的v－t 图像如图乙所示，水的反
冲作用力的功率恒定，规定向上为正方向，忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的
阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.t1~t2时间内，水的反冲作用力越来越大
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B.水的反冲作用力的功率为Mgv2
C.t1时刻，v－t 图像切线的斜率为v2−v1
v1
g
D.t2~t3时间内，水的反冲作用力做的功为Mgv2t3
【答案】BC
【解析】设水的反冲作用力的功率为P，由P＝Fv 可得水的反冲作用力F＝P
v ，由v－
t 图像可知t1~t2时间内，人与喷水装置的速度v 越来越大，则水的反冲作用力越来越小，
故A 错误；t2时刻，人与喷水装置的速度达到最大值v2，开始匀速上升，水的反冲作
用力F＝Mg，水的反冲作用力的功率P＝Fv2＝Mgv2，故B 正确；由v－t 图像可知t1时
刻，人与喷水装置的速度为v1，设水的反冲作用力为F1，由P＝Mgv2，P＝F1v1，可知
F1＝Mgv2
v1
，由牛顿第二定律有F1－Mg＝Ma，可得t1时刻，v－t 图像切线的斜率，即
人与喷水装置的加速度a＝
v2−v1
v1
g，故C 正确；由P＝W
t 可得W＝Pt，结合P＝
Mgv2，可知t2~t3时间内，水的反冲作用力做的功W＝Mgv2(t3－t2)，故D 错误。
【解题技巧】机车启动问题的三个重要关系式
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝P
F阻
。
2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，
v＝P额
F <vm＝P额
F阻
。
3.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得：Pt－F 阻x＝ΔEk。此
式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。
【限时训练】（限时：60 分钟）
【基础必刷题】1~6 题每小题5 分，共30 分
1.嫦娥六号的返回之旅堪称一场“太空芭蕾”，31 马赫(相当于10.55 km/s)的“太空水
漂”惊艳世人。如图所示，嫦娥六号返回器关闭发动机后利用大气层“水漂”降速，
在由a 点进入大气层到达最低点b，又返回从c 点跳出大气层的过程中，下列说法正确
的是( )
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A.a→b 过程中，大气阻力对该返回器做正功
B.a→b 过程中，大气阻力对该返回器做负功
C.b→c 过程中，大气阻力对该返回器做正功
D.b→c 过程中，该返回器只受地球引力作用
【答案】B
【解析】在a→b 和b→c 整个过程中，该返回器在大气层中运动，大气阻力方向与运动
方向相反，因此大气阻力始终对该返回器做负功，A、C 错误，B 正确；b→c 过程中，
该返回器除受地球引力作用外，还受到大气阻力作用，D 错误。
2.(2023·新课标卷·15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直
下落。一质量为m 的雨滴在地面附近以速率v 下落高度h 的过程中，克服空气阻力做
的功为(重力加速度大小为g)( )
A.0
B.mgh
C.1
2mv2－mgh
D.1
2mv2＋mgh
【答案】B
【解析】由于雨滴是匀速下落，所以受力平衡，空气阻力等于重力，Ff＝mg，所以克
服空气阻力做的功为：W 克f＝Ff·h＝mgh，选项B 正确。
3.(2024·江西卷·5)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”是李白对庐山瀑布的浪漫主义
描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，
发电效率为70%，则发电功率大致为( )
A.109 W
B.107 W
C.105 W
D.103 W
【答案】B
【解析】由题知，Δt 时间内流出的水量为m＝ρQΔt＝1.0×104Δt(kg)，发电过程中水的
重力势能转化为电能，则有P＝mgh
Δt ×70%≈1.0×107 W，故选B。
4.(多选) 如图所示，在投掷铅球比赛中，某同学先后从同一位置抛出同一铅球，铅球
第1 次落在水平地面上的M 点，第2 次落在水平地面上的N 点，两次铅球到达的最大
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高度相同。不计空气阻力，关于两次铅球在空中运动情况的描述，下列说法正确的是(
)
A.两次推球过程，速度变化量大小相同
B.两次推球过程，平均速度大小可能相同
C.推球过程，合外力对铅球做功满足W1＝W2
D.铅球落地时，重力的瞬时功率满足P1＝P2
【答案】BD
【解析】设铅球抛出时的速度与水平方向夹角为θ，从抛出到最高点的过程中，由v y
2
＝(vsin θ)2＝2gh 可知vy1＝vy2，由题图可知θ1>θ2，可得v1<v2。推出铅球的过程中，根
据动能定理W＝1
2mv2可知对铅球做的功等于铅球获得的动能，同一铅球速度越大，动
能越大，可知W1<W2，故A、C 错误；两次推球过程铅球的位移和推球时间均未知，
所以平均速度大小可能相同，故B 正确；铅球落地时，重力的瞬时功率为P＝mgvy'，
又vy'＝－vy＋gt。由于抛出时竖直方向的分速度相同，从抛出到落地过程中所用时间相
同，可知铅球落地时，重力的瞬时功率相同，故D 正确。
5.如图甲所示，质量m=1 kg 的小物体放在长直的水平地面上，水平细线一端连接小物
体，一端绕在半径R=0.1 m 的薄圆筒上。t=0 时刻，圆筒由静止开始绕竖直的中心轴转
动，其角速度随时间的变化规律如图乙所示，不考虑绕制细线对转动半径的影响，已
知小物体和地面间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度g 取10 m/s2，则( )
A.4 s 末细线拉力对物体做功的功率为4.4 W
B.0~4 s 内，滑动摩擦力对小物体做的功为0.8 J
C.4 s 末滑动摩擦力对物体做功的功率为4 W
D.0~4 s 内，细线拉力对物体做的功为0.88 J
【答案】D
【解析】根据图像可知角速度随时间变化的关系式为ω=t(rad/s)，圆筒边缘线速度与物
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体前进速度大小相同，则v=ωR=0.1t(m/s)，可知物体做匀加速直线运动，加速度为a=
Δv
Δt
=0.1 m/s2，根据牛顿第二定律有F-μmg=ma，解得F=1.1 N，物体在4 s 末的速度
v4=4 m/s，4 s 末细线拉力的瞬时功率P=Fv4=0.44 W，物体在4 s 内运动的位移x4=1
2a
t 4
2=0.8 m，细线拉力对物体做的功为W=Fx4=0.88 J，故A 错误，D 正确；4 s 末滑动摩
擦力的瞬时功率为P'=μmgv4=0.4 W，滑动摩擦力对物体做的功为W'=-μmgx4=-0.8 J，
故B、C 错误。
6.(多选)(2022·广东卷·9 改编)如图所示，某无人驾驶小车在水平MN 段以恒定功率200
W、速度5 m/s 匀速行驶，在斜坡PQ 段以恒定功率570 W、速度2 m/s 匀速行驶。已知
小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ 段的倾角为30°，重力加速度g 取10 m/s2，
不计空气阻力。下列说法正确的有( )
A.从M 到N，小车牵引力大小为40 N
B.从M 到N，小车克服摩擦力做功800 J
C.从P 到Q，小车重力势能增加1×104 J
D.从P 到Q，小车克服摩擦力做功700 J
【答案】ABD
【解析】小车从M 到N，依题意有P1＝Fv1＝200 W，
代入数据解得F＝40 N，故A 正确；
依题意，小车从M 到N，因匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为Ff1＝F＝40 N，
则摩擦力做功为W1＝－40×20 J＝－800 J，
则小车克服摩擦力做功为800 J，故B 正确；
依题意，从P 到Q，重力势能增加量为
ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C 错误；
依题意，小车从P 到Q，摩擦力大小为Ff2，有
Ff2＋mgsin 30°＝P2
v2
，摩擦力做功为W2＝－Ff2·PQ，联立解得W2＝－700 J，则小车克
服摩擦力做功为700 J，故D 正确。
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【巩固必刷题】7~10 题每小题6 分，共24 分
7.某汽车以恒定的加速度由静止开始沿平直的公路行驶，t1时刻达到发动机额定功率后
保持功率不变，t2时刻起匀速行驶。汽车所受的阻力大小不变，则此过程中汽车的速度
v、牵引力F、加速度a、功率P 随时间t 的变化规律正确的是( )
【答案】B
【解析】汽车在0~t1时间内做匀加速直线运动，则加速度a 不变，速度v 均匀增加，牵
引力F 保持不变，根据P＝Fv＝Fat 可知功率随时间均匀增加；t1~t2时间内，功率P 保
持不变，根据P
v －Ff＝ma 可知随着速度的增加，加速度a 减小，牵引力F 减小；t2时
刻后匀速行驶，速度不变，牵引力等于阻力不变，加速度为零，功率不变，故选B。
8.(2023·湖北卷·4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大
速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后
不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为( )
A. P1v1＋P2v2
P1＋P2
B. P1v2＋P2v1
P1＋P2
C.( P1＋P2)v1v2
P1v1＋P2v2
D.( P1＋P2)v1v2
P1v2＋P2v1
【答案】D
【解析】由题意可知两节动车分别有P1＝Ff1v1，P2＝Ff2v2，当将它们编组后有P1＋P2＝
(Ff1＋Ff2)v，联立可得v＝( P1＋P2)v1v2
P1v2＋P2v1
，故选D。
9.(多选)图为某电动汽车在加速性能试验过程中的v-t 图像。为了简化计算，可近似认
为：汽车运动时受到的阻力恒定，在0~30 s 内做匀加速直线运动，30 s 后汽车发动机的
功率保持不变。近似后可得( )
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A.15 s 末、30 s 末汽车的牵引力大小之比为2∶1
B.15 s 末、30 s 末汽车的发动机功率之比为1∶2
C.30 s 末、54 s 末汽车的加速度大小之比为4∶3
D.0~30 s 内、30~54 s 内汽车发动机做功之比为5∶8
【答案】BD
【解析】由题意可知汽车前30 s 做匀加速直线运动，则牵引力恒定，所以15 s 末、30
s 末汽车的牵引力大小之比为1∶1，故A 错误；由题图可知15 s 末、30 s 末的速度分
别为9 m/s、18 m/s，由公式P=Fv 可知，15 s 末、30 s 末的功率之比为1∶2，故B 正
确；设30 s 后汽车发动机功率为P 额，汽车的加速度为a= F −Ff
m
=
P
v −Ff
m
，所以30 s
末、54 s 末的加速度之比应为a1
a2
=
P额
18 −Ff
P额
24 −Ff
=4
3 · P额−18 Ff
P额−24 Ff
>4
3 ，故C 错误；0~30 s 内，
汽车发动机做功W1=Fx1= P额
18 ×30×18
2
(J)=15P 额(J)，30~54 s 内汽车发动机做功W2=P 额
(54-30)(J)=24P 额(J)，所以W 1
W 2
=5
8
，故D 正确。
10.(多选)电动汽车在研发过程中都要进行性能测试，如图所示为某次测试中某型号汽
车在水平路面上由初速度为2 m/s 开始运动，牵引力F 与速度v 的倒数的F－1
v 图像，
vm表示最大速度，ab 平行于1
v 轴，bc 反向延长过原点。已知阻力恒定，汽车质量为
1×103 kg。下列说法正确的是( )
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A.汽车从a 到b 持续的时间为9 s
B.汽车由b 到c 过程做匀加速直线运动
C.在此测试过程中汽车最大功率为80 kW
D.汽车能够获得的最大速度为30 m/s
【答案】AC
【解析】c 点时汽车速度最大，牵引力等于阻力，
所以Ff＝2×103 N
汽车从a 到b 做匀加速直线运动，加速度为
a＝F −F f
m
＝(4−2)×10
3
1×10
3
m/s2＝2 m/s2
汽车从a 到b 持续的时间为t＝vb−va
a
＝20−2
2
s＝9 s，故A 正确；根据F＝P
v ，结合
bc 段图像，可知汽车从b 到c 以恒定功率加速，根据牛顿第二定律有P
v －Ff＝ma，可
知汽车由b 到c 过程做加速度减小的加速运动，故B 错误；由b 点知Pm＝Fbvb＝80
kW，故C 正确；汽车能够获得的最大速度为vm＝Pm
F f
＝40 m/s，故D 错误。
【尖子拔高题】 (6 分)
11.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车
提升的速度大小v 随时间t 的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提
升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，质量相等。不考
虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程，下列说法正确的有( )
A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
【答案】AC
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【解析】由题图可得，变速阶段的加速度大小a＝
v0
t0
，设第②次所用时间为t2，根据速
度—时间图像与时间轴所围的面积表示位移(此题中为提升的高度)可知，1
2×2t0×v0＝
1
2[t2＋(t2－t0)]×1
2v0，解得t2＝5t0
2 ，所以第①次和第②次矿车上升所用时间之比为
2t0∶5t0
2 ＝4∶5，选项A 正确；由于两次提升过程变速阶段的加速度大小相同，在匀
加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得电机的最大牵引力之比为1∶1，选项
B 错误；由功率公式P＝Fv 可知，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为
2∶1，选项C 正确；加速上升过程的加速度a1＝
v0
t0
，加速上升过程的牵引力F1＝ma1
＋mg＝m(v0
t0
＋g)，减速上升过程的加速度a2＝－v0
t0
，减速上升过程的牵引力F2＝ma2
＋mg＝m(g－v0
t0
)，匀速运动过程的牵引力F3＝mg。第①次提升过程做功W1＝F1×1
2
×t0×v0＋F2×1
2×t0×v0＝mgv0t0；第②次提升过程做功W2＝F1×1
2×1
2t0×1
2v0＋F3×3
2
t0×1
2v0＋F2×1
2×1
2t0×1
2v0＝mgv0t0，两次做功相同，选项D 错误。
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