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2026 届高考数学押题预测密卷（三）
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合 ，集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意可得： ，所以 .故选：D
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】 单调递增， ，
单调递增， ，
，
即“ ”是“ ”的充要条件.
3．下列函数中，在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A， 在区间 上单调递增，不符合题意；
对于B， 的定义域为 ，不符合题意；
对于C， ，在区间 上单调递减，符合题意；对于D， 在区间 上单调递增，不符合题意；
4．在 中，若 ， ，其面积为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由题意知， ，所以 .
由余弦定理知， ，所以 .
由正弦定理得， ，则 ， ， .
所以 .
5．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】构造指数函数 ，底数 ，所以 单调递减，即 ；
，即 .
6．已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，以 为直径的圆与C在第一象限交于点
P，直线 交C于另一点Q，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】设 的半焦距为 ， ，
则 ， ， ， ，
由题意可知： ，
在 中， ，即 ，解得 ，
则 ， ，
在 中， ，即 ，可得 ，
所以椭圆C的离心率 .
7．若数列 满足：对于任意正整数n， ，则称 ， 互为交错数列．记正项数列
的前n项和为 ，已知1， ， 成等差数列，则与数列 互为交错数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由1， ， 成等差数列，可得 ， ，
当 时， ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ，
上面两式相减可得 ，
化为 ，
由 ，即有 ，是3为首项，2为公差的等差数列，可得 ，
对A， ，
，
与数列 不互为交错数列，故A选项错误；
对B，由 ，可得 ，
与数列 不互为交错数列，故B选项错误；
对C，由 ，
，
与数列 不互为交错数列，故C选项错误；
对D，由 可得
，
与数列 互为交错数列，故D正确．
故选：D．
8．已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 ，
当 时，则 ，可得 ，
即 ，则 ，可得 ，
因为 在 上单调递增，所以 ；当 时，则 ， ， 不可能成立，不合题意；
当 时，则 ，
设 ，对任意 ，且 ，
则 ，且 ，可得 ，即 ，
可知 在 上单调递增，则 ，即 ；
综上所述： 的取值范围是 .
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．随机事件A,B相互独立的充要条件是
B．设X为随机变量,则
C． ,则 ,
D．若 ,记函数 , ,则 的图象关于点 对称
【答案】ABD
【详解】对于A，先证必要性：若 相互独立，则 ，
所以 ，
再证充分性：若 ，则 ，
所以 ，即 ，说明 与 相互独立，
所以随机事件A,B相互独立的充要条件是 ，故A正确；
对于B，由于 ，则 ，所以 ，
即 ，所以B正确；
对于C，由 ,则 , ，故C错误；
对于D，因为 ,记函数 , ,
所以对任意 ，有 ，
由正态分布的对称性： ，
因此 ，
即 的图象关于点 对称，故D正确.
10．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 为等差数列 B．数列 为等比数列
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，由 ，得 ，又 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，故A错误；
对于B，由题意得 ，又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故B正确；
对于C，由对A的分析知 ，所以 ，故C正确；
对于D，由对B的分析知 ，故 ，由 ，
得 ，即 时， ，
又 ，所以 ， ，所以当 为奇数时， 均为0，
当 为偶数时， 均为1，故 ，
即 ，即 ，故D正确.
11．若曲线 由半圆 和半椭圆 组成，若直线 与 交于 两点（ 在 的
左侧）， ，则（ ）
A．
B． 的最大值为
C．存在 ，使得四边形 是平行四边形
D． 面积的最大值为
【答案】ACD
【详解】因为曲线 由半圆 和半椭圆 组成，所以曲线 关于横轴对称，不妨研究
当 时的情况.
A：由椭圆 的标准方程可知 ，
所以 是椭圆 的焦点，
于是有 ，所以本选项结论正确；
B：显然 ，所以 是直角三角形，且 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，即 ，
此时 ，显然 重合，不符合题意，
即 ，所以本选项说法不正确；C：当 时，
由 .
当 时，
由 .
假设四边形 是平行四边形，因为 ，
所以 ，
即 ， 舍去，所以存在 ，使得四边
形 是平行四边形，所以本选项说法正确；
D： 的面积为 ，当且仅当 时取等号，
即 ，
所以当 时， 面积的最大值为 ，所以本选项说法正确.
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若 的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______.
【答案】
【详解】由题意可得 ，故 ，
故展开式的第四项为 ,故系数为 ，
故答案为：
13．已知在 中， ，且 的最小值为 ，若 为边 上任意一点，
则 的最小值为__________．
【答案】
【详解】设 ，对 平方得：
，
由于 ,
，所以当 时， 取到最小值 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
由余弦定理可得： ，
取 中点为 ，则 ，
因为 为边 上任意一点，则 的最小值为点 到 的距离，
再由正弦定理可得： ，
所以 ，即 的最小值为 .
14．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，且 ．记
，则 的取值范围为________．【答案】
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），因为 ，所以
．
在锐角 中，有 ， ，则 ，所以 ，
，因为 ，所以 ，所
以 ，所以 ，即 ．
因为 ，设 ，则 ，
构造函数 ，由于 ，所以 ，所以 关于 单调递增，所以 的取值范围
为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
15．如图，在四边形 中， .(1)若 ，求边 的长；
(2)求 面积的取值范围．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）在 中， ， ，由余弦定理
，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以
，
在 中，由正弦定理得 ，
即
所以边 的长为 .
（2）设 ，因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
由三角形内角和定理 ，得 ，解得 ，
在 中， ，由正弦定理得 ，
所以 面积
.
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 面积的取值范围为 .
16．已知数列 ， 满足 ( )，且 ．
(1)证明：数列 与 均为等比数列；
(2)求数列 的前25项和 ．(其中 表示不超过 的最大整数，如 )
【详解】（1）由 ，可得 ，
又 ，
所以 与 均为等比数列；
（2）由（1）知 ， ，所以 ，
则 ， ，
.17．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理
论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于AI的人工智能通识课程，帮助学生深入了
解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在
多领域的深度融合与创新.某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图.
已知准确率在 内的试卷数为10.
(1)求图中 的值，并求出试卷总数；
(2)“如何利用AI”是AI能否更好的造福人类的关键，基于此该小组进行了AI运用比赛，即用AI进行问题解答，并
通过正确率来评定结果.甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方
均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率
为 ，乙获胜的概率为 ，两人平局的概率为 （ ， ， ， ），且每局比赛结果相互独
立.
（ⅰ）若 ， ， ，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率；
（ⅱ）当 时，
①若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数 的分布列及期望 的最大值；
②若比赛不限制局数，求“甲同学赢得比赛”的概率（用 ， 表示）.
【答案】(1) ；100套 (2)①分布列见解析， ；②
【详解】（1）由频率分布直方图可得 ，解得 ；而准确率在 内的试卷数占样本总数的 ，准确率在 内的试卷数为10，
所以共有100套试卷；
（2）（i）用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，
则 ， ， ，
记“进行4局比赛后甲同学赢得比赛”为事件 ，
则事件 包括事件： ， ， ， ， 共5种，
所以
.
（ⅱ）①因为 ，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，
即 ，由题意得 的所有可能取值为：2，4，5，
，
，
所以 的分布列为：
2 4 5
所以 的期望为：
因为 ，所以 ，
等号成立时， ，所以
所以
故 的最大值为： .②记“甲同学赢得比赛”为事件 ，
则 ，前两局比赛结果可能有： ， ， ， ，
其中事件 表示“甲同学赢得比赛”，事件 表示“乙同学赢得比赛”，
事件 ， 表示“甲、乙两名同学各得1分”，
当甲、乙两名同学得分总数相同时，
甲同学赢得比赛的概率与比赛一开始甲同学赢得比赛的概率相同，
所以
，
所以 ，得 ，因为 ，
所以 .
18．已知椭圆 ： 的短轴长为2，且过点 ，设点 为椭圆在第一象限内一点.
(1)求椭圆 方程；
(2)点 关于原点的对称点为 ，点 ，点 为 中点， 的延长线交椭圆于点 .记直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
（ⅰ）求证： 为定值；
（ⅱ）当 最大时，求直线 方程.
【答案】(1)
(2)（ⅰ） 为定值 （ⅱ）【详解】（1）由题意短轴长为2， ，即 ，因为椭圆经过点 ，
所以 ，则 .所以椭圆方程为
（2）（ⅰ）证明：由题意可得 ，因为点 关于原点的对称点为 ，所以 ,点
，点 为 中点，即 ，设 .
直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，
所以 ①，
因为 在椭圆上，所以 ，解得 ②，
同理因为点 在椭圆上，所以 ③，
将②③代入①式，得 （为定值）.
综上， 为定值 .
（ⅱ）又因为 既在椭圆上又在 的延长线上，
所以 ，
又因为所以 ，则 ，
设 ，直线 倾斜角为 ，直线 倾斜角为 ，
， ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ，解得 （因为 ）时等号成立，即此时 最大.
所以 直线方程为 ．
19．已知函数 ， ．
(1)若函数 与 在 处的切线平行， ，求 的极值；
(2)当 时，讨论函数 零点的个数；
(3)设m为正整数，若 ， ，求m的最小值．
【详解】（1）由题意知 ，故 ，则 ，由 ，得
，则 ，由函数 与 在 处的切线平行，得 ，
此时 ， ，当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故当 时， 取得极小值 ，无极大值；（2）由（1）知 ，
因为 ，故 时， ， 时， ，
则 在 上均单调递增，在 上单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ，知 在 上有一个零点；
当 时， 在 上无零点，
故 在 上仅有一个零点；
当 时， 在 上有一个零点，
，故 在 上有一个零点，
此时 在 上有3个零点；
当 时， 在 上有一个零点，
此时 在 上有2个零点；
综上，当 时， 在 上仅有一个零点；
当 时， 在 上有2个零点；
当 时， 在 上有3个零点；
（3）由（1）知，对于任意 ，得 ，当且仅当 时取等号，
令 ，则 ，
时， .当 时，则 ，故
，故 ，
又 ，
结合 ， 且 为正整数，
可得正整数m的最小值为 .
