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2026届高考数学压轴题1+1+1+1 33分练
第一练 函数与导数 （A组+B组）
[特别注意：每组试题第2题为多选题]
--------------------------------------◎ A组 ◎---------------------------------------
（建议用时：30分钟 满分：33分）
1.已知 ，函数 的最大值为0，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】依题意可得函数 的定义域为 ，由函数 的最大
值为0，即 在 上恒成立，
即 的图象在 的下方，
结合图象可得，当函数 的图象过原点，且 与 相切时， 取得最小值，
根据对称性，不妨只考虑 的情况，即当 与 相切时， 取得最小值，
即 在 上恒成立，令 ，即 时， 取得最小值，
则 ，令 ，则 ，
又 时， ，即 在 上单调递增；时， ，即 在 上单调递减，
所以 ，解得 ．
2．已知函数 在 上是增函数，在 上是减函数，且方程 有3个
不等实根，它们分别为 ， ，2，则（ ）
A．实数 为0 B． 为定值
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 .
因为函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以方程 有两个解：故A正确；
其中一个根为0，即 ，
另一根： .
所以 ，又方程 有3个不等实根，它们分别为 ， ，2.
所以 .
由 为定值，故B正确.
又 .
由 .
当 时， ，此时 ，所以 只有两个根，与 有3个不等实根矛盾，所以 .
因为 ，
因为 ，所以 ，无法确定 ，故C错误；
因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故D正确.
3.若曲线 过点 的切线恒在函数 的图象的上方，则实
数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】设曲线 过点 的切线的切点为 ，
则切线的斜率 ，
所以 ， ，切线方程为 ，
所以 恒成立，
所以 恒成立，
令 ，则
令 ， ，令 ， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，则 为 的极小值点，
又因为 时， ，
所以 ，故 .
4.已知函数 ．
（1）当 时，令 ，求 的最小值；
（2）当 时，求证： ；
（3）若 ，求证： .
【解析】（1） ，令 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 的最小值为0.
（2）令 ， ， 在 单调递增，
， ，
由（1）可得 ， ．①
令 ， ， ，
， ．②
① ②可得 ， 不等式成立.
（3） ， ，
即证 ，
不妨设 ，令 ，则 ，
，令 ，则 ， ，
， ， ，故 为 上的增函数．
，当且仅当 时取等号，故 为 上的增函数．
，
，故原命题得证．
--------------------------------------◎ B组 ◎---------------------------------------
（建议用时：30分钟 满分：33分）
1.关于 的方程 有实根，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由关于 的方程 有实根，得关于 的方程 有实
根，设方程 的实根为 ，则 ，
得到 ，即 ，设点 ，则点 在直线 上，
点 到直线 的距离 ，
设 ，函数 ， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
因此 ， ，则 ，
当 时， ，由 ，解得 ，此时 ；
由 ，解得 ，此时 ，
所以 的取值范围为 .
2.已知函数 ，其中 ，则（ ）
A. 若函数 有且仅有1个零点，则
B. 若函数 有且仅有2个极值点，则a的取值范围是
C. 不存在 ，使函数 存在唯一的极值点D. 若对 恒成立，则
【答案】ABD
【解析】对于A，显然0不是函数的零点，当 时，令 ，变形为 ，
令 ， ，则 ，
令 得 或 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，作出 的图象，如下：
直线 与其仅有一个公共点，则 ；
对于B， ，令 ，
函数 有且仅有2个极值点，故 有2个变号零点，
令 得 ，显然0不是函数的零点，
当 时， 变形为 ，令 ，则 ，令 得 ，令 得 或 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，作出 的图象，如下：
直线 与其交于两点，则 ，故 ，B正确；
对于C，结合B的分析，显然当 时， 有且仅有一个变号零点，
函数 存在唯一的极值点，C错误；
对于D， ，即 ，当 时， 满足要求，
当 时， ，变形为 ，
令 ，结合A的分析，当x＞0时， ，故 ，D正确.
3.设 分别是 与 的零点，则 的取值范围是
___________．
【答案】
【解析】当 时，因为函数 是实数集上的增函数，所以函数 是实数集上的增函数，
因为 是 的唯一零点，
所以 ，
即 是指数函数 和反比例函数 的唯一交点的横坐标.
当 时，因为 是 的零点，
所以 ，
设 ，
当 时，因为函数 是正实数集上的增函数，
所以 是正实数集上 的增函数，
即 是指数函数 和反比例函数 唯一交点的横坐标，
的
显然函数 与函数 的图象关于直线 对称，如下图所示：
显然 ，由数形结合思想可知： ，
的中点在 上，所以 ，
，设 ，
由对勾函数的单调性可知该函数在 时，单调递减，
即 ，
所以 的取值范围是 .
4．已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若存在正数 ，且 为函数 大于1的零点， 为函数 的极值点．
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减，
所以函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间．
（2）（ⅰ）由（1）可知 ，令 ， ，
则 ．因为 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减，
当 时，由（1）可知，函数 在 上单调递减，
所以函数 不存在极值点，不符合题意；
当 时， ，所以当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递减．
因为 ，所以当 时， ，
所以函数 不存在大于1的零点，不符合题意；
当 时， ，因为 ， ，
所以存在 ，满足 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 存在极值点．
因为 ，
，所以 ，此时 ，且 ，
即函数 存在大于1的零点，此时实数 的取值范围为 ．
（ⅱ）证明：依题意 即 所以 ，即 ．
因为 在 上恒成立，且 ， ，即 ，
所以 ，即 ，
两边取对数得 ，
则 ，所以 ．
