文档文本内容
2026 年高考考前信心增强卷
数学（全国Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设 ，
或 ，
所以 .
2．已知命题 ： ，有 ，命题 ： ，使得 ，则（ ）
A． 和 都是真命题
B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题
D． 和 都是真命题
【答案】B
【详解】对于命题 ，取 ，得 ，所以命题 不正确，所以 是真命题；对于命题 ，取 ，得 ，所以命题 正确.
综上所述， 和 都是真命题.
3．已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的计算公式求得正确答案.
【详解】依题意， 在 上的投影向量为 .
4．记 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，
, 因 , 故 .
.
综上可得大小关系： .
5．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理把 换成 ,代入 化简得 ,结合三角形内角范围,得
或 ,故三角形为等腰三角形或直角三角形.【详解】在 中，由正弦定理 ， 为 外接圆半径.
得 ， .
将其代入已知条件 ，可得 .
化简得 ，因为 ，所以 .
因此有两种情况：
① ，即 ，此时 为等腰三角形；
② ，即 ，则 ，此时 为直角三角形.
综上， 的形状为等腰三角形或直角三角形.
6．已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由已知变形得到 ，利用等差数列求通项公式得到 ，进而得 ，即可得答
案.
【详解】由 可变形为 ，
故 为公差为 的等差数列，
所以 ，所以 ，所以 ．
7．在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，
则 ， ， ，所以点 到直线 的距离为
故选：D
8．已知 ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的最大值是
（ ）
A． B． C．4 D．14
【答案】C
【分析】先根据 求出点 的轨迹为圆，再结合直线与圆有交点时圆心到直线的距离不大于半径，求解
的取值范围即可得到最大值。
【详解】设 ，由 得 ，化简整理得 .
由题意得直线 与 有公共点，
故 ，
解得 ，
所以实数 的最大值是 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量 ，则方差
B．2，4，5，7，8，11，15，18的上四分位数是13
C．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是
D．对具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，对于样本
点 对应的残差为
【答案】BCD
【分析】由二项分布的方差公式求方差判断A，由上四分位数的定义求分位数判断B，应用分步分类计数及排列组
合求任意相邻两个数字的奇偶性不同的六位数的个数、其中 相邻情况的个数，再由古典概型求概率判断C，根
据样本中心求参数，再由残差的定义确定样本点的残差判断D.
【详解】A：由题设 ，则 ，错，
B：由题设 ，数据从小到大排序知上四分位数是 ，对，
C：将 中任意相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，
有两种情况：奇偶奇偶奇偶、偶奇偶奇偶奇，所以共有 种，
其中 相邻的情况，如：“奇偶奇偶奇偶”的排列，
共有奇偶相邻对有5个，将 安排到其中一个，
再把 中的奇数、偶数分别安排到余下的4个位置，
所以共有 种，
同理“偶奇偶奇偶奇”的情况也有20种，故共有40种，
综上，在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是 ，对，
D：由题意 ，可得 ，则 ，
当 ，则 ，则残差为 ，对.
10．已知函数 的周期为 ，且向右平移 个单位后所得到的函数为奇函数，则下
列说法正确的是（ ）A．函数 在 上单调递减
B．函数 的图象关于点 中心对称
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在 处取极值
【答案】AC
【分析】先根据周期公式求出 值，再结合函数平移后为奇函数的性质确定 值，得到函数解析式
.再根据正弦函数的性质，逐一判断 、 、 各选项是否正确. 先对函数求导，再根据极值点的
定义，判断选项 是否正确.
【详解】由 ，得 ，则 ，
将 向右平移 个单位长度，得 .
因为 是奇函数，所以， ，得， .
由 ，得 . 所以， .
选项A：令 ，则 可转化为 .
由 ，得 ，因 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，故A正确.
选项B：因为 ，故B不正确.
选项C：当 时， ，故C正确.
选项D： ，所以， ，所以 在 处一定不取极值，故D不正确.
11．在正方体 中，下列结论正确的是（ ）
A． 与 所成的角为
B． 与 所成的角为
C． 与平面 所成的角为
D． 与平面 所成的角为
【答案】BCD
【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可.
【详解】如下图， 且 为等边三角形，则 与 所成的角为 ，A错误；
由 ，且 ，则 ，故 与 所成的角为 正确；
由 平面 ，则 与平面 所成的角为 ，C正确；
由 平面 平面 ，则 ，又 ，
且都在平面 内，则 平面 ，
所以 与平面 所成的角为 ，且 ，
故 ，D正确.第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若复数Z满足： ，则 __________．
【答案】
【详解】对等式 两边同时取模，可得 .
13．已知各项均为正数的等比数列{ }的前n项和为 ，且 ， 则 _______
【答案】
【详解】因为数列 为等比数列，且各项均为正数，设公比为 ，所以 ， ，
由 得 ，
即 ，解得 或－1（舍），
所以 ．
14．双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 是双曲线右支上一点且在以 为直径的圆上，
直线 的斜率为2，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【分析】利用 在以 为直径的圆上得到 为直角，结合双曲线右支的定义 和直线 的
斜率得到直角三角形三边关系，再由勾股定理推导出双曲线的离心率.【详解】因为 在以 为直径的圆上，根据直径所对圆周角为直角，得 ，
即 是直角三角形，斜边 ，
因为直线 斜率为 ，所以 中两直角边满足 ，
在双曲线右支上，由双曲线定义 ，
代入 得 ， ，
由 得 ，化简得 ，即 ，
因此离心率 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设函数 ，将函数 的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列 ，且
．
(1)求 的值；
(2)求函数 图象的对称中心；
(3)求数列 的前2n项和 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先令函数 ，根据正弦函数值求解 ，再结合最小正零点及已知条件求出 .（2）由（1）得出 的表达式，令正弦函数的相位为 ，求解 ，进而得到对称中心.
（3）根据三角函数零点求出数列 的通项公式，进而求出 .
【详解】（1）令 得
或 ，其中 ，
解得 或 ，
所以当 时， 的最小正零点为 ．
依题意有 ，故 ．
（2）由（1）知 ，
令 ，解得 ，
所以函数 图象的对称中心为 ．
（3）由（1）可知 满足 或 ，
依据三角函数的特性可知， 在一个周期内有两个零点，
所以最小的两个正零点为 ，周期 ，
所以数列 的奇数项构成了一个以 为首项，2为公差的等差数列，
数列 的偶数项构成了一个以 为首项，2为公差的等差数列，
所以
所以 ，
所以 ．16．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，平面 平面 ，平面
平面 且二面角 的余弦值为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用空间垂直关系的转化可得 ， ，由线面垂直的判定定理可证 平面 ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量求出面面角的余弦值，从而求出 ，据此可求三棱锥
的体积.
【详解】（1）因为四边形 为正方形，故 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，同理 ，而 ， 平面 ，
故 平面 .
（2）因为 平面 ， ，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
故 ，故 ，所以 ，故 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
⃗
所以 ，取n=(1−λ,1−λ,1−2λ) ，
❑√6 = | m ⃗ ⋅ ⃗ n ) = | 1−2λ )
而平面 的法向量为 ，故 ，
3 |⃗)|⃗) ❑√2(1−λ) 2+(1−2λ) 2
m n
整理得 ，故 ，故 ，
故 到平面 的距离为 ，故 .
17．现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上
过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某
一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成
功．
1 2 3 4 5
516 209 127 98 50
(1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变
量 ，求 的分布列和期望；
(2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记 表示成功时抽球游戏的轮数， 表示对应的人
数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型 的拟合效果优于线性回归模型，求出 关于 的非
线性回归方程（结果保留整数）．
附：回归方程系数： ， ．
参考数据：设 ， ， ， ， ， ， ．【答案】(1)分布列见解析， ；
(2) .
【分析】（1）先求出每一轮成功和失败的概率，再由条件概率公式求解即可；
（2）设 ，则回归方程为 ，根据所给数据和公式，求出 的值，再代回 ，即可得答案.
【详解】（1）由题意可知：
第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑），
所以成功的概率为 ，所以失败的概率为 ；
第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑），
所以成功的概率为 ，所以失败的概率为 ；
第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮；
所以 ， ， ，
所以 的分布列如下：
所以
（2）设 ，则回归方程为 ，
因为 ， ， ， ， ，
且 ，
所以 ，
所以 ．
所以回归方程为 ，又因为 ，
所以回归方程为 .
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的图象经过点 ，且椭圆C的右焦点F的坐
标为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F作倾斜角为 的直线和椭圆C交于 两点，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】(1)已知焦点坐标，根据椭圆的定义 得到的 的值，再根据 计算 的值，得到椭
圆C的标准方程．
(2)根据点斜式写出直线方程，联立椭圆方程得到一元二次方程，根据韦达定理得到两点坐标之间的关系，代入两
点间距离公式化简即可．
【详解】（1）依题意，椭圆的右焦点为 ，则左焦点为 ，设 ，
由椭圆的定义可知 ，
所以 ，可得 ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）依题可设过点 的直线方程为 ，
将其与椭圆方程 联立，消元得 ，设 ，则得 ， （*），
于是
将（*）代入，得 ．
19．已知函数 ．
(1)当 时，判断经过点 的曲线 的切线有多少条；
(2)若 在区间 上的最小值为 ，求实数a的值．
【答案】(1)1条
(2)
【分析】（1）设切点，求出切线，根据过 解出切点．
（2）求导，对 范围讨论，判断单调性，求出最小值，得到实数a的值．
【详解】（1）由题可知 的定义域为 ，
当 时， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为：
．
将 代入上式，得 ，
化简得 ．
令 ，则 ，设 ，则 ，
令 ，得 ，所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，所以 ， 在 上有唯一的零点，
所以经过点 的曲线 的切线仅有1条．
（2） ，
令 ，得 ，令 ，得 ．
①当 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
所以 ，不符合题意；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，由 ，解得 ；
③当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减，
所以 ，不符合题意，舍去．
综上， ．
