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2026 高考数学·百分卷（十七）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 .
2.已知 ，则向量 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 , ，
.
3.在研究线性回归模型时，样本数据 所对应的点均在直线 上，则解释变量和
响应变量之间的相关系数 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】由题意知，样本数据 所对应的点均在直线 上，而直线的斜率 ，
说明解释变量和响应变量之间正相关，即 ，且线性相关程度达到最强，所以 .4．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】（方法一）由 ，可得 ，因为 ， ，所以 ， ，
则 ，当且仅当 ，即 ， 时，等
号成立，故 的最小值为13．
（方法二）由 ，可得 ，因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为13．
5．某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位： ）数据，得到如下表格：
直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54
频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4
由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为被抽检的零件中，直径小于或等于 的零件共有 个，
且 ，所以这 个零件的直径的第 百分位数为 ．
6．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球 与圆台的两个底面和侧面都相切，则球 的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设球 的半径为 ，圆台上底面半径 ，下底面半径 .因为球与圆台两个底面相切，因
此圆台的高 ；球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，
根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长 ；
由圆台母线、高、半径之差的勾股关系： ，代入已知量得 ，解得 ；
代入球的表面积公式 ，得 .
7．已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，点 在双曲线的右支上，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义知， ，设 ， ，则 .
双曲线离心率 ，故 .
在 中， ，由余弦定理得： ，
又 ，代入得 .将 、 代入上式：
.化简得 .
即 ，整理为 .因式分解得 ，因 ，故 .
则 ，因此 .
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．已知复数 ， ，且 ，下列说法正确的是（ ）
A． 是纯虚数 B． 是实数
C． 是虚数 D．若 ，则 是实数
【答案】AD
【解析】A. 为纯虚数，故A正确；
B. ，只有 时， 才是实数，故B错误；
C. ，只有 时为虚数， 为实数，故C错误；
D. 为实数，故D正确.
9．已知函数 的图象满足以下特征：图象经过点 ，并且在
轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 ，则下列有关函数 及其性质的描述正确的是
（ ）
A．
B． 为函数 图象的一条对称轴
C．将 的图象向右平移 个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D．函数 的单调递减区间为【答案】AC
【解析】设函数 的最小正周期为 ，由函数 的第一个最低点为 ，
可知 ；因为函数图象经过点 ，则 ，即 ，
且 ，则 ；又因为函数 在y轴右侧的第一个零点为 ，
则 ，即 ，
且 ，则 ，解得 ，所以 ，
对于选项A： ，故A正确；
对于选项B：因为 ，不为最值，
所以 不为函数 图象的一条对称轴，故B错误；
对于选项C：将 的图象向右平移 个单位长度，
得 ，为偶函数，故C正确；
对于选项D：令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，故D错误.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10. 设抛物线 的焦点为 ，点 在C上，且 ，则 __________．
【答案】
【解析】由题可知抛物线 的准线为 ，由抛物线定义可得： ，解得 .
11．等比数列 的前n项和为 ， 已知 成等差数列，则 的公比为 .
【答案】
【解析】因为已知 成等差数列，所以 ；即 ，化简得到
；所以 或 （舍去）.
故答案为： .
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 是 的中点，且 ， ，求 的长．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
而 ，又 故 ．
两边平方得 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ．
（2）由余弦定理 ，得 ，
因为 ， ， ，即 ，所以 ，代入 得 ．
在 和 中，
分别应用余弦定理得：
， ．
因为 ， ，
将两式相加得 ，故 ，所以 ．
13. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， 为棱
PD上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
【解析】（1）证明：如图，连接 ，设 ，
因为 ，且 ，故 ，
而 ，故 ，故 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 .
（2）解：因为 ，故 ，故 ，
而 平面 ，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，故 ，
，故 ，又 .
设平面 的法向量为 ，则 即 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，则 即 ，取 ，
设二面角 的平面角为 ，由题设可得 为锐角，
故 .
14. 已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为 ，右焦点为 .
（1）求 的方程；
（2）经过 的直线 与 交于 两点，且以 为直径的圆与直线 相切，求 的方程.
【解析】（1）因为椭圆 的离心率为 ，则 ①，
又 ，则 ②，由①②解得 ，则 ，
所以 的方程为 .（2）若直线 的斜率不存在， ，由 ，得到 ，
所以 ，此时以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，
又 到直线 的距离为 ，不合题意，
若直线 的斜率存在，设 ， ，
由 ，消 得到 ，
则 ，
， ，
所以 的中点为 ，则 到直线 的距离为 ，
又 ，由题有 ，
整理得到 ，解得 ，所以 的方程为 或 ,
即 或
