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2026 高考数学·百分卷（十六）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.若 ，则A的真子集个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以A的真子集个数为 .
2.已知平面向量 ， ，若 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，解得 .
3.有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有( )
A．48种 B．12种 C．36种 D．24种
【答案】D
【解析】因为2位老师不能分开，故将2位老师捆绑在一起，看成一个人 ，
则共有4人排成一排，其中 不排首尾，所以共有 种排列法，又因为2位老师的排列法共有
种，所以共有 种排法.
4. 若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A【解析】因为函数f
(x)=0.6x2-2ax在
上单调递减，令 ，又因为 单调递减，
则 在 上单调递增，则 ，所以实数 的取值范围是 .
5.已知某校4000名学生的体能测试得分 （单位：分）服从正态分布 ，若
， ，则得分在区间 内的人数约为( )
A．1500 B．1800 C．2000 D．2600
【答案】C
【解析】由正态分布的对称性可知 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以得分在区间 内的人数约为 .
6. 已知直线 是双曲线 的一条渐近线，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
由题知 ，所以 的离心率为 .
7．已知实数 ，若 且 ，则 ( )
A．9 B．21 C．27 D．30
【答案】D
【解析】设 ，则 ，由于 ，则 ，故由 可得 ，即 ，
解得 ， 舍去，
故 ，即得 ，
又 ，则 ，即 ，结合 ，得 ，
故 ，则 .
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．已知复数 ，则下列结论正确的有( )
A． 的虚部是 B． 在复平面内对应的点在第二象限
C． D．
【答案】BD
【解析】 ， 的虚部是 ，故A错误；
在复平面内对应的点 ，在第二象限，故B正确； 故C错误；
，故D正确．
9．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．过 的直线与
交于 两点，过 作 的垂线，垂足为 与 轴交于 点，则( )
A． B． ．
C． 可能为锐角 D． 三点共线
【答案】ABD
【解析】对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离，
从而有 ，选项A正确；
对于选项B，设准线 与 轴交于点 ，由 ， ，所以 为 的中位线，
从而 ，又 ，从而 ，选项B正确；
对于选项C，由题意，直线 的斜率存在，故可设 ， ，直线 ，
联立： ，化简整理得 ， ，
从而有 ，由 ， ，得 ，
则 ， ， ，
则 不可能为锐角，选项 C错误；
对于选项D，直线 的斜率 ，
由 ，可得直线 的斜率 ，
由 ，得 ，从而 ，
则 三点共线，选项D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10. 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与 交于C、D两
点， ，则 __________．【答案】
【解析】令 ，得 ，即 ,令 ，得 ，即 ,
圆心 ， ，所以，直线 经过圆心，
,所以, .
11．在直三棱柱 中，已知 ， ，则异面直线 与 所成角的余弦
值为________．
【答案】
【解析】作 ，因为 ，所以 是 的中点，过 作 ，由直三棱柱性质得
面 ，如图，作出符合题意的图形，以 为原点建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，由勾股定理得 ，
则 ， ， ， ，可得 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 .
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，
然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）．
性别 身高 合计低于170cm 不低于170cm
男 8 24 32
女 12 6 18
合计 20 30 50
（1）依据 的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？
（2）若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【解析】（1） ，
依据 的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联．
（2）从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率
13．已知函数 ，其中e为自然对数的底数，
（1）当 时，求 在 处的切线；
（2）若 为实数， ，求 的最小值；
（3）已知 ，且 在 单调递增，求实数 的取值范围.
【解析】（1）∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴切线方程为 ，
整理得 ；（2）∵ ，令 ， ，则 ，
∴ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，∴ 的最小值为 ，即 的最小值为1；
（3）当 时，
∵ ，∴ ，
令 ，则 ，
依题意， ， ，.
若 ，即 时， 使得 时 ，
所以 即 在 单调递减，∴ 时 ，不合题意，
∴ ，即 ，下面证明 时符合题意.
∵ ， ， ，∴当 时 ，
即 在 单调递增，∴ ， ，
综上，实数a的取值范围为 ．
14．如图，等腰梯形 中， ， ， ，现将 沿 翻折，使得
点 到点 处，得四棱锥 ，若点 ， 分别在 ， 上，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．【解析】（1）在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
因为 分别在 和 上，且 ，
在 中，可得 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
在 中，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ；
（2）因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，则 即为二面角 的平面角，所以 ，
以 为原点，以 所在直线为 轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，可得 ， ， ， ，
，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， ，所以 ，
又由 ，可得 ， ，
设 ， ，可得 且 ，
解得 ， ， ， ， ， ，所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，其中 ，
则 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
