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2026 高考数学·百分卷（四）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数 满足 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,则 .
2．某机构用不同的人工智能系统对一幅素描作品进行评分，得到7个数据．去掉一个最高分和一个最低
分后，得到的5个数据与原始数据相比一定不变的是（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】A
【解析】根据题意，将7个数据从小到大排列，去掉一个最高分和最低分，得到5个有效评分，原始数据
和有效评分相比，最中间的数没有发生改变，所以中位数不改变.
3. 已知全集 ，集合 ，则 的非空真子集的个数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】因为 含有3个元素，所以 的非空真子集的个数为
4．已知单位向量 ， ， 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将 两边同时平方并展开可得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，所以 与 的夹角为 ．5．已知随机变量 的分布如下：若 ，则 （ ）
0 1 2
A． B．7 C．21 D．22
【答案】C
【解析】由题意可得， ，解得 ，因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ， ，所以 ，所以
.
6．已知直线 为双曲线 的一条渐近线，则 （ ）
A． B．645 C． D．5
【答案】D
【解析】因为直线 ，即 为双曲线 的一条渐近线，
所以 ，解得 .
7．已知函数 的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】如图：
由正切函数性质可知：①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形 的面积，
由图可得 ，又面积为 ，所以 ．
设函数 的最小正周期为T，则 ．
由题意得 ，解得 ，
即 ，又 ，解得 ．
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则（ ）
A．数列 的公差小于0 B．数列 的公差与数列 的公差相等
C． 中 最大 D．使得 的正整数 的最小值为23
【答案】ACD
【解析】由 可得 .所以 ， ，且 .
对A选项，因为等差数列 的公差 ，故A正确；
对B选项，因为 ，所以数列 是等差数列，且公差为数列 公差的
一半，故B错误；对C选项，因为等差数列 中，公差 ， ， ，所以 中 最大，故C正确；
对D选项，因为 ，
且 ，故D正确.
9. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数
是其中重要的激活函数之一，则（ ）
A. 有且仅有一个零点 B. 在区间 上不单调
C. 存在唯一极值点 D. 恒成立
【答案】ACD
【解析】对A：因为 恒成立，
所以当 时， ；当 时， ；当 时， .
所以函数 有且仅有一个零点 ，故A正确；
对B：因为 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，故B错误；
对C：由B可得 .
设 ，易知 在 上单调递增，且 ， ，
所以存在 ，当 时， .当 时， ，所以 ， 在 上单调递减；
当 时， ，所以 ， 在 上单调递增.
所以 存在唯一极值点 ，故C正确；
对D：由C， ，且 ，
所以 ，因为 ，所以 .
所以 ，故D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10.已知 的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为__________.
【答案】20
【解析】因为 的二项式系数和为64，则 ，解得 ，所以二项式系数最大值为 .
11．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 相交于 ， 两点（ 在第一象限），
若 的面积为 ，则 ________．
【答案】
【解析】由题意， ，设 ， ，且点 在第一象限.
由 的面积为 ，得 ，所以 ，所以 .
所以 ，则直线 的方程为 ，代入 .
整理得 ，解得 ， .
所以 ， ，所以 ．四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值．
【解析】（1）由题意 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）如图，以A为原点， 分别为 轴， 轴正方向，在平面 内过点A作平面ABC的垂线为z
轴，建立空间直角坐标系，
则 ，所以 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
13．已知椭圆 与曲线 在第一象限内有两个不同的交点 和 ，且
.
（1）证明：直线 的斜率为定值；
（2）记 为坐标原点， 的面积为 ，求 的取值范围.
【解析】（1）直线 的斜率 .
联立 与 ，化简得 ，由 ，得 .
由根与系数的关系得 ，由于 ，所以 ，
所以 ，所以直线 的斜率为定值 .（2）
因为 ，
所以 .
由（1）知 ，则 ，所以 的取值范围为 .
14．已知函数 （ ）.
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 ， ，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，易得 的定义域为 ，
，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，即 ，即 对 恒成立，设函数 ，则 （ ），
设函数 （ ），易知 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，则 在 上单调递减，得 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
