文档文本内容
2026 高考数学·百分卷（二十）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 是 为奇函数的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】因为奇函数的定义域关于原点对称， 时 的定义域不一定关于原点对称，
所以 不是 为奇函数的充分条件；如果 为奇函数在 处有定义时有 ，
在 处没有定义时没有 ，所以 不是 为奇函数的必要条件；
综上， 是 为奇函数的既不充分也不必要条件.
2. 已知双曲线的方程为 ，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 可得 ，该双曲线的焦点在 轴上，且 ，
故该双曲线的渐近线方程为： ．
3. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】因为 ， ， 所以 ，即 ，所以 ，
.
4. 已知圆锥底面半径为1，高与母线的夹角为30°，则圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，由题意得圆锥的高为 ，母线长为 ，圆锥的表面积为 .
5. 箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线 的部分图象如图所示，则 的
解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ，排除A. 既不是奇函数，也不是偶函数，排除D.
在 上单调递减，排除C. 的图象符合题中图象，B正确.
6. 函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函数 在 上单调递减，则函数 在 上单调递减，
且 在 上恒成立，则有 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
7. 已知椭圆 和圆 分别为椭圆 和圆 上的动点，若 为椭圆
的左焦点，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 5 C. 9 D. 8
【答案】A
【解析】易知椭圆 中 ，即可得 ，
又圆 的圆心为 ，半径 ，
易知椭圆右焦点 ，显然 在圆 上，如下图：
易知椭圆上一点 到圆 上任意一点 的最小距离为 ，
因此可将 的最小值转化为求 的最小值，
由椭圆定义可得 ；此时点 在 处，使得 的最小值为6.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8. 若复数z满足： 是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为i B. z在复平面上对应的点位于第一象限
C. D.
【答案】BD
【解析】因为 ，所以复数z的虚部为1，故A错误；
复数z对应的点为 ，在第一象限，故B正确；
又因为 ，复数z的共轭复数为 ，所以 ，故C错误；
，故D正确.
9. 在正三棱柱 中，D为BC的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 平面 D.
【答案】BC
【解析】解法一：如图，对于A选项，在正三棱柱 中，
平面 ，又 平面 ，
则 ，即 ，
因为 是正三角形， 为 中点，则 ，即 ，
又 ，
所以 ，
所以 不成立，故A选项错误，
对于B选项，因为在正三棱柱 中， 平面 ，
又 平面 ，则 ，
因为 是正三角形， 为 中点，则 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，故B选项正确，
对于C选项，因为在正三棱柱 中， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故C选项正确，
对于D选项，因为在正三棱柱 中， ，
假设 ，则 ，这与 矛盾，
所以 不成立，故D选项错误.
解法二：如图，建立空间直角坐标系，
设正三棱柱的底面边长为2，高为h，则 ，因为 是正三角形， 为 中点，
所以 ，在直角三角形 中， ，
即 ， ， ， ， ， ，
对于A选项， ， ，
则 ，即 不成立，故A选项错误；
对于B选项和C选项， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
得 ，令 ，则 ，所以 ， ， 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，故B选项和C选项正确；
对于D选项， ， ，则 ，显然 不成立，故D选项
错误.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10. 已知正项等比数列 满足 ，且 ，则公比为__________.
【答案】【解析】设等比数列 的公比为 ，且 ，由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以等比数列 的公比为 .
11. 某中学高二年级学生有 人，在某次数学考试中，数学成绩 近似服从正态分布 ．
已知 ，则本次考试数学成绩大于 分的人数约为__________.
【答案】
【解析】已知数学成绩 ，则分布关于 对称， ，
已知 ，则 ，
，根据正态分布的对称性可知： ，
正态分布是连续分布，
，故 ，
已知总人数为 ， 数学成绩为 分以上的人数为： ．
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 已知数列 满足 ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）令 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）因为 .又 ，所以 是以2为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由（1）得： ，
所以 ， ， ，…， .
以上各式相加得： .
所以 .
（3） ，
所以 ，
所以 .
13. 在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 .
（1）若满足已知条件的 恰有一个，求边长 的取值范围；
（2）若 ，求 的面积.
【解析】（1）由正弦定理得 ，则 ，
即 ，要使满足已知条件的 恰有一个，
则 或 ，即 或 ，所以 或 ，
则边长 的取值范围为 .
（2）由 ，则 ，
则
化简得 ，
当 时， ，因 ，则 ，
此时 ；
当 时， ，由正弦定理得 ①，
由余弦定理得， ，即 ②，
由①②联立，解得 ，则 ，
此时 .
综上所述， 的面积为 .
14. 已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，当 时， 在 上的极小值点为 ，求证： ．
注：
【解析】（1）由 求导得 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递增；
当 时，由 可得 ，当 时， ，当 时， .
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时， ， ，
则 ，因 在 上的极小值点为 ，
则 ，即得 ①，
因 ， ，
由零点存在定理，可得 ，
将① 代入 ，得 ，
因为该函数在 上单调递减，则 ，故得证.
