2026届高考数学百分练（十四）（7+2+2+3）（教师版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_132027届高考数学满分卷测试练习

2026 高考数学·百分卷（十四）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知抛物线 ，则其焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将抛物线 化为标准式得 ，所以 ，所以其焦点坐标为 ，B正确.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 可得 ，即 ，即得 ，
则 .
3. 若复数z满足 （其中i为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】由 得 ，
所以 .
4.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从
事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ）
A.12 B.24 C.36 D.48【答案】C
【解析】礼仪、司机两项只能从其余三人中选派， .翻译、导游两项从剩余三人中选派，
.
5.若关于x的不等式 的解集是 ，则关于x的不等式 的解
集是（ ）
B.
A.
C. D.
【答案】B
【解析】因为关于x的不等式 的解集是 ，所以 的两个根
是 ，2，由根与系数的关系可得 ， ，所以 可转化为 ，
解得 或 ，所以原不等式的解集为 .故选B.
 π 3  π
sin  cos cos 2 
   
 6 5  3
6.已知 ，则 （ ）
7 7 24 24
 
A. 25 B.25 C. 25 D.25
【答案】B
 π 3 1 3 3 1 3
sin    cos sin coscos sin cos
【解析】  6 2 2 5 ，所以 2 2 5，所以
 π 3  π   π
sin     cos  2  cos  2   
 6 5  3   6
，故 ，故选B.
7．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球 与圆台的两个底面和侧面都相切，则球 的表面
积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设球 的半径为 ，圆台上底面半径 ，下底面半径 .因为球与圆台两个底面相切，因
此圆台的高 ；球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，
根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长 ；
由圆台母线、高、半径之差的勾股关系： ，
代入已知量得 ，解得 ；代入球的表面积公式 ，得 .
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ）
A. 众数是4 B. 平均数是4 C. 极差是3 D. 中位数是4.5
【答案】BC
【解析】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次，
所以次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误；
平均数为 ，故B正确；
极差为 ，故C正确；
中位数为 ，故D错误.
9. 已知圆 经过双曲线 的两个焦点 ， ，且P为双曲线C上
异于顶点的任意一点，点 ，则（ ）
A. 点M在双曲线C上
B. 当P在圆T上时， 的面积为8
C. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3
D. 双曲线C上存在定点Q，使得直线 和 的斜率之积为定值【答案】ABD
【解析】由题知双曲线 的焦点在 轴，
故 ，焦点坐标为 ，
因为圆 过焦点，代入得 ，即 ，解得 ，
因此双曲线 的方程为： .
对于A：点 代入双曲线方程得左边 右边，
因此 在双曲线 上，故A正确；
对于B：联立 ，消去 得 ，故 横坐标可以为 ，
中， ，高为 ，
面积 ，故B正确.
对于C：双曲线渐近线为 ，
设 ，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为 ，
因为 在双曲线上，故满足 ，即 ，
点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下，为 ，故C错误；
对于D：设 是位于双曲线上，关于原点对称，且异于 的两个点，
则 ，
又 ①， ②，由① ②得到 ，
得到 ，所以 ，
综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称，
且异于 的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值 ，
故当点 坐标为 时，
直线 和 的斜率之积为定值 ，故D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10.已知平面向量 ， ，若 ，则 _________.
【答案】
【解析】 ， ，故 ，所以 .
11.已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 平行，则
__________.
【答案】
【解析】因为函数 ，所以 ，又因为曲线 在 处的切线与直线 平行，所以 ，解得 .
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 在数列 中， ， ， ，且 是等差数列.
（1）求 ；
（2）证明： .
【解析】设 ，则 ，
因为 是等差数列，即 是等差数列，
则有 ，即 ，解得 .
（2）由（1）知， ，则 的公差为2，首项为6，则 ，即 ，
当 时，
将各式相加，得 ，
即 ，即 ，而 满足上式，
因此 ， ，
则 ，因为 ，则 ，则 ，得证.
13. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ， ，侧面 为等边三角形，
平面 平面 ，E为PB中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）
如图所示，作线段 的中点 ，连接 ，
因为侧面 为等边三角形，所以 ，
为
因 平面 平面 ，平面 平面 ， 面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为底面 为矩形，所以 ，
因为 ， 面 ， 面 ，所以 面 ，
因为 平面 ，所以平面 面 .
（2）如图所示，作 中点 ，连接 ，则由（1）可得， 面 ， 面 ，所以 面 ，
则可以 为坐标原点，以 分别为 轴，建立空间直角坐标系；
则 ，
可得 ，
设面 的法向量为 ，则 ，得 ，
令 ，解得 ，所以面 的一个法向量为 ，
易知面 得一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角 余弦值为 .
的
14.为测试A，B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1
到100编号后随机分配给这两款软件测试，每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下：
A软件 B软件
试题类别
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
函数试题 30 24 20 18
几何试题 20 16 30 20
（1）估计B软件能正确解答数学问题的概率.（2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相
同），其中函数试题2道，几何试题1道；使用A软件解答2道函数试题，使用B软件解答
1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次.假设用频率估计概率，且每次解答相互
独立.用X表示这3道试题被正确解答的个数，求X的分布列与数学期望.
（3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道
2
题基本相同），但该题内容还未知，从之前的情况来看，该题是函数试题的概率为3 ，是几
1
何试题的概率为3.假设用频率估计概率，试说明小明应该用哪款软件来解答这道试题.
【解析】（1）记B软件能正确解答数学问题为事件B，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得 .
24 4

（2）法一：使用A软件解答函数试题正确的概率为30 5，
使用B软件解答几何试题正确的概率为 .
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，
2
 4  2 1
P(X 0) 1  1 
   
 5  3 75 ，
，
2
4  4 2 4  2 32
P(X 2)C1   1    1 
     
2 5  5 3 5  3 75 ，
.
则X的分布列为
X 0 1 2 32 32
P
15 75
其期望为 .………………………………………10分
法二：函数试题用A软件解答，几何试题用B软件解答.
X
用 1， 分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数，
 4
X ~ B 2,
 
因为 1  5， ，所以有如下分布列：
0 1 2
P
X 0 1
2
2
P
3
则 的所有可能取值为0，1，2，3，
1 1 1
P(X 0)  
且 25 3 75， ，
8 2 16 1 32
P(X 2)    
25 3 25 3 75， ，
则其分布列为
X 0 1 2 3
1 32
P
75 75
4 8
EX 2 
由二项分布的期望公式可得 1 5 5 ， ，
X
因为 1， 相互独立，
所以 .（3）小明应该使用B软件来解答这道试题.
记“A软件能正确解答这道试题”为事件E，“B软件能正确解答这道试题”为事件
F，“该试题为几何试题”为事件G，
则 ， ， ， ， ， ，
由全概率公式可得 ，
.
因为 ，所以B软件能够正确解答这道试题的概率更大，
故小明应该使用B软件来解答这道试题.