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2026 高考数学·百分卷（十九）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 数据10，11，11，12，13，14，16，18的75%分位数为（ ）
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
【答案】B
【解析】因为 ，所以这组数据的75%分位数为 ．
2. 函数 的所有极值的和为（ ）
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】由题可得 ，令 ，解得： 或 ,
当 或 时， ,当 时， ,
所以 的单调递增区间为： 和 ，单调递减区间为 ,
所以 的极大值为 ，极小值为 ,
则函数 的所有极值的和为
3. 如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶， 忽略花瓶的厚度， 该花瓶的轴截面的上半部分对
应的曲线是双曲线(焦距为 )的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为 ，则该双曲线的
离心率为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】由题意，该双曲线的焦距为 ，实轴长 ，则 ，
所以该双曲线的离心率为 .
4. 函数 （ ）的最小值为（ ）
A. 9 B. 12 C. D.
【答案】B
【解析】由题得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
则函数 （ ）的最小值为12．
5. 已知函数 ，则 （ ）
A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递增
C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递减【答案】B
【解析】若 ，则 ，结合正弦函数单调性可知函数 在 上
有增有减，不单调；若 ，则 ，结合正弦函数单调性可知函数
在 上单调递增.
6. 以直线 为渐近线且过点 的双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线为直线 ，设该双曲线方程为 ，
由该双曲线过点 ，得 ，解得 ，
所以所求双曲线方程为 ，即 .
7. 已知向量 ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，得 ，则 ，所以
.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8. 记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则（ ）
A. B. C. 为等差数列 D. 为等比数列
【答案】ACD
【解析】设等差数列 的公差为 ，由题意可得 ，解得 ，故
.对于A，由通项易得 ，故A正确；对于B，因 ，
而 ，即 ，故B错误；
对于C，因 ，则 ，由 ，可得数列 为等
差数列，故C正确；对于D，因 ，则 ，由 ，可得 为等
比数列，故D正确.
9. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在 上， 为坐标原点， 为 上与 ，
不重合的动点，则（ ）
A. 的最小值为
B. 当直线 经过点 时，点 到 轴的距离为
C. 当 为钝角时，点 纵坐标的取值范围是D. 当点 到直线 距离为 时，直线 的斜率为 或
【答案】BD
【解析】对于A，因为点 在抛物线 ： 上，所以 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ，所以焦点 ，
设 ，由焦半径公式得 ，
所以 无最小值，故A错误；
对于B，由 ， ，可得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 或 ，即 ，
所以点 到 轴的距离为 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ， ，
所以 ，若 为钝角，则 ，
即 ，解得 ，故C错误；
对于D，设直线 的方程为 ，即 ，
因 点 到直线 距离为 ，可得 ，
为解得 或 ，故D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10. 已知在 的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则 的系数为
___________．
【答案】60
【解析】 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等， ， ，则
的展开式中的通项为： ，令 ，解得 ，故该展开式中
的系数为 .
11. 已知半径为 的球内切于圆台，若圆台的上、下底面半径之比为 ，则圆台的母线长为
________．
【答案】8
【解析】依题意，球的大圆是圆台轴截面（等腰梯形）的内切圆，因此圆台的高等于球的直径，即
，
由圆外切四边形对边和相等，得圆台母线长等于上下底半径之和，
设圆台上底面半径为 ，则母线长为 ，
由 ，得 ，所以圆台的母线长为8．
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12. 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个
红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同．
（1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；
（2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最
大．
【解析】（1）设事件 表示“球取自 号箱”（ ），事件 表示“取到红球”，
则 ， ，
可得
，故取到红球的概率为 .
（2）根据（1）中数据，
由贝叶斯公式知 ；
；
，
因为 ，所以该球取自2号箱的可能性最大．
13. 已知 中的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 .
（1）求 ；
（2）若 ，函数 的图像经过点 ，求 的解析式.
【解析】（1）由 ，得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ；
（2）由（1）知 ，又因为函数 的图像经过点 ，
.
所以 ，解得
由正弦定理可得 ，所以 .
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
14. 如图，已知四棱锥 的底面 是边长为2的菱形， 平面 ， 是 的中
点， 是 的中点.
（1）求证: 平面 ；（2）若 ，且平面 与平面 的夹角余弦值为 ，求侧棱 的长度.
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，
在 中， 且 ，又 ， ，
所以 ， ，所以四边形 是平行四边形，则 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）设 ，过 点作直线垂直于平面 ，
以 点为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ， 为 的中点，
所以 ，易得 ，
设 ，由 ，
则 ，即 ，
所以 ，设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
解得 ，则 .
