文档文本内容
2026 年高考考前信心增强卷
数学（全国Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ⫋ 则符合条件的集合B的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列举法表示出集合 ，再根据给定条件即可求出集合 的可能情况.
【详解】集合 ， ，
所以 可能的取值为 ，即集合 ， 是 的真子集，有 个，故C正确．
2．在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，其对应点为 ，
复数 对应的点与复数 对应的点关于直线 对称，
对应点为 ，则 ．
3．一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9， ， ，若该组数据的第 百分位数、中位数、平均数分别
是a，b，c，则（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9， ， ，
第 百分位数位置 ，为第2和第3项的平均值，
故 ；
中位数的位置 ，为第4和第5项的平均值，
故 ；
平均数 ，
．
4．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理建立边角的等量关系，代入已知条件求解 的值
【详解】在 中，由正弦定理得 ，交叉变形可得 ，已知 ，
因此 ，结合题设 ，将上述值代入 ，可得： ，解得
5．若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的渐近线方程计算即可.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ．
6．已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）A．84 B．96 C．100 D．103
【答案】C
【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解 即可.
【详解】设首项为 ，公差为 ，由题意得 ，
可得 ，解得 ，
则 .
7．在平行四边形 中， 是 边上的点， ， 是线段 的中点，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 是线段DE的中点，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ．
8．已知函数 的定义域为 ，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可.
【详解】选项A：设 ，
由 ，可知 是偶函数，不能确定是奇函数，A错误.选项B：设 ，
由 ，可知 是奇函数，B正确.
选项C：设 ，
由 ，可知 是偶函数，不能确定是奇函数，C错误.
选项D：设 ，
由 ，可知 是偶函数，不能确定是奇函数，D错误.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可.
【详解】选项A. 由基本不等式 ，则 ，平方得 ，当且仅当 时等号成立，A正确.
选项B.对 平方得 ，由A知 ，
因此 ， 因为 ，开方得 ，
当且仅当 时等号成立，B正确.
选项C. ，由 ，所以 ，即 ，C错误.
选项D. ，因此 ，所以 ，D错误.
10．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD【分析】对于A，令 和 求解判定；对于B，令 和 ，再结合平方差公式求解判定；对于C，令
，求导并令 求解判断；对于D，由题知 ， ， 都大于0， ，
， 都小于0，再令 即可求解判断.
【详解】对于选项A，因为 ，
令 ，可得 ；令 ， ，
所以 ，故选项A错误；
对于选项B，令 ， ；
令 ， ；
所以 .故选项B正确；
对于选项C，令 ，
则 .
再令 ， ，故选项C错误；
对于选项D，
解法一： 展开式的通项为 ， ， ， ， ， ， ，由通项可知：
， ，1，2，3，4，5，所以 ， ， 都大于0， ， ， 都小于0，
，
令 ，可得 ，
所以 ，故选项D正确.
解法二：令 ，
由得 .
令 可得 ，故选项D正确.
11．若圆锥 的母线长为 ，其轴截面 是等腰直角三角形，点 是弧 的中点，则下列结论正确的是
（ ）
A．圆锥 的侧面积为 B．
C． 平面 D．三棱锥 的体积为
【答案】ABD
【分析】由题意可得 ，根据圆锥侧面积公式计算可判断A；由 等边三角形可判断B；假设成立，
得到矛盾可判断C；根据三棱锥体积公式计算可判断D.
【详解】因为圆锥 的母线长为 ，其轴截面 是等腰直角三角形，
所以 ，
对于A，圆锥 的侧面积为 ，故A正确；
对于B，点 是弧 的中点，
所以 是等腰直角三角形，故 ，
则 是等边三角形，故 ，故B正确；
对于C，若 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
由B可知， 是等边三角形，故 不成立，
所以 平面 不成立，故C错误；
对于D，三棱锥 的体积为 ，故D正确.
第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ， ，则 ______.
【答案】 /
【详解】因为 ，
且 ，
所以 ，
所以 .
由 ，得 ，
所以 .
13．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】先判断函数为奇函数且为 上的增函数，据此可求函数不等式的解.
【详解】因为 ，故 ，
而 的定义域为 ，故 为 上的奇函数.
而 均为 上的增函数，故 为 上的增函数.
因 ，故 即 ，故 .
14．设抛物线 上的一点 到此抛物线的准线的距离为 ，到直线 的距离为 ，则
的最小值为__________．
【答案】/
【分析】利用抛物线定义将 转化为点 到焦点的距离，进而将 的最小值转化为焦点到直线 的距离求解.
【详解】对于抛物线 ，可得 ，即 ，因此焦点为 ，
由抛物线的定义可知 ，故 ，其中 为点 到直线 的距离，
由几何性质可知， 的最小值为焦点 到直线 的距离，当且仅当 位于 向直线 所作的垂线段上时取等
号，
根据点到直线的距离公式，焦点 到直线 的距离为： 因此 的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式和单调递减区间；
(2)在 中，已知角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，求 的最大值．
【答案】(1)
，单调递减区间为
(2)6
【分析】（1）根据图象求出 、 、 的值确定解析式，再利用正弦函数的单调性求解；
（2）由函数值求出角 ，结合余弦定理和基本不等式求得 的最大值。
【详解】（1）由图象可知，函数 的最大值为1，最小值为 ，又 ，所以 ； 观察图象，函数
的半个周期 ， 所以周期 ；
由 且 ，解得 ，此时 ；
由图象可知，函数图象过点 ，且该点位于单调递增区间上， 所以 ， ， 即
， ；
因为 ，令 ，解得 ，
所以函数 的解析式为 ；
令 ， ， 解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 .
（2）由 知 ， 因为 ，所以 ，即 ，因为 为三角
形内角，所以 ，
由余弦定理 ，由基本不等式 ，设 ，则
，当且仅当 时等号成立，故
16．在数列 中， .
(1)求证：数列 是等差数列；(2)令 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由递推公式得到 ，利用等差数列的定义进行证明；
（2）根据（1）求出 的通项公式，利用错位相减法可求出数列 的前n项和为 ，即可证 .
【详解】（1）由 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 是首项为1，公差为3的等差数列.
（2）由（1）知， ，所以 .
，①
，②
①-②得，
，所以 ，
又 ，所以 .
17．设 ．
(1)解不等式： ；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式.
（2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题.
【详解】（1） 的定义域为 且在 单调递增.
， ，解得 .
故不等式 的解集为 .
（2） .
恒成立等价于 恒成立， ， .
令 ， .
令 ，则 ， 在 单调递减.
又 ， 时， ，即 ， 在 单调递增， 时， ，即 ， 在 单调递减.
， ，即 的取值范围是
18．如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ， ，点D是棱PA的中点，点E满
足 ，点F是棱BP上的一点（不包含端点）．
(1)若 平面ABC，求证： ；
(2)若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）利用线面平行性质推得线线平行，结合向量线段比例关系，借助相似三角形比例证得线段倍数关系；
（2）依据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角公式列方程求解参数，再利用等体积转化
与线段比例，算出几何体体积．
【详解】（1）
在 中，点 是棱 的中点，点 满足 ，所以 是 的重心，
连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，如图所示，则 ，因为 平面 ，平面 平面 ， 平面PEF，
所以 ，所以 ，即 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，所以 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ， ，
设平面BCD的法向量为 ，
又 ， ，
所以 ，令 ，得 ，
设 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，所以 ，
所以三棱锥 的体积 ．19．已知椭圆 ： 过抛物线 的焦点，且与双曲线 有相同的焦点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 ： 与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 ，若直线 的斜率与直线 的斜率互为相反
数，求证：直线 过定点．
【答案】(1)
(2)直线 过定点 ，证明见解析
【分析】（1）由抛物线方程和双曲线方程分别可焦点坐标，进而可得 ， ，再由椭圆的性质可得 ，因
此可得椭圆方程；
（2）设交点坐标，再联立直线的方程与椭圆的方程消去 ，由根与系数关系及 可得 ，进而可
得直线过定点.
【详解】（1）由抛物线 ，得焦点 ，
因为椭圆 过抛物线 的焦点，所以 .
由双曲线 ，得焦点 ，
因为椭圆 与双曲线 有相同的焦点，所以 .
由椭圆的性质， ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，
联立 ，消去 得 ，
，， ，
由已知 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
，
，解得 ，满足 ，
∴直线 的方程为 ，故直线 恒过定点
