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2026年高考数学8+3+3+1强化训练(8)【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知 ， ， 是同一个平面内的三个向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时， ， 可以是任意向量，因此是不充分条件；
当 时，若 ，显然 成立；当 ，因为 ，所以 ，
因此 ， ，因此 成立.
故“ ”是“ ”的必要条件.
故选：C
2.已知 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】 ，且 的乘方运算是以4为周期的运算
所以 ，
所以复数 所对应的点(-2,-1)，在第三象限.
故选:C．
3.已知 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是(
)
A． B．
C． x2 D．7x2
【答案】C
【解析】展开式中的第k＋1项为 ，
所以前三项的系数依次为 ，依题意，有 ，即 ，
整理得n2－9n＋8＝0，解得n＝1(舍去)或n＝8．
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即 ．
故选:C．
4.在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由 和余弦定理，可得 ，
即 ，
由正弦定理得 ，
又因为 中， ， ，
所以 ，即 ，
所以 或 ，即 或 ，
即 是等腰三角形或直角三角形，
故选：C.
5.已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ，
，又 ， ，即 ；
令 ，则 ，
令 ，则 ， 在 上单调递减，， 在 上单调递减，
，即 ， ；
综上所述： .
故选：C.
6.已知椭圆 上有两个动点 满足 ， 为线段 的中点，则 的最大
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 ， ， 为椭圆的右焦点，
由题意，椭圆的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
∴ ，
同理可得， ，
而 ，
即 ，解得 ，则 的最大值为1.
故选：D
7.已知 对任意 恒成立，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 得， .
当 得， ， ，
当 得， ， ，当 得， ， .
∵ 对任意 恒成立，
∴由 得， ，
∴ 和 是方程 的两根，且 ，
∴ ，故 .
由 得， ，即 ，
解得 ，故不等式的解集为 .
故选：C.
8.若非负数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. 42 C. D. 40
【答案】C
【解析】令 ， ，
所以 ，则 .
因为 ，所以 ，
则 （ ， ），
则点 的轨迹为圆 不在第二、四象限的部分，
则 表示点 到坐标原点 的距离，由图可知，该距离的最大值为 ，
此时 ， ，
即 ， ，所以 的最大值为 .
故选：C
二、多项选择题：
9.已知数列 满足 ，则（ ）
A．
B．C．若 ，则 的最大值为1214
D． 的前36项和为1226
【答案】AC
【解析】对于A， ，数列 是首项 ，
公差为5的等差数列， ，A正确；
对于B，由选项A得 ，
数列 均为递增数列，数列 中除 外，其它项均不为1，B错误；
对于C，由选项B得 ，
当 时 ，因此 的最大值为1214，C正确；
对于D，由选项B得 ，因此数列 的前36项和为
，D错误.
故选：AC
10.已知函数 的定义域为 ，且对任意实数 ， ，
恒成立，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【解析】令 ，得 ，
以 替代 ，得 ，消去 ，得 .
再令 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ， ，A正确，B错误.
而 ，当 时， 取得最小值，且最小值为 ，C 正
确.
因为 ，所以 的图象关于点 对称，D正确.
故选：ACD.11.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支
相交于 两点， ， ，则（ ）
A. B.
C. 的离心率为 D. 直线 的斜率为
【答案】AC
【解析】如图，由 ，可设 .
因为 ，所以 .
对于A、B：设 则 ，解得 ，
所以 ，故A正确，B错误；
对于C：在 中，由 ，得 ，则 ，
从而双曲线 的离心率为 ，故C正确；
对于D：因为 ，
所以直线PQ的斜率为 ，故D 错误.
故选：AC
三、填空题：
12.若曲线 与圆 有公共点 ，且在点 处的切线相同，则实数 _____.
【答案】-1
【解析】对于 ， ，故切线斜率存在，于是 ，又 ，
解得 或 （舍去），于 ，
是
所以 ，所以 .故答案为： .
13.如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜
色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .
【答案】
【解析】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数.
第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红色汽
车在第二行有三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有 种；
第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列，则
另一辆黑色汽车有 3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有 2种停
法，此时另一辆黑色汽车有2种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有 种.
因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种，
8个车位停入4辆车的试验共有 种情况，
所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .
故答案为：
14.已知 是椭圆 ： 上一点，点 ， ，若 ，过点 作 的垂
线，垂足为 ，则 ，点 到 的距离为______.
【答案】 ；
【详解】因为 ， 分别为 的左、右焦点，
所以 ，又 ，所以 ， ，
因为 ，所以 是等边三角形，
过点 作 的垂线，垂足为 ，则 为 的中点，
所以 .
设点 在 轴上的射影为 ， 为坐标原点，因为 ，
所以 ，
则点 到 轴的距离为 .
故答案为： ； .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.如图，在正三棱柱 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 为线段
上的动点.
（1）证明： 平面 .
（2）若 为线段 的中点，且 ， ，求 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：连接 ， .
因为 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 为正三棱柱
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
同理可得 平面 .
因为 ，所以平面 平面 .
又 平面 ，所以 平面 .
（2）解：取 的中点 ，连接 ， ，则
在正三棱柱 中，则 ， ， .
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ， ，
令 ，得 .由 ，
所以 与平面 所成角 的正弦值 .
得 与平面 所成角的正弦值为 .
