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2026年高考数学8+3+3+1强化训练(15)【解析】
一、单选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足 （其中i是虚数单位），则（ ）
A． 的实部是2 B． 的虚部是 C． D．
【答案】D
【解析】因为复数 满足 ，
所以 .
因为复数 的实部是1，故A错误；
因为复数 的虚部是2，故B错误；
因为复数 ，故C错误；
因为复数 ，故D正确.
故选：D
2.“ ”是“关于 的不等式 有实数解”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为关于 的不等式 有实数解，所以 ，所以 ，
又由于 真包含于 ，
所以“ ”是“关于 的不等式 有实数解”的必要不充分条件，
故选：B．
3.已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 在 上单调递增，
所以 在 恒成立，即 对 恒成立，
令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 ，
即 的取值范围是 .
故选：B.
4. 已知变量 x 和变量 y 的一组成对样本数据为 ，其中 ，其回归直线方程为
，当增加两个样本数据 和 后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程
的估计下，样本数据 所对应的残差为（ ）（残差=观察值－估计值）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可.
【解析】∵ ，
∴增加两个样本点后 平均数为 ；
的
∵ ，∴ ，
∴增加两个样本点后y的平均数为 ，
∴ ，解得 ，
∴新的经验回归方程为 ，则当 时， ，
∴样本点 的残差为
故选：B.
5.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑 中， ，
平面 ，当该鳖臑的外接球的表面积为 时，则它的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解.
【解析】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图，
三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥 的外接球的半径为 ，内切球的半径为 ，
三棱锥 的外接球的表面积为 ， ， ，
， ，解得 ，
，
， ，
三棱锥 的表面积为
，
又 ，
，
故选：C.
6．已知定义在实数集 上的函数 满足： ， ，且 ．下列
结论正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 在区间 上单调递减
C． 的周期为3 D．
【答案】D
【解析】对于A，令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，函数 是偶函数，A错误；
对于B，令 ，得 ，而 ，则函数 在 上不是单调递减函数，B错误；
对于C，令 ，得 ，则 ，
令 ， ，得 ，则 ， ，C错误；
对于D，由 为偶函数，得 ，D正确.
故选：D7. 已知点 为椭圆 上任意一点，直线 过 ： 的圆心且与 交于 两
点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据向量运算可得 ，再由椭圆可知 ，即可得结果.
【解析】因为 ，圆心 ，半径为1，则 ，
可得 ，
由椭圆方程可知： ，即 恰为椭圆 的右焦点，
则 ，所以 .
故选：A.
8.如图，平面 平面 ， 是正三角形，四边形 是正方形，点 是平面 内的一个动
点，且满足 ，则点 在正方形 内的轨迹是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ， ，
因平面 平面 ，由 可得 ，
因平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，易得 ，
故可以 为坐标原点，分别以 为 轴的正方向
建立空间直角坐标系，
不妨取 ，则 ，则 ， ．
由点 在平面 内，可设 ，因为 ，
所以 ，化简得： ，
故点 的轨迹是一条直线，排除C，D．
又点 不在直线上，故排除B，而点 在直线上，故A正确．
故选：A.
二、多项选择题：9.随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对
本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次 关于年龄 的经验回归方程为 ，
可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2；
B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数 ，可以推断两个变量正
线性相关，且相关程度很强；
C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值 的 独立性检验，计算得到
，可以认为不同性别的AI使用频次有差异；
D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数 来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的 分
别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多.
【答案】BD
【解析】A选项：在经验回归方程 中，斜率参数 ，只能说明使用频次 与年龄 正相关，但相关
系数不是0.2，故A错误；
B选项：样本相关系数 的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强， ，说明两个变量正线
性相关，且相关程度很强，故B正确；
C选项：根据小概率值 的 独立性检验，计算得到 ，没有充分证据证明
不同性别的AI使用频次有差异，故C错误；
D选项：决定系数 越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的 分别约为0.731和
0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好．
故选：BD．
10．在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ．则（ ）
A． 的面积为 B．
C．若 ，则 D． 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，由 ，所以 ，故A正确；
对于B，由 ，可得 ，
所以 ，故B错误；
对于C， ，又 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 ，由 为锐角知 ，故解得 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，作 于 ，
过 作 ，且 ，如图，
所以A点的轨迹为线段 （不包含端点及中点，否则三角形为直角三角形，不符合题意），
由图形可知 ，且 ，
令 ， 且 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，当 或 时， ，所以 ，
即 的取值范围为 ，故D正确.
11．已知 是函数 的极值点，则（ ）
A． 有1个零点
B．当 时，
C．曲线 关于点 对称
D．过点 与曲线 相切的直线有2条
【答案】ACD
【解析】由 得 ，则 ，
解得 ，则 ，当 时， ，
当 时， ，所以 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减，所以 的极小值为 ，极大值为 ，
满足 是函数 的极值点，
又 ，由零点存在定理得 有1个零点，A正确；
由 ，得 ， ，所以 ，又 在 上单调递增，所以
，故B错误；
因为，所以曲线 关于点 对称，C正确；
设过点 的直线与曲线 相切于点 ，
所以切线方程 ，
将点 代入切线方程为 ，
整理得 ，即 ，解得 ，或 ，
过点 的直线与曲线 相切于点 或 ，
因此过点 与曲线 相切的直线有2条，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：
12．已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为 且 ，所以
，
当且仅当 时取等号．
因为不等式 恒成立，
所以 ，解得 ．
故答案为： .
13.2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共
分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用 表示这三个年
级中分配的最少名额数，则 的数学期望 .
【答案】 .
【解析】若三个年级人数分别为 ，则 ，又每个年级至少一个名额，
所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有 种，
由题意 ，则 ，且各年级人数为 ，
其中 的情况有 一种情况，即 ，
的情况有 、 、 、 、 、 、 、 、 九种情况，
即 ，所以 ，综上， .
故答案为：
14.已知椭圆 ，点 分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足
，则椭圆C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】设 ， ，
则由 ，可得 ，所以 ①．
又因为点 ， 都在椭圆上，满足椭圆方程，所以 ②，
由方程组①②可得 ，化简得 ，
解得 ，因为 ，
所以 ，即 ，解得 ．
所以该椭圆的离心率的取值范围是 ．
故答案为：
四、解答题
15.已知正项等比数列 的前 项和为 ，满足 ， .
(1)求数列 的前 项和 .
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 的最小值.
【解析】（1）由于 为正项等比数列， ，
故 ，故公比 ，故 ，则 ，
两式相减得， ,
所以
（2）由已知得 由 可得 ，即
设 ，
当 时， ；当 时，
所以当 时， 取最大值 ，即 .
故 的最小值是 .
