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2026年高考数学8+3+3+1强化训练(19)【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 .
【解析】因为 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 ，
又因为 ，故 .
故选：A.
2.“点M的坐标为 ”是“点M为函数 图象的对称中心”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出 的对称中心，再进行判断.
【解析】由 解得 ，所以 的对称中心为 ， .
而 ⫋ ，
所以“点M的坐标为 ”是“点M为函数 图象的对称中心”的充分
不必要条件.
故选：B.
3．若函数 是奇函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数中 得出 ，再代入结合特殊角三角函数值求解.
【解析】由 ，即 ，得 ，所以 ，则 ．
故选：D.
4.已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在边长为2的正方形 中， ，
设 ， ，
而 ，因此
，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B.
5．已知直线 与圆 相交于 、 两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由直线 的方程可确定直线 过定点 ，则当点 到直线 的距离的最大值为 时， 取最
小值.
【解析】直线 ，可化为 ，则直线过定点 ，
圆 配方得 ，可得圆心 ，半径 ，
所以 ，即点 在圆 内，
则当点 到直线 的距离的最大值为 时， ，
故选：C．
6.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 和 ，过 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 椭圆 ： 的右焦点 ，
过 且倾斜角为 的直线 的方程为 ，即 ，
将 代入 ，得到 ，
即 ，
设 ，
则 ，
则 ，故选项B正确.
故选：B.
7.甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为 ，乙
赢的概率为 ，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各
自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（ ）元.
A．3600 B．3800 C．4000 D．4200
【答案】C
【解析】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局.
2局结束，即甲连赢2局，概率为 ；
3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为 ，
所以甲赢得比赛的总概率为 .
同理可求得乙赢得比赛的总概率为 .
所以甲分得奖金为 元.
故选：C.
8．已知实数 ，若对任意的 ， 恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件得出 关系，然后再利用导数即可求解.
【解析】由题意可知 整理得 ，
又因为 ，所以 要想最大，则有 ，并且 ，即 ，所以 ，
设函数 ，令 ，解得 或 （舍去）.
当 时， ， 当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 的最大值为 .
故选：B
二、多项选择题：
9.已知 ， ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A．ab的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为4
【答案】AC
【分析】选项A，由 ， ， ，直接利用基本不等式求出 的范围，从而得到 的最大值；选项
B，将所求 的 的分子 转化为 ，利用基本不等式求解即可；选项C，设 ，则
，由 得到 从而得到 的范围，即可得到 的最大值；选项D，
将所求 的 转化为 ，利用基本不等式求解即可.
【解析】选项A， ， ， ， ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立；
故ab的最大值为 ，故选项A正确；
选项B， ， ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
故 的最小值为 ，故选项B错误；选项C，设 ，则 ，
， ，
， ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最大值为 ，故选项C正确；
选项D， ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 ，故选项D错误.
故选：AC.
10.近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机
调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（ ）
附： ， .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人
B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人
C．根据小概率值 的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关
D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4
【答案】BCD
【分析】A、B，根据统计图所给比例，结合抽样人数计算相应人数判断对错；C，列出 列联表，再用 公式
计算，与临界值比较判断购车类型与地域是否有关；D：根据条件概率公式计算已知为新能源车主条件下来自甲地
的概率.
【解析】A：甲地购买燃油车人数为 ，购买新能源车人数为 ，
故购买燃油车的人数比新能源车的多 人，A错误.
B：乙地购买新能源车比例为 ，故用分层随机抽样抽取20人时，新能源车主有 人，B正
确.C：列出 列联表：
甲
乙地 总计
地
燃油车 120 80 200
新能源车 80 120 200
总计 200 200 400
则 .
小概率值 时， .
因为 ，所以根据小概率值 的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，C正
确.
D：所调查的新能源车主共有 人，其中甲地80人，在已知其为新能源车主的条
件下，其来自甲地的概率为 ，D正确.
故选：BCD.
11.已知双曲线 ： （ ）的左右两个焦点分别是 ， ，焦距为8，则（ ）
A．
B．双曲线 的离心率为2
C．双曲线 的渐近线方程为
D．若 是双曲线 上一点，且 ，则 的周长为22或14
【答案】BC
【分析】先根据题意，求出 的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点 在双曲线的左
支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可.
【解析】对于A，因双曲线的焦距为 ，即得 ，由 ： （ ）可得 ，
则 ，故A错误；
对于B，由上分析， ，故B正确；
对于C，由上分析可得， ，则该双曲线的渐近线方程为 ，即 ，故C正确；
对于D，若点 在双曲线的左支上，由 可得 ，
此时， 的周长为 ；
若点 在双曲线的右支上，因 ，这与已知 不符，故D错误.故选：BC.
三、填空题：
12.已知函数 ，关于 的方程 有6个不同的实数
根，则 的取值范围为_______________.
【答案】
【分析】问题化为 上 有4个不同实根，且 有2个不同实根，结合正弦函数的
图象得 ，即可得.
【解析】 共有6个不同的实根，
由 ，则 有4个不同实根，且 有2个不同实根，
根据正弦函数的图象知 ，可得 .
故答案为：
13．据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实
横径在 的个数为 ，则 _____．
附： ．
【答案】
【分析】由正态分布的概率计算公式可得 的值，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果.
【解析】由题意可得 ，
则
，
则 ，所以 .
故答案为： .
14.设 为各项均为正数的等比数列 的前 项和，若 ，则 __________.
【答案】 .【分析】设等比数列 的公比为 ，由 求得 ，利用等比数列前 项和公式求 .
【解析】设等比数列 的公比为 ，由数列各项均为正数，有 ，
由 ，有 ，
则 ，解得 ，
为 的前 项和， ， ，
则 .
故答案为： .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在菱形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 翻折至 ，得到四棱锥
.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)当二面角 为120°时，求 和平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，判断二面角 对应的平面角，求出相关点的坐标，结合线面角的向量
求法求解即可.
【解析】（1）由题意得， 为等边三角形，
又 为 中点，所以 ， ，故 .
又因为 ，所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）如图，以 为原点， ， 以及垂直于平面 的直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，由（1）知， ，
又 ，所以 即为二面角 的平面角，即 .
则 ， ， ， .
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
