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2026年高考数学8+3+3+1强化训练(13)【解析】
一、单选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， 或 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，解得 ，所以 ，
又 或 ，所以 ，
故 ．
故选：D
2.“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 可得 ，解得 或 ，
由于 是 或 的真子集，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3.已知复数 对应的向量为 (O为坐标原点)， 与实轴正向的夹角为 ，且复数 的模为2，则复数 为
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设复数 ，根据题意可得 ， ，即可解决.
【解析】设复数 ，
∵向量 与实轴正向的夹角为 且复数 的模为 ，
∴ ， ，
∴ ．
故选:D.
4.函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】 ，
可得 ，
所以函数 为奇函数，其图像关于原点对称，可排除C、D项，
当 时，可得 ，可排除B项，
所以选项A符合题意，
故选:A.
5.已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
因为 ，
所以 .
故选:A.
6.在平面直角坐标系 中，已知点 ，若 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】由向量夹角的定义，结合三角恒等变形化简求解即可．
【解析】根据题意可知， ，
，
即 ．
故选:C.
7.若等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】利用等差数列前 项和公式 ，
代入得： ，
代入已知条件： ，
化简得： ，
展开并整理： ，
解得 ，即： ，
因此： ，
故 .
故选：C
8.如图所示，已知 ，点 ， 满足 ， ， 与 交于点 ， 交 于点 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由 共线，存在 使 ，
由 共线，存在 使 ，
联立系数相等：
，解得： ， ，因此： ，故选项 A 错误；
对于B， ，若 ，则：
，显然系数不相等，选项B错误；
对于C，由于 ，且 在 上，故设 ，
则 ，
结合 ，得： ，解得 ，选项C错误；
对于D，由 ，
所以 ，故选项 D 正确.
故选:D.
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对
的得3分．
9.某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的
是（ ）
A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B．这10个月营业额的平均数为32.5万元
C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43
【答案】AC
【解析】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比
三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，
六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份
减少18万元，
十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确；
对于B：由 ，即这10个月的营业额的平均数为 万元，B错误；
对于C：前5个月的平均数 ，
方差 ；
后5个月的平均数 ，
方差
因为 ，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确；
对于D：将10个数据从小到大排序：
因为 ，所以第 百分位数取第7项和第8项的平均数 ，D错误.
故选：AC.
10.如图，在直三棱柱 中， ， ，点P、Q、M、N分别是 、 、 、
BC的中点，则（ ）
A．P、Q、M、N四点共面 B．线段 为直三棱柱 外接球的直径
C．三棱锥 的体积为 D．直线MN与AC所成角余弦值为
【答案】BCD
【解析】对于A，直线 平面 ，点 平面 ，
而 直线 ，点 平面 ，
因此直线 与直线 是异面直线，则 四点不共面，A错误；
对于B，将三棱柱 补形为正方体， 为该正方体共点的三条棱，
矩形 为该正方体对角面，则 为三棱柱 外接球直径，B正确；
对于C，点 到平面 的距离为 ，
则 ，C正确；
对于D，取 中点 ，连接 ，由 是 中点，得 ，则 是异面直线 与 所成角或其补角，
由已知 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，于是 ，而 ，
则 ，因此 ，D正确.
11.已知向量 是平面 内的一组基向量，O为 内的定点，对于 内任意一点P，若
，则称有序实数对 为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为
，则（ ）
A. 点 关于点O的对称点为
B. A，B两点间的距离为
C. 若向量 平行于向量 ，则 的值为0
D. 若C为线段AB上靠近点A的三等分点，则点C的广义坐标为
【答案】AC
【分析】根据向量的线性运算求解判断A；根据向量的数量积求解判断B；按照 或 是 ，和 与 都
不为 两种情况讨论，利用向量的线性运算求解判断C；结合题干新定义，利用向量的线性运算求解判断D.
【解析】对于A， ，设 关于点O的对称点为 ，
则 ，因为 不共线，所以 ，A正确；
对于B，因为 ，
所以 ，
当向量 是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为 ，否则距离不为 ，B错误；
对于C，当 或 是 时， ；当 与 都不为 时，
设 ，有 ，
即 ，所以 ，C正确；
对于D， ，
所以线段AB上靠近点A的三等分点C的广义坐标为 ，D错误．
故选：AC.
三、填空题：
9. 若 ，则 ________．
【答案】3124
【分析】由多项式分析知： 为奇数，系数为负； 为偶数，系数为正，可得
，再应用赋值法求 、 ，即可得结果.
【解析】由题设，含 的项中，当 为奇数，系数为负，而当 为偶数，系数为正，
所以 ，
令 ，则 ；
令 ，得 ，
所以 ．
10.已知 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】由 ，则 、 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为6.
故选：C
14.如图，在 中， ， ，直线 与边 ， 分别交于 ， 两点，且 的面积
是 面积的一半.设 ， ，记 ，则 的定义域为 ， 的最小值与最大值之
和为 .
【答案】
【解析】因为 的面积是 面积的一半，
即 ，即 ，可得 ，
又因为 ，即 ，
且 ，可得 ，
所以 ，且 的定义域为的定义域为 ；
令 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
可知 在 上的最小值为2，最大值为 ，
即 在 上的最小值为2，最大值为 ，
所以 的最小值与最大值之和为 .
四、解答题
15. 在 中，内角 的对边分别是 ．
（1）求 的值；（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ;
（2） .
【分析】（1）根据两角和与差的正切公式，求得 的值，结合三角形内角的取值范围，求得 ；
（2）由余弦定理求出 ，再根据三角形面积公式求得 的面积．
【解析】（1）因为
，
且 ，
所以 ，整理得 ，
即 .
所以 或 .
因为 ，所以 ，所以 .
A π
所以 ，所以 = ， .
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（2）因为 ， ，
所以由余弦定理 ，得
，即 ， ，所以 .
所以 .所以 的面积为 .
